巧用不动点求几类递推数列通项

已知数列{a_n}的递推关系式为a_n+1=f（a_n）,若存在实数a使得f（a）=a,则a称为数列{a_n}的不动点,在递推式a_n+1=f（a_n）中若令a_n+1=a_n=x,则方程f（x）=x的解就是数列{a_n}的不动点,方程f（x）=xc叫做递推式a_a+1=f（a_n）的特征方程.利用不动点,可将某些由递推关系所确定的数列转化为等差、等比数列.下面举例说明.1 a_n+1=pa_n+q（其中p、q为常数,p≠0,q≠0）型     

一类数列单调性的探究

数列是定义在正整数集或其子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数,数列的函数特征——单调性,在近几年各省市的高考中有充分表现.有一类递推数列可表示为a_n+1=f（a_n）的形式,这类数列的单调性与函数y=f（x）的单调性之间的关系密切.本文先给出几个数列单调性的结论,然后例析其应用.定理1设a_n+1=f（a_n）,若y=f（x）在某指定连续区间D上单调递增,对于任意a_n∈D.（1）当a₁2时,数列{a_n}单调递增;（2）当a₁>a₂时,数列{a_n}单调递减.我们用数学归纳法来探究:假设当n=k时,若     

2021年全国新高考数学Ⅰ卷第17题的解法探究和教学启示

1问题提出(2021年新高考Ⅰ卷第17题)已知数列{a_n}满足a1=1,a_n+1={a_n+1,n为奇数,a_n+2,n为偶数。(1)记b_n=a_2n,写出b₁、b₂,并求数列{b_n}的通项公式;(2)求{a_n}的前20项和.本题以“奇偶项交织”的递推关系考查数列的基本知识,注重基础,但形式新颖,解题方法较为丰富.     

递推数列求通项 活化思维有保障

<正>若数列连续若干项之间满足等量关系a_n+k=f (a_n+k-1,a_n+k-2,…,a_n),则称其为数列的递推关系.由递推关系和k个初始值可以确定一个数列，称数列{a_n}是递推数列.例1数列{a_n}中a₁=1, a_n=a_n-1+2n-3，求该数列的通项.解析:由a_n=a_n-1+2n-3，得a_n-a_n-1=2n-3，因此有a₂-a₁=1, a₃-a₂=3, a₄-a₃=5,     

线性交替的双数列通项问题揭秘

对于满足{an+1=x1an+y1bn+z1 bn+1=x2an+y2bn+z2(n∈N^*)的数列{an}、{bn},它们的递推关系呈现线性交替、彼此相关,咋一看着实让人眼花缭乱、无从下手.解决这类双数列递推问题往往需要较强的观察力、构造力和变通性,可以很好地考查学生转化化归、知识迁移能力以及数学运算、数学建模等学科素养,具有较高的考查意义和选拔功能!本文试图从简单的常规数列入手,由浅入深、逐步揭开呈线性交错的双数列通项问题的面纱!     

求递推数列的通项

数列是高中数学的重要内容,求递推数列的通项是高考的热点之一.其主要方法有归纳、累和、累积、换元、取倒数、待定系数等方法.下面通过对几个例题的解析分别介绍这几种方法.例1①已知数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=a_n+3,求通项;②已知数列{b_n}满足b₁=1,b_n+1=2b_n,求通项.分析:本例①为等差数列,②为等比数列,可用归纳法或迭代的方法求出其     

由递推公式求通项公式常见问题分析

数列中一个很重要的问题是由递推公式求通项公式,这类问题的一般方法是把递推公式变形,然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式,最后用新数列的性质解决问题.一、基本方法1.求和法:采用累加或累乘,有时需要用到a_n=S_n-S_n-1.例1已知正数数列{a_n}的前n项和S_n=1/2（a_n+1/a_n）,求{a_n}的通项公式.     

对一道高考试题的引申

本文对陕西省2009年文科高考题中的一道数列题进行引申,并给出一般性的中等数学的处理方法.陕西省2009年文科数学高考题第21题:已知数列{a_n}满足a₁=1,a₂=2,a_n+2=(a_n+a_n+1)/2,n∈N*.（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n,证明,数列{b_n}是等比数列;     

一道高考题引发的思考

数列求和问题历来是高考的热点、重点、难点。对于求形如{a_nb_n}的数列的前n项和S_n这类问题,其中{a_n}是公差为d（d≠O）的等差数列,{b_n}是公比为q（q≠1）的等比数列,常规方法自然是错位相减法。是否有其他的方法可以解决这类问题呢?现通过研究2014年高考安徽文科数学第18题,探究解决这类问题的思路。一、解法探讨例1（2014年高考安徽文科）数列{a_n}满足a₁=1,na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1）,n∈N^*。（1）证明:数列{a_n/n}是等差数列。     

一类递推数列的解法及应用

求递推数列的通项公式是近年来高考的热点问题.不难发现,这类问题常可转化为一类最基本的递推数列a_n+1=pa_n+q（其中常数p、q满足条件p≠1,pq≠0）,本文归纳几种求解方法并加以推广和应用.     

