一道征解问题的解法探究与变式拓展

本文就《数学通讯》2022年第1期476问题给出几种解法,然后给出变式拓展,希望给大家学习借鉴.     

征解问题173的解决

<数学通讯>1997年第7期上征解问题173是: 设xi＞0,i=1,...,n,Sn=x1 ... xn,Pi,j=(xi/xj)(Sn-xi-xj),则Tn=P1,2 P2,3 ... Pn-1,n Pn,1≥(n-2)Sn(n≥3).(1)     

一道公开征解不等式的证明与推广

对一道公开征解的不等式进行了证明,并将该不等式推广到更一般的情形,对一般情形也予以证明.最后,探讨了特殊情形下不等式的几何意义.     

一道代数不等式的探究

宋庆先生在《数学通讯》上半月学生刊2011年第5,6合刊的问题征解栏中,提出了如下代数不等式：     

一道问题征解引发的两个重要不等式及若干推广

《中学数学教学》2010年第1期有一道问题征解：已知x、y、z〉0且x＋y＋z=1,求证：1/2≤ln（x^3＋y^3＋z^3）/ln（x^5＋y^5＋z^5）〈3/5.     

问题征解

若整数a，b，c，d，m是使am^3＋bm^2＋cm＋d能被5整除，且数d不能被5整除。试说明：总可以找到这样的整数n，使dn^3＋cn^2＋cm＋d也能被5整除。     

有奖问题征解

亲爱的同学们： 我刊的“问题征解”栏目多年来深受好评，不仅数学爱好者欢迎，还被不少教育行家看好，认为是“提高数学学习的积极性、增强自信、在竞争中享受成功……”的好举措．     

问题征解

[问题1，10]已知甲桶中有酒精5kg，乙桶中有水10kg，现分别从甲、乙两桶中各取同量的酒精和水倒入对方桶内，然后从甲、乙两桶中取上述同量的混合液倒入对方桶内，这时，甲、乙两桶内的酒精浓度（质量分数）相等，问这两次混合过程中倒入对方桶内的量是多少？     

问题征解

问题1.10写出10个连续自然数,使其中每一个数都是合数.(要有解答的完整过程,剪下第14页“问题征解”的小三角,贴在信封正面,连同解答一起寄至我刊编辑部.)问题征解     

重启“问题征解”的话

一年来，不少老师、同学们来信、来访询问“问题征解”何时重启，特别是不少教育行家认为我刊的“问题征解”是“提高数学学习积极性、增强自信、在竞争中享受成功……”的好举措，恳切地建议我刊，克服困难尽快重启“问题征解”栏目．这不，新学年伊始，“问题征解”又和同学们见面了，希望大家喜欢它!     

一个开放问题的探究

文[1]中借助代数恒等式a^2/a+b+b^2/b+c+c^2/c+a=b^2/a+b+c^2/b+c/a^2/c+a证明了4个相关的不等式,并在文末提出如下问题:已知a,b,c ∈ R^+,当入与μ满足什么条件时,如下不等式成立:a^2/√λ(a^2+b^2)+aμab+b^2/√λ(b^2+c^2)+2μbc+c^2/√λ(c^2+a^2)+2μab+b^2/λ(b^2+c^2)+2μbc+c^2√λ(c^2+a^2)+2μab≥a+b+c/√2(λ+μ)(1).     

运用均值不等式解两道征解问题

问题1(数学通报2020年第12期问题2576)2已知x>0,y>0,y³(5-2x³)=3,求P=2/x²+3y²的最小值.解法1:由3元均值不等式可得x²=1·x·x≤1/3(1³+x³+x³),即x²≤1/3(1+2x³).     

两道征解题的多解探究与统一推广

文章对《数学通讯》问题征解栏目中的两道试题进行深入探究,引用一些重要的不等式进行统一解答,并对两道试题进行了统一推广.     

一道函数类不等式问题的多证探究

对于函数类不等式典型问题,通过多种方法进行探究,可以帮助学生厘清解决此类问题的思路,进一步提高分析、解决问题的能力。     

“问题征解”解答(一)

《甘肃教育》１９９９年第６期“问题征解”提出了一个征解问题：若等差数列｛ａｎ｝中,ａ１＞０,公差ｄ∈Ｒ,且ｄ＞１,则Ａ＝（１＋１ａ１）（１＋１ａ１＋ｄ）…（１＋１ａ１＋（ｎ－１）ｄ）＞ａ１＋ｎｄａ１１ｄ．（１）本文证明“问题征解”中［注］１：（１）对有理数,即当ｄ∈Ｑ时成立,并可改进为：定理若｛ａｎ｝为等差数列,ａ１＞０,公差ｄ满足ｋ≥ｄ＞０,ｋ＞１,且ｋ∈Ｑ,则Ａ＞ａ１＋ｎｄａ１１ｋ．（２）若ａ１＞０,１＞ｄ≥ｋ＞０,ｋ∈Ｑ,则Ａ＜ａ１＋ｎｄａ１１ｋ．（３）为此,需要证明如下引理：引理若ｘ＞０…     

相同条件下一类不等式问题的探究

<正>在一些不等式问题所给出的条件中,"已知正数a,b,c满足abc=a+b+c+2"出现的频率较高.本文首先给出"abc=a+b+c+2"的几个等价形式,然后探究以"abc=a+b+c+2"或它的等价形式为条件的一些不等式问题,最后探究"abc=a+b+c+2"的几何背景,仅供参考.     

“问题征解”解答(二)

《甘肃教育》１９９９年第６期“问题征解”要求求证下列命题：［问题］若等差数列｛ａｎ｝中,ａ１＞０,公差ｄ∈Ｒ,且ｄ＞１,则（１＋１ａ１）（１＋１ａ１＋ｄ）…（１＋１ａ１＋（ｎ－１）ｄ）＞ａ１＋ｎｄａ１１ｄ．为证明方便,先给出三个引理－（证明略）引理１若ａ,ｂ∈Ｒ,且ａ＜ｂ,则在区间（ａ,ｂ）上至少存在一个有理数－引理２（见上文）若等差数列｛ａｎ｝中,ａ１＞０,公差ｄ∈Ｑ,且ｄ＞１．则（１＋１ａ１）（１＋１ａ１＋ｄ）…（１＋１ａ１＋（ｎ－１）ｄ）＞ａ１＋ｎｄａ１１ｄ．引理３若ｆ（ｎ）和ｇ（ｎ）均为…     

利用"问题征解活动"培养高中生数学应用能力的实验研究

高中数学教学中,培养学生数学应用能力是十分必要的.“数学应用”是运用数学知识、数学方法和数学思想来分析研究客观世界的种种表象并加工整理和获得解决的过程.数学应用分为两个阶段:首先,由实际问题建立数学模型,形成数学问题(即实际问题数学化);其次,应用数学知识、方法和思想解决数学问题(即解数学应用题).培养高中学生“数学应用”能力的途径主要有:重视数学应用意识的培养,强化数学应用技能的训练,积极开展“问题征解”活动等.