运用一个结论解竞赛题

结论若a〉0,b〉0,则 a＋b≥2√ab． 证明由（√a-√b）^2≥0,得a-2√ab＋b≥0．     

一个分式不等式的推广

《数学通报》问题1869给出了如下不等式： 设a,b〉0,若ab≥1/2,则1/1＋a^2＋1/＋b^2≤1＋1/1＋（a＋b）^2,     

一个均值不等式链的几何证法

命题：已知a〉0,b〉0,求证： √a^2＋b^2/2≥a＋b/2≥√ab≥2ab/a＋b,当且仅当a=b时等号成立.     

一道高考试题的九种解法

题目 对于c〉0,当非零实数a,b满足4a^2-2ab＋4b^2-c=0且使｜2a＋b｜最大时,3/a-4/b＋5/c的最小值为____. 解法1 均值不等式法 因为 4a^2-2ab＋4b^2-c=（2a＋b）^2-6ab＋3b^2-c=0,     

不等式性质考题举例

解析：运用排除法，C选项｜a-b｜＋1/a-b≥2，当a-b＜0时不成立，运用公式一定要注意公式成立的条件，如果a,b∈R，那么a^2＋b^2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号），如果a,b是正数，那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”号）。[第一段]     

一个均值不等式链的简证

命题 已知a＞0,＞0,求证√a2+b2/2≥a+b/2≥√ab≥2ab/a+b,当且公当a=b时等号成立. 这是一个均值不等式链.     

一个均值不等式链的几何证法

命题 已知a〉0,b〉0,求证：max{a,n}≥√a^2＋b^2/2≥a＋b/2≥√ab≥2ab/a＋b≥min{a,b},当且仅当a=b时,等号成立．这是一个4类平均数的重要不等式即均值不等式链,     

巧借a+b≥2((ab)～(1/2))求最值

先证明对于任意正实数a,b都有a+b≥2（ab）^1/2.证明:a,b都大于0,所以(a^1/2-b^1/2)²≥0,所以a-2（ab）^1/2+b≥0,所以a+b≥2（ab）^1/2.当a=b时,a+b=2（ab）^1/2.     

几个优美代数不等式的初等证明

题目1 设a,b∈（0,1）,求证a/1-a^2＋b/1-b^2≥a＋b/1-ab＋a＋b/1-ab（a-b/1＋ab）^2（1） 这是安振平老师在文[1]提出的第十个不等式,笔者在此给出一个直接证明．     

第10个优美不等式之“源”与再推进

安振平老师在文[1]中提出的26个优美不等式,其中的第10个是： 设a、b∈（0,1）,求证：a/1-a^2＋b/1-b^2≥a＋b/1-ab＋a＋b/1-ab（a-b/1＋ab）^2 1 “源” 抚今追昔,勾起了笔者对当年的一道高考题和一个数学问题的回忆：考题 已知函数 f（x）=tanx,x∈（0,π/2）.     

公式a^2＋b^2≥2ab在求解物理极值问题中的应用

公式a^2＋b^2≥2ab或a＋b≥2（ab）^1/2，在求解物理极值问题时经常用到．用此式求极值较其它方法简便，现举例如下．     

均值不等式学习三部曲

均值不等式（a＋b）/2≥（ab）~（1/2）（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时取＂=＂）是一个重要的不等式,其在求解函数最值问题中有着广泛的应用,下面对均值不等式进行深层解析,供读者参考.     

点击均值不等式的4个层次

均值不等式√ab≤a＋b/2（a≥0,b≥0）,其中a＋b/2称为a、b的算术平均数，√ab称为a、b的几何平均数，因而该定理又可叙述为：2个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，其中等号成立的前提是a=b．     

“积化和差”公式在数学竞赛中的应用

由（a＋b）^2=a^2＋2ab＋b^2,① （a-b）^2=a^2-2ab＋b^2,② （①-②）÷4得ab=1/4（a＋b）^2-1/4（a-b）^2．由该式可把两数之积化为这两数和与差的形式．现举例说明其在数学竞赛中的应用．     

巧用完全平方公式的变式求最值

一、两个变式 a^2＋b^2=1/2[（a＋b）^2＋（a-b）^2] （1） ab=1/4[（a＋b）^2＋（a-b）^2] （2）     

一类基本不等式题型的最值

本文通过具体例题总结了基本不等式求一类题型（x+y）（a/x+b/y）（x,y,a,b都是正数）的最值.苏教版必修五给出了基本不等式的形式:ab^1/2≤（a+b）/2（a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时取等号,其变形形式有a+b≥2ab^1/2基本不等式的一个运用就是求最值:①当a≥0,b≥0时,若和a+b为定值P,则积ab有最大值ab≤p²/4,当且仅当a=b时取等号;②当a≥0,b≥0时,若积ab为定值S,则和a+b有最小值a+b≥2S^1/2,当且仅当a=b时取等号.我们来看下面3个问题:问题1:已知x,y为正数,求（x+y）（1/x+4/y）的最小值.问题2:已知z,y为正数且满足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值.     

不等式链的几种几何证明

不等式链√a^2＋b^2/2≥a＋b/2≥√ab≥2ab/a＋b（a〉0,b〉0）是高中数学重要内容之一，在高考中屡“试”不鲜，下面笔者就2010年湖北省高考理科卷第15题的解题及其反思过程，给出该不等式链的三种几何证明．     

柯西不等式的变形技巧

柯西不等式 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则（a1^2;＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）,当且仅当bi=0（i=1,2,…,n）或存在一个数k,使得ai=kbi（i=1,2,…,n）时,等号成立．     

巧用均值不等式妙解物理极值题

定理 如果ab∈R,那么a^2＋b^2≥2ab．（当且仅当a=b时取等号） 推论 如果ab∈R^＋,那么a＋b/2≥√ab．（当且仅当a=b时取等号） 上述内容在数学中称为“均值不等式定理”,是不等式中的一个重要结论．值得注意的是,在高中物理很多涉及到极值的问题中,都有令人惊奇的妙用．     

一个重要的恒等式及其应用

完全平方公式（a＋b）^2=a^2＋2ab＋b^2、（a-b）^2=a^2-2ab＋b^2的两边相减得 ab=1/4[（a＋b）^2-（a-b）^2]…… 这是一个极其重要的恒等式，它能使我们更便捷地解答一些题目，请看下面的例子．[第一段]