两个有趣的约束型恒等式及其不等式

<正>对任意的实数a、b、c、x、y、z∈R,我们容易知道:a2+b2(+c)2 x2+y2(+z)2与a2 x2+b2 y2+c2(z)2几乎没有什么有趣的或非平凡的恒等或不等关系.我们在探讨的过程中,偶然发现如果增加某些约束条件,就可以得到一些有趣的恒等式及其不等式关系.下面的四个命题就是我们在增加约束条件a+b+c=x+y+z=0后得到的两个非常有趣的约束型恒等式及     

构造对偶式解题的几种方法

构造对偶式解题是一种常用的方法,是指挖掘出题目中潜在的对称性,充分利用对称原理在纷繁的困惑中,寻觅到简捷的解法.一、互倒构造此法是利用倒数关系构造对偶式.例1若x、y、z∈(0,1),求证11-x+y+11-y+z+11-z+x≥3.证明:设M=11-x+y+11-y+z+11-z+x,构造互倒对偶式N=(1-x+y)+(1-y+z)+(1-z+x),则有M+N=11-x+y+(1-x+y)+11-y+z+(1-y+z)     

选择主元解数学题

当一道数学题比较复杂，含有多个变量时，我们可选择其中某个变元为主，其他的变元为辅或当作常量进行研究，从而把多个变元问题转化成为一元 (或者少数元 )问题，这种解决问题的方法称之为主元法。下面通过问题的求解，谈谈选择主元在解题中的应用。 　　一、化简与求值 　　例 1已知 x＋ 3y＋ 5z=0,2x＋ 4y＋ 7z=0,求的值。分析：题设条件中含有 x， y， z三个变量，不妨选择其中 x,y为主元，将 z当作常量，解关于 x,y的方程组得， x=－ ,y=－ z,将 x,y的值代入原式可得所求值是。 例 2已知 x2＋ 2y2=1,求 2x＋ 5y2的最大值和最小值。 　…     

与两个正切、余切恒等式相关的锐角三角形等效条件及其应用

下面介绍与两个正切、余切恒等式相关的锐角三角形等效条件及其应用.一、三角形的正切恒等式在非直角三角形ABC中,存在这样的正切恒等式:tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.我们有以下结论:定理1设x、y、z为正数,满足:x+y+z=xyz,则必存在锐角三角形ABC,使x=tanA,y=tanB,z=tanC.证:因x、y为正数,故有锐角A、B,使     

巧用余弦定理证明一类三元无理不等式

正首先看这样一组三元无理不等式:已知为正数,证明:1.x2+y2+y2+z2z2+x22.x2-xy+y2+y2-yz+z2z2-xz+x23.x2-xy+y2+y2-yz+z2z2+xz+x24.x2+xy+y2+y2+yz+z2z2+xz+x2评析:四个三元无理不等式结构比较相似,都可以表示为x2-2xycosα+y2+y2-2xycosβ+z2z2-2xycosγ+x2,其中α,β,γ(0,π),结合数与形的类比,联想到三角形的余弦定理,再根据三角形两边之和大于第三边即可解决问题.但由α,β,γ的大小来决定构造怎样的图形是解决问题的     

数系对数学命题和谐性的影响

先看一道思考题:已知二+三 刁,+三 少名 一一一一 y忿 ++l一xl一y=z+送, 工之 X +1一z且x、y、z两两不等,求证: x,,.名.=1。 证由已知条件得①②③X一y=y一Z=才—X二二二y一忿 义夕Z—.艺 夕名X一y 忿龙①x②x⑧得:(x一y)(y一z)(z一x)=①② 厂y一z)(z一x)(x一7) 扩y.zl 丫x、扒z两两不等. .’.(x一y)(y一z)(z一x)护0, x勺、,=1.证毕. 另一方面,若将题设中三式相加有: 1二1二1二2.,x ,丁州卜y十月了个z十二丁宁X=x十二二二十夕宁二二 X一yZ之)一yZ+之+之, Z之一二.砂+少+砂一卿一x之一yz_八枯理得二-‘一已‘一二‘二一一-二‘‘-‘二‘…     