巧用待定系数法求递推数列的通项公式

由数列的递推公式求通项公式是数列的重要内容.在这类问题中,最简单的递推公式是a₁=a,a_n+1=ka_n+b（k≠0）（当k=1时,它就是等差数列;当b=0时,它就是等比数列）.我们可以设a_n+1+m=k（a_n+m）,其中m是待定的常数.比较系数可得m=b/（k-1）（k≠1）,故a_n+m=（a₁+m）k^n-1,a_n=[a+b/（k-1）]k^n-1-b/（k-1）.下面结合具体的问题,用待定系数法求简单的一阶递推数列的通项公式.     

巧用构造法解二阶线性递推数列通项公式

<正>求递推数列的通项公式,既是中学数学学习的一个难点,又是近几年高考的一个热点,近三年新课标高考压轴题都有求这类数列通项公式的问题.本文就求二阶线性递推数列通项公式,介绍一种构造法.已知数列{a n}中,a1=a,a2=b,a n+1=ka n+la n-1(n≥2),我们称数列{a n}为二阶线性递推数列.     

2014年高考新课标Ⅱ卷数列题解答分析

一、试题2014年高考数学课标卷试题:已知数列{a_n},满足a₁=1,a_n+1=3a_n+1.（Ⅰ）证明{a_n+1/2}是等比数列,并求{a_n}的通项公式;（Ⅱ）证明1/（a₁）+1/（a₂）…+1/（a_n）<3/2.此题设置两道小题,融数列、方程与不等式等高中数学主干知识,以及换元、放缩、数学归纳法等核心数学思想方法,逻辑推理、归纳类比等核心能力于一体,具有较强的探索性,考查学生对数学主干知识与核心思想方法的深层次理解与掌握.第（Ⅰ）小题待求结论     

再探等差与等比数列前n项和的性质

文[1]作者得到下列两个性质:①若数列{a_n}是以口a₁为首项,d为公差的等差数列,则a₁Ca_n⁰+…+a_n+1C_nⁿ=（a₁+n/2d）·2ⁿ.②若数列{a_n}是以a₁为首项,q为公比的等比数列,贝a₁C_n⁰+a₂C_n¹+…+a_n+1C_nⁿ=q（1+q）ⁿ.文[2]作者得到性质:对于任意以口l为首项,q为公比的等比数列{a_n}（a₁≠0,q≠0）,任意以b₁为首项,d为公差的等差列{b_n},总有:     

浅谈高三复习中注意强化函数思想方法

数学思想方法是对数学知识和方法的本质认识,是解决数学问题的根本策略和程序,是数学思想的具体化反映.一、数列中的函数思想方法.数列可以看作一个定义域为正整数集N^*（或它的有限子集{1,2,3,…,n}）上的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值（高中代数下册36页）这列函数值的通项a_n,前n项和S_n都可以看作a_n和S_n与n的函数关系式,这提供了解决这类问题的函数思想方法.例1等差数列{a_n},S_n=m,S_m=n,求S_m+n（m≠n）分析考虑到S_n是二次函数,S_n/n是一次函数,本题可转化为求S_m+n/（m+n）=?即由已知条件知,A（n,m/n）,     

构造新数列 巧解竞赛题

例1数列{a_n}中,a₁=1,a_n+1=1/（16）(1+4a_n+（1+24a-n）^1/2求a_n.分析本题的难点是递推关系式中的（1+24a_n）^1/2的处理,可构建新数列{b_n},令b_n= （1+24a_n）^1/2,这样就巧妙地去掉了根式,便于化简变形.     

交叉递推数列常见类型及解法

正交叉递推数列是指据条件,交叉使用两个不同的递推公式确定的数列,目前这类问题涉及的递推公式较为简单,一般为等差或等比数列,而选取递推公式的条件设置较为灵活,形式多样,常见有以下几种形式.1由n的奇偶性选择递推公式例1.(2012高考全国卷)数列{a_n}满足a_(n+1)+(-1)~na_n=2n-1,则{a_n}的前60项和为.分析:由a_(n+1)+(-1)~na_n=2n-1,可得     

一类数列公共项问题的求解策略

<正>对两个数列{a_n}和{b_n}，特别是两个等差(比)型数列，经常会遇到求它们的公共项组成的新数列{c_n}的相关问题．本文借助几个典型例题，分析此类问题的几种求解策略，期望对大家的解题有所帮助．一、观察通项，寻找最小公倍数例1已知数列{a_n}和{b_n}的通项公式分别为a_n=3n+6,b_n=2n+7(n∈N^*)，它们的公共项由小到大排成的数列是{c_n}．(1)求c₁,c₂,c₃,c₄的值;(2)求数列{c_n}的通项公式．     

递推数列的单调性探究

<正>数列的单调性与有界性是数列的两个基本性质,在解决具体问题时,两者又相互关联．本文主要探究一类已知递推关系的数列单调性问题的解法,试图总结并梳理一般处理此类问题的方法．1．知识铺垫设数列{a_n},若对任意n∈N*,有a_n+1>a_n(a_n+1n)成立,则称数列{a_n}单调递增(减)．由定义可知,比较a_n+1-a_n与0的大小是判断数列单调性的常见手段之一．(这里的单调性是指严格单调)     

刨根问底找题源

一、以教材例题为题源高考真题1（2014年高考湖南文科卷第16题）已知数列{a_n}的前n项和S_n=（n²+n）/2,n∈N*.（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式.（Ⅱ）设b_n=2^a_n+（-1）ⁿa_n,求数列{b_n}的前2n项和.教材原型（人教A版高中数学教材必修5第44页例3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+（1/2）n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如