浅谈平几中切线的证法

平面几何《圆》一章中关于“切线的证明”是教学中的难点,教师难教,学生难学。为了突破这一难点,使学生充分掌握“切线证明”的思路和方法,可从以下两方面入手。1.明确切线的判定方法。当直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切。如图1,设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则直线l和圆O相切d=r。因此用下述方法都可判定直线是圆的切线。(1)经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。(2)圆心O到直线l的距离d等于⊙O的半径,直线l与⊙O相切。(3)直线l与⊙O只有一个交点时,直线l与⊙O相切。2.分清切线的类型。平几中圆的切线大…     

一个命题的向量证明及推广发散

命题 :设点 P(x0 ,y0 ) ,⊙ O:x2 + y2 =r2 ,直线 l:x0 x + y0 y =r2则 1当点 P在圆上时 ,直线 l与⊙ O相切 ;2当点 P在圆外时 ,直线 l与⊙ O相交 ;3当点 P在圆内时 ,直线 l与⊙ O相离 .1　证明在直线 l上任取一点 Q(x,y) ,因为向量 OP =(x0 ,y0 ) ,OQ =(x,y)所以 OP .OQ =x0 x + y0 y =r2即 | OP| .| OQ| .cos∠ POQ =r2因为 l的一个方向向量 v=(-y0 ,x0 )所以 v.OP =0 OP⊥ l故圆心 O到 l的距离d =| OQ| .cos∠ POQ =r2| OP|| OP| >r时 ,d r;故命题为真 .2　画法已知点 P和⊙ …     

直线与双曲线相切的一个充要条件及其应用

在研究平面几何中有关直线和圆相切的问题时,有一条重要的定理:如果圆O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么直线l和圆O相切的充要条件是d=r.本文通过直线与圆相切的充要条件展开联想、类比和探求,得出了直线与双曲线相切的一个充要条件.并举例说明了此充要条件在处理有关直线与双曲线相切问题中的具体应用.     

漫谈初中几何知识中的分断式命题

新编初中《数学》第五册“园”一章中,直线和园的位置关系的判定定理是 00的半径为r,园心O到直线l的距离为d: (1)d>r今直线l和00相离, (2)d一r今直线l和00相切, (3)d相似文献   

直线与椭圆及双曲线位置关系的简易判断法

<正>1问题的提出众所周知,直线l与圆⊙C的位置关系最简单的判断方法是:用圆心C到直线l的距离d与半径R的关系得出,即当且仅当(1)d>R时,直线l与圆⊙C相离;(2)d=R时,直线l与圆⊙C相切;(3)d 相似文献   

问题3．11

如图，直线l与⊙O相切于点P，R为⊙O上一动点，RQ⊥l于点Q，试问当R点在什么位置时，△PQR面积最大？最大面积是多少？     

利用直线和圆的位置关系解题

<正> 设圆O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则(1)d>r(?)l和圆O相离;(2)d=r(?)l和圆。相切;(3)d相似文献   

两个尺规作图问题初探

本文探讨2个尺规作图问题:1?过圆外一点,作直线与圆相切.2?过圆外两点(这两点与圆心不共线),作圆与已知圆相切.希望能起到抛砖引玉的作用,让更多的尺规作图问题得到关注讨论.1过圆O外一点A作与圆O相切的直线问题已知:⊙O以及⊙O外一点A,求作直线过点A且与⊙O相切.作法:1?连结AO;2?取线段AO的中点B;3?以点B为圆心,BA长为半径作⊙B,交⊙O于点C、D;4?作直线AC、AD;则,直线AC、AD为所求.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初27.已知直线m过⊙O的圆心,直线l⊥m,M是垂足,过l上两点A,B作⊙O的切线AC,BD,C,D是切点。 (1)若A,B在点M同侧,且AM>BM,当AC-BD=AB时,l与⊙O相切; (2)若A,B在点M两侧,且AC BD=AB时,     

直线与圆位置关系的两种等价表达形式

<正>直线与圆的位置关系属于图形与图形的位置关系,直线与圆的位置关系可以用来巩固点与圆的位置关系.直线与圆位置关系的学习为后续学习更复杂几何知识打下基础[1].直线与圆有三种位置关系,即相交、相切和相离[2].本文从代数和几何两个角度给出刻画直线与圆的三种位置关系的两种等价表达形式.一、直线与圆位置关系的两种表达形式1.代数表达形式设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系的代数判断见表1[3].     