巧用不等式(组)妙解竞赛试题

本文与同学们谈一谈不等式(组)在数学竞赛中的4种常规应用,以开阔同学们的解题视野,提高同学们的解题能力,下面举例加以说明,供同学们学习时参考.一、用于求值例1已知函数x,y,z满足3x+2y-z=4,2x-y+2z=6.x+y+z<7求x+y+z的值解:将已知等式相加得5x+y+z=10,∴10-4x=x+y+z<7,∴x>3/4,∵y,z为正整数,∴5x=10-y-z≤     

三角恒等式衍生出的经典构造

正笔者在研究过程中发现很多问题都是围绕x2+y2=1和x2+y2=2(其中x,y∈Q)的结构来命制的,本文根据如下的两个三角恒等式,给出此类结构的一个经典构造.我们先来熟悉下两个三角恒等式:恒等式1:sin2θ+cos2θ=1;恒等式2:(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2;根据这两个三角恒等式,结合勾股数,我们很容易得出下面的两个恒等式.     

联想与解题

在解答数学问题时,若能从已知条件或结论所给定的图形、数或式中联想到与它相似的、有因果关系的图形、数、式或结论,就能使问题得到快速解决.举例说明如下.例1(2011年天津中考题)若实数x、y、z满足(x-z)~2-4(x-y)(y-z)=0,则下列式子一定成立的是().A.x+y+z=0B.x+y-2z=0C.y+z-2x=0D.x+z-2y=0分析:由式子(x-z)~2-4(x-y)(y-z)=0,容易联想到与它相似的一个表达式b~2-4ac=0,于是考虑构造一元二次方程来解决问题.     

学习的策略——整体思想(四)

一天,小洋在解题时唉声叹气,小宏问他为什么,小洋说“:你看,这道题这么复杂,式子中有三元,但又只有两个方程组成的方程组,看见就烦,怎样解啊.请你看看小洋所说的题目,能帮助他解决问题吗?已知3x 7y z=3①!4x 10y z=4②求2006(x y z)的值.小宏看了题目后说:解决数学问题有的要从     

数学奥林匹克初中训练题（20）

第一试 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.已知实数x、y、z满足(2x2+8x+11)(y2-10y+29)(3x2-18z+32)≤60.贝x+y-z的值为( ). (A)3 (B)2 (C)1 (D)0     

一个代数不等式的两种初等证法

湖北杨先义先生在文[1]中提出了一个非常有趣的代数不等式: 已知x,y,z∈R+,x+y+z=1,则 (1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3(1)     

三元一次不定方程组的通解公式及其应用

我们已经知道二元一次不定方程ax+by=c(a,b,c都是整数,且(a,b)=1)的通解可由公式x=x0+bt y=y0-at(t是整数)来表示,而三元一次不定方程组a1x+b1y+c1z=d1, a2x+b2y+c2z=d2(ai、bi、ci都是整数,且(ai、bi、ci)=1,i=1,2)的通解是什么?通过探讨,得到如下定理:     

一道竞赛题新探

题:已知x、y、z＞0,且x2/1 x2 y2/1 y2 z2/1 z2=2,求证x/1 x2 y/1 y2 z/1 z2≤(√2).(第一届"希望杯"备选题) 文[1]、[2]分别用三角换元、构造二次函数、柯西不等式给出证明,并对命题的结论和条件进行推广.     

