一个分式和不等式的推广及应用

本刊文〔１〕关于分式和的不等式：若ａ１≥ａ２≥…≥ａｎ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｎ;或０＜ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ,ｂ１≥ｂ２≥…≥ｂｎ＞０,则ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ≥ｎ（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ．本文将其推广为：对于ｐ≥１...     

再谈一不等式的应用

再谈一不等式的应用颜天堡（福建省永春县一中３６２６００）孙建斌（福建省永春县科委３６２６００）周建国老师在文〔１〕中证明了不等式：若ａ１≥ａ２≥…≥ａｎ＞０，０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｎ；或０＜ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ，ｂ１≥ｂ２≥…≥ｂｎ＞０．则ａ１ｂ１＋...     

成果集锦

也谈４阶实线性递归数列是周期数列的充要条件文［１］给出４阶实常系数线性递归数列｛ａｎ｝：ａｎ＋４＝ｐ１ａｎ＋３＋ｐ２ａｎ＋２＋ｐ３ａｎ＋１＋ｐ４ａｎ（ｐ４≠０）（１）的充要条件：ｐ１＝－ｐ３＝２ａ,ｐ２＝０,ｐ４＝１或ｐ１＝ｐ３＝２（ａ＋ｂ）,ｐ２＝...     

一道作业错解的辨析与思考

人教社高中数学第一册（上）第１４２页上有这么一道题：有两个等差数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝，ａ１＋ａ２…＋ａｎ／ｂ１＋ｂ２＋…ｂｎ＝７ｎ＋２／ｎ＋３，求ａ５／ｂ５，能求一般式子ａｎ／ｂｎ的值吗？     

标准正交基的一种简便求法

设ａ１,ａ２……,ａｎ是ｎ维欧氏空间Ｖ的一组基,文［１］利用矩阵的合成变换求得Ｖ的一组标准正交基。这种方法比某些教科书介绍的方法简单易行。本文对此法进一步加以改进,使得计算量节约近一半。 设ａ１,ａ２,……,ａｎ是ｎ维欧氏空间Ｖ的一组基,Ａ是ａ１,ａ２,……,ａｎ的格兰姆矩阵,则Ａ是正定对称矩阵,从而存在ｎ阶可逆矩阵Ｃ,使Ｃ’ＡＣ＝Ｉ, 令（η１,η２,……,ηｎ）＝（ａ１,ａ２,……,ａｎ）Ｃ 则η１,η２,……,ηｎ就是Ｖ的一组标准正交基（见文［１］）,文［１］求矩阵Ｃ是采用一般教科书介绍的合…     

证明不等式的又一方法—排序法

排序原理设有两组有序实数：ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ,ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｎ（ｎ≥２）,若Ｍ＝ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ,Ｎ＝ａ１ｂｎ＋ａ２ｂｎ－１＋…＋ａｎｂ１,Ｑ＝ａ１ｂｉ１＋ａ２ｂｉ２＋…＋ａｎｂｉｎ,式中ｂｉ１,ｂｉ２,…,ｂｉｎ是ｂ１,ｂ２,...     

体上右线性方程组的一类反问题

设Ｆ表示任意的体，Ｆ－ｎ表示Ｆ上的ｎ维右向量空间。本文解决了体上右线性方程组的如下反问题：给定ｑ，ＥＰ（ｉ＝１，２，…，ｍ），满足ｒａｎｋ［η１，η２，…，ηｍ］＝ｍ，（Ｓ＝ｎ－ｍ＋１），求Ｆ上所有ｓ×ｘ矩阵Ａ，使η１，η２，…，ηｍ为ＡＸ＝ｂ的一基础解系。     

线性代数复习与典型例题2

3　线性方程组3.1　主要内容3.1.1　主要概念齐次线性方程组 ,非齐次线性方程组 ,方程组的矩阵表示 ,系数矩阵 ,增广矩阵 ,一般解 ,通解 ,全部解 ,特解 ,基础解系 ,自由元 (自由未知量 ) ,ｎ维向量 ,线性组合 (线性表出 ) ,线性相关 ,线性无关 ,极大线性无关组 ,向量组的秩 ,向量空间 ,向量空间的基和维数。3.1.2　主要性质齐次线性方程组解的性质 ,非齐次线性方程组解的性质。3.1.3　主要定理(1)线性方程组的理论。齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 ,齐次线性方程组解的结构。非齐次线性方程组有解的充分必要条件 ,非齐次线性方程组解…     