与已知圆相切的动圆圆心轨迹综述

1.轨迹为直线 1．已知⊙O1与⊙O2半径相等且相离或相切,当⊙P与⊙O1、⊙O2都内切或都外切时,则动圆圆心P的轨迹是一条直线（或去掉一个点的一条直线）;     

一道中考数学题的解法探究

湖北省武汉市2010年中考数学第22题是:如图1,点O在∠APB的平分线上,⊙O与PA相切于点C。(1)求证:直线PB与⊙O相切;(2)PO的延长线与⊙O交于点E。若⊙O的半径为3,PC=4。求弦CE的长。     

关于圆滚动问题的探讨

关于圆在曲线上滚动的周数的争论,已有多篇论文见诸于国内中学数学杂志,但鲜见说明透彻且浅显易懂,能为学生接受的.本文给出一种浅显的解释.1圆在直线上滚动的问题图1众所周知,若半径为r的⊙O在直线l上自点A起滚动一周到点B,则AB=2πr.反之,若半径为r的⊙O在直线l上自点A滚动到点B,则当AB=2πr时,⊙O在l上正好滚动了1周,即2AπBr=1.(图1)一般地,若半径为r的⊙O在直线l上自点A滚到点B,设AB=a,则⊙O滚动的周数n=2aπr.此时圆心O平移到O′,设OO′=a′,则a′=a.所以⊙O滚动的周数n也等于2aπ′r.2圆在折线上滚动的问题(1)当半径为r的…     

数学问题与解答

726．如图1，己知直线l与⊙O相离，AB为⊙O的直径，且AB⊥l，C为⊙O上异于A、B的一点，连AC交直线l于D，直线DE⊙O于E点．直线EB交直线l于F，直线AF交⊙O于G1直线GH//l，交⊙O于点H．求证：H、C、F三点共线．     

两条相交直线同时与圆相切的问题

<正>在"直线与圆相切"一节内容中有一个基本图形:如图1,射线PA,PB与⊙O相切于点A、B,则有PA=PB,PO平分∠APB.即若已知⊙O与直线PA,PB相切,则点O在∠APB或其补角的平分线上,如图2.现介绍以此为背景的一类中考题,这类问题往往可以通过作图使之得到简化,再利用两个直角三角形或勾股定理,即可使问题得到解决.     

巧添辅助线可一题多解

1996年天津市中考数学试卷第21题是一道非常灵活的几何证明题,题目是: 如图,已知:AB是⊙O的直径,BC切⊙O于B点,OC平行于弦AD。求证:DC是⊙O的切线。 该题求证直线与圆相切,在初三教材中,证明直线与圆相切的判定定理只有一个,即“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,”所以;连结辅助线OD是判定切线的必要题设条件。     

几个结论的回归与统一

已知两圆方程:⊙O1:x2 y2 D1x E1y F1=0,⊙O2:x2 y2 D2x E2y F2=0(其中两圆不共圆心,将两圆方程左右分别相减得l:(D1-D2)x (E1-E2)y (F1-F2)=0.结论1当两圆相交时,l即为公共弦所在的直线方程.不妨设两圆的交点为A、B,则A、B一定同时满足⊙O1和⊙O2的方程,故A、B必定满足两圆方程相减所得的直线方程l,由两点确定一条直线,l即为公共弦AB所在直线方程.结论2当两圆相切时,l即为公切线方程.公切点为P,则P同时满足两圆方程,故P一定在l上,而l的一个方向向量为a=(E1-E2,D2-D1),两圆圆心连线所在直线的一个方向向量为b=(D2-D1,E2-E1).…     

用直线与圆的位置关系解题

设⊙O的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系有以下三种：     

说明

设直线l：Ax＋By＋C=0（A、B不同时为0），圆O：（x-a）^2＋（y-b）^2=R^2，则圆心O到直线l的距离为d：｜Aa＋Bb＋C｜/√A^2＋B^2．由直线与圆的位置关系可知，直线l与⊙O有交点的充要条件是：d≤R．     

源于一道课本习题的竞赛题

<正> 原题已知图1中各圆两两相切,⊙O的半径为2R,⊙O1、⊙O2的半径为R.求⊙O3的半径.易求得⊙O3的半径r=2/3R. 引申题如图2,大圆O的直径AB=acm,分别以OA、OB为直径作⊙O1和⊙O2,并在⊙O与⊙O1和⊙O2的