解题中的联想

例1已知(二一x)’一4(x一y)(y一z)~O,且x笋y.求证:Zy一x+z. 分析根据已知,联想到一元二次方程根的判别式△一犷一4ac.因此,可构造一元二次方程(x一y)tz+(二一x)t+(y一劝一。 丫△一(z一x)2一4(x一y)(一二)~O, :.此方程有两个相等的实数根. 观察到方程各项系数之和为。,故知有一根为1,则另一根也必为1,从而两根之积为1. y一之 X一y:.Zy一了+2.这样证明简捷明快,十分巧妙.例2已知:a、b、‘、d都是正数,证明:存在这样的三角形,它的三边等于了护+。2,丫砂十护十护+Zcd,丫彭+夕+砂+Zab,并计算这个三角形面积. 分析本题初看不容易理出头绪.我们…     

一个不等式的新证

1996年<中等数学>第2期数学奥林匹克题初40题为:已知x,y,z为正实数,求证:(x)/(2x y z) (y)/(x 2y z) (z)/(x y 2z)≤(3)/(4).     

分式求值 灵活消元

同学们在学习分式的时候,经常会遇到有关多元的求值问题,解答时,可以利用消元的方法,化难为易.一、取值消元法例1已知abc=1,那么aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1=.解:不失一般性,取a=1,b=1,c=1,则原式=13+13+13=1. 二、主元消元法例2已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,则5x2+2y2-z22x2-3y2-10z2等于(A)-12 (B)-192 (C)-15(D)-13 解:以x、y为主元,那么4x-3y=6z,x+2y=7z .∴x=3z,y=2z.∴原式=5×9z2+2×4z2-z22×9z2-3×4z2-10z2=-13.选D. 三、比值消元法例3已知x2=y3=z4,则x2-2y2+3z2xy+2yz+3zx的值是.解:设x2=y3=z4=k,得x=2k,y=3k,z=4k…     

函数与导数

1.(安徽卷,文7)图1中的图象所表示的函数的解析式为( ).A.y=3/2|x-1|(0≤x≤2)B.y=3/2-3/2|x-1|(0≤x≤2)c.y=3/2-|x-1|(0≤x≤2)D.y=1-|x-1|(0≤x≤2)解答途径:将点(1,3/2)与(2,0)代入,选项 A、选项 C、选项 D 均不适合,选项 B 适合.故选 B.解题感悟:用特殊点法解答此题不失为一种好的方法.教学中应强化符号语言、图形语言、文字语言之间的相互转换.本题就是一个图形转换成符号的问题。2.(江苏卷,9)已知二次函数 f(x)=ax~2 bx c的导数为 f′(x),f′(0)>0,对于任意实数 x,有 f(x)≥0,则 f(1)/f′(0)的最小值为( ).A.3 B.5/2 C.2 D.3/2     

漏与误——对几种常见错解的分析

初三复习中,有些题目难度虽不大,但由于考虑不周密,解答中却常出现错误,现举例如下: 例1 已知(x y):z=(y z):x=(x z):y=k,求k的值. 误解:k=(x y):z=(y z):x=(x z):y=2(x y z):(x y z)=2。 解题过程似乎无懈可击,但此题实有两解,漏解原因在于解题中应用等比定理,把x y z当作不等于0的式子,而忽略了x y z=0的情况。 当x y z=0时。x y=-z;y z=-x;x z=-y;所以k=-1。 所以,本题有两解k=2或-1。     

活用均值不等式巧解数学题

平均值不等式是高中数学的重要内容 ,熟练掌握二元和三元均值不等式及其变形应用 ,可以巧妙地解决许多数学题 .1　证明不等式这是最为大家常见问题 ,问题解决的关键是怎样根据题目提供的隐含条件去构造二元或三元均值不等式 .例 1　已知 x,y,z∈ R+且满足 xyz(x +y + z) =1 ,求证 :(x + y) (y + z)≥ 2 .证明 :(x + y) (y + z) =xy + xz + y2 + yz =y(x + y + z) + xz =y . 1xyz+ xz =1xz+ xz≥ 2 1xz. xz =2 .证毕 .此题从“2”这个数字 ,提示我们构造二元均值不等式 .2　求最值高中数学很多地方涉及求最值 ,利用均值不等式中等号成立的条…