对偶数a＋b,a—b的构造与应用

数的性质是从运算中表现出来的．由于对立或者统一的缘故，使一些成对的数在某种运算中相遇后，表现出许多奇异的性质来，我们把具有这样性质的数对称为对偶数．比如：ａ＋ｂ与ａ－ｂ就是一对典型的对偶数．本文试图对构造对偶数（式）解题作肤浅的探讨．先看下面的例子：例１　求证（ａ＋ｂ）２≤２（ａ２＋ｂ２）．证明　（ａ＋ｂ）２≤（ａ＋ｂ）２＋（ａ－ｂ）２＝２（ａ２＋ｂ２）．这里构造了（ａ－ｂ）２，思路顺畅，方法简单．例２　求（ｘ＋２）２ｎ＋１展开式中ｘ的整数次幂项系数之和．解　构造对偶数（２－ｘ）２ｎ＋１，由二项…     

一个分式不等式

命题设ａ１＞ａ２＞…＞ａｍ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｍ,则 （ｎ∈Ｎ）引理１设ａ１≥ａ２≥…≥ａｍ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｍ,则（ａ１＋ａ２＋…＋ａｍ）ｎ,（ｎ∈Ｎ）ｍ（ａ１ｂ１＋ ａ２ｂ２＋…＋ａｍｂｍ）引理 ２设 ａ１, ａ２,…, ａｍ＞ ０,则ａｎ１＋ａｎ２＋…ａｎｍ≥ｍ１－ｎ（ａ１＋ａ２＋…＋ａｍ）ｎ,（ｎ∈Ｎ）引理１、２都易用数学归纳法证明,证略下面给出命题的证明．证明因为ａ１≥ａ２≥…≥ａｍ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｍ,所以然 （ｎ∈Ｎ）因此下面举例说明该命题在证明不等式时的应用．…     

四面体中线定理

三角形中线定理是熟知的： 如图１,△ＡＢＣ的三边长为ａ、ｂ、ｃ,记中线ＡＭ为ｍａ,则有： 定理１　　４ｍ２ａ＝２（ｂ２＋ｃ２）－ａ２① 又设Ｎ是ＢＣ的一个三等分点（如图１）,则有： 推论 １　　９ＡＮ２＝６ｂ２＋３ｃ２－２ａ２② 证明 如图１,延长ＡＭ至Ａ０１６     

用柯西不等式证明不等式

用柯西不等式证明不等式□天水二师刘仕关于不等式的证明,现行中学数学教材介绍了最基本的方法．本文介绍用柯西不等式来证明一些不等式的方法．定理：（柯西不等式）设ａ１,ａ２,ａ３,,…,ａｎ,ｂ１,ｂ２,ｂ３,…,ｂｎ是两组实数,则有不等式：（ａ１ｂ１＋ａ...     

初等列变换与线性方程组的换元法求解

对线性方程组的增广矩阵作某些初等列变换,相当于对线性方程组用换元法求解.在对增广矩阵作两次互逆的初等列变换之间进行若干次初等行变换,并不改变增广矩阵所代表的线性方程组的同解性质.利用这一特点,可以灵活地运用初等列变换来求解线性方程组.     

成果集锦

成果集锦不等式ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥４３Δ的一个对偶定理在非钝角△ＡＢＣ中,有１ａ２＋１ｂ２＋１ｃ２≥５４Δ．（＝｜△ＡＢＣ为等腰直角三角形）①证明：由ｃｔｇＡ＝２ｂｃｏｓＡ２ｂｃｓｉｎＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２４Δ,及ｃｔｇＢ、ｃｔｇＣ的类似表达式,知①等价...     

浅谈行初等变换的定理及其应用

设　　Ａ =ａ11ａ12 …ａ1ｎａ2 1ａ2 2 …ａ2ｎ…………ａｎ1ａｎ2 …ａｎｎ是数域Ｆ上的矩阵。如果把Ａ的每一个列都看作一个向量 ,叫做Ａ的列向量 ,那么这几个列向量属于向量空间Ｆｍ。设Ａ经过一次行的初等变换后得到Ａ1,Ａ和Ａ1的列向量分别记为α1,α2 ,… ,αｎ 和α′1,α′2 ,… ,α′ｎ。如果Ａ1的任何一部分列向量 (为说话方便 ,假设前ｔ个向量 ,ｔ ｎ)满足线性关系式ｘ1α′1+ｘ2 α′2 +… +ｘｔα′ｔ =0 (ｘｉ∈Ｆ ,ｉ =1,2 ,… ,ｔ) ,即ｘ1α′1+… +ｘｔα′ｔ+ 0·α′ｔ+ 1+… + 0 ·α′ｎ =0 ,亦即( 1)Ａｘ1…ｘｔ　0…     

解数列题的方法和技巧

一、应用方程和函数思想解题我们知道数列是一种特殊函数 ,用函数的观点学习数列 ,能使我们更深刻地理解数列。而用方程的思想可以方便地解决数列中的计算问题。例１ :已知｛ａｎ｝是等差数列 ,｛ｂｎ｝是等比数列 ,｛ａｎ｝的公差ｄ和｛ｂｎ｝的公比 ｑ相等且都不等于１ ,ａ１＝ｂ１，ａ４＝ｂ４,ａ１０＝ｂ１０,求ａ１ 和ｄ。解 :由题意得 :ａ１＝ｂ１,ｄ＝ｑ例２ :一个等比数列 ,前ｎ项和为４８ ,前２ｎ项和为６０ ,求前３ｎ项的和。解 :设等比数列的首项为ａ１,公式比为 ｑ,显然 ｑ≠１ ,依题意得有 :例３ :已知ｆ（ｘ）是一次函数 ,且…     

非齐次线性方程组的同解判别法

用初等行变换解非齐次线性方程组的理论根据，就是对增广矩阵左乘可逆阵后所得方程组与原线性方程组同解，现存的问题是：如果两个线性方程组同解那么它们的增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵，答案是肯定的，现在听见到的线性代数讲义中均未提到这个问题，本文将从矩阵理论出发，给出非齐次线性方程组的同解判别法。引理1如果非齐线性方程组与同解，则矩阵（A，h）与（c，d）的积相等。证明；设方程组的导出组的基础解系为ξ1，ξ2，ξn，其中r为矩阵（A，b）的秩．再设方程组的导出组的基础解系为其中r2为矩阵（c，d）的秩。如果是方程组…     

等差数列的性质及应用

性质１若｛ａｎ｝成等差数列,公差为ｄ,则｛ｋａｎ＋ｂ｝也成等差数列,公差为ｋｂ．（其中ｋ≠０,ｋ,ｂ是实常数）例１已知ａ２,ｂ２,ｃ２成等差数列,求证１ｂ＋ｃ,１ｃ＋ａ,１ａ＋ｂ亦为等差数列．（高中代数〈必修〉下册１２８页题６）证明：由已知,ａ２,ｂ２,ｃ２成等差数列,由性质１,ａ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ,ｂ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ,ｃ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ成等差数列,即（ａ＋ｂ）（ｃ＋ａ）,（ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ）,（ｃ＋ａ）（ｂ＋ｃ）成等差数列．又有（ａ＋ｂ）（ｃ＋ａ）（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）,（…     

一道初中代数竞赛题的几何解法

题目：已知实数ａ、ｂ满足ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝１,求ａ２－ａｂ＋ｂ２的取值范围．（１９９８年湖北黄冈市初中数学竞赛题）解：令ｋ＝ａ２－ａｂ＋ｂ２,由于ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝１,当ａｂ＝０（ａ、ｂ不能同时为零）时,不妨设ａ＝０,则ｂ２＝１,易得ｋ＝１．当ａｂ≠０时,不失一般性,不妨设｜ａ｜≤｜ｂ｜．作等腰△ＡＢＣ,使底边ＡＢ＝２｜ａ｜,高ＣＤ＝｜ｂ｜．设ＡＣ＝ＢＣ＝ｃ,△ＡＢＣ的面积为Ｓ,∠ＡＣＢ＝α,则０°＜α２≤４５°,０°＜α≤９０°,０＜ｓｉｎα≤１,｜ａｂ｜＝Ｓ＝１２·ｃ２ｓｉｎα．（１）若ａｂ…     

'98高考数学(理)题(25)的别解及推广

〔题〕已知数列｛ｂｎ｝是等差数列,ｂ１＝１,ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂ１０＝１４５．（１）求数列｛ｂｎ｝的通项公式ｂｎ;（２）设数列｛ａｎ｝的通项是ａｎ＝ｌｏｇａ（１＋１ｂｎ）,（其中ａ＞０,且ａ≠１）,记Ｓｎ是数列｛ａｎ｝的前ｎ项和,试比较Ｓｎ与１３ｌｏｇ...