n阶导数为0的函数的一个差分恒等式

本文证明了ｎ阶导函数为０的函数ｆ（ｘ）满足差分恒等式Σｎｉ＝０（－１）＾ｉＣ＾ｉｎｆ（ｘ０＋（ｎ－ｉ）ｈ）＝０，并将此结论应用于多项式，可得到一组组合恒等式，最后推广到多元函数的情形。     

直线、平面、简单几何体

试题1（陕西卷，文（理）科第19题）如图1，α⊥β，α∩ β=ι，A∈α，B∈β，点A在直线ι上的射影为A1，     

错在哪里

题 已知函数ｆ（ｘ）的定义域为（０，１），求函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ａ）ｆ（ｘ—ａ）（ａ≤０）的定义域。 解　ｆ（ｘ）的定义域为（０，１）， （１）当ａ＝０时，ｘ∈（０，１）； （２）当ａ＜－１／２时，－ａ≥１＋ａ，ｘ∈φ； （３）当－１／２≤ａ＜０时．－ａ≤１     

初等对称函数差的Schur凸性

讨论了初等对称函数差Ｅｋ（ｘ）－ Ｅｋ－ １（ｘ）在ｎ 维单形Ωｎ＝ ｛ｘ＝ （ｘ１,…,ｘｎ）∈Ｒｎ＋ ：Ｅ１（ｘ）≤１｝和ｎ 维立方体Ω′＝ ｛ｘ＝ （ｘ１,…,ｘｎ）∈Ｒｎ＋ ：０≤ｘｉ≤１,ｉ＝ １,…,ｎ｝上的Ｓｃｈｕｒ凸性．     

一种分布函数散布序的性质

设Ｆ，Ｇ是两人分布函数，记：Ｘ＾＋Ｆ（α）＝ｓｕｐ｛ｘ：Ｆ（ｘ）〈α｝，Ｘ＾－Ｆ（α）＝ｉｎｆ｛ｘ：Ｆ（ｘ）〉α｝，Ｘｆ（α）＝１／２「Ｆ＾＋Ｆ（α）＋Ｘ＾－Ｆ），」，Ａα∈（０，１），用＾ｄ≤表示分布函数间的散布序，Ｆ＾ｅ≤Ｇ的充要条件是：Ａα，β∈（０，１），α〈β，ＸＦ（β）＝－ＸＦ（α）＋ＸＦ（１－α）ＸＦ（１－β）≤ＸＧ（β）－ＸＧ（α）－ＧＸ（α）＋ＸＧ（１－α）－ＸＧ（１－β）本文在     

杨辉三角在三维空间的推广

由二项式（ａ＋ｂ）ｎ（ｎ＝１，２，３……）展开式中的系数所构成的“杨辉三角形”里蕴藏着许多组合恒等式，还有着许多不为一般人熟悉的其他的性质和作用。 由（ａ＋ｂ＋ｃ）ｎ（ｎ＝１，２，３，４……）三项式展开式中的系数也可以构成一个“三角”，不过它是三维空间的“三维锥体”。为了方便记述我们用１Ｃｋｎ（ｋ，１是非负整数，且０≤１＋ｋ≤ｎ）表示这样当ｒ＝０时，恰为二项式系数。三项式定理：（ａ＋ｂ＋ｃ） 若将其系数按ａ，ｂ，ｃ的幂次升降规律排起来为： 这一“三角”只是三项式（ａ＋ｂ＋ｃ）”展开式中系数的“第ｎ…     

(k,n-k)共轭边值问题正解的全局连通分支

讨论了非线性（k,n-k）共轭边值问题（－1）^n-kx^(n)=λp（t）f（x）,t∈（0,1）,x^（i）（0）＝0,x^（j）（1）＝0,0≤i≤k－1,0≤j≤n-k-1,在常规要求条件下给出了正解的一个连通分支。     

一类线性微分方程解复振荡结果的综述

本文讨论二阶方程f“ (R1(Z)e^P1(z) R2(Z)e^P2(z) Q(Z)f=0，（其中P1（Z）＝ζ1Z^n ……，P2（Z）＝ζ2Z^n为非常数多项式。R1（Z）≡0,R2(Z)≠0，Q（Z）为级小于n的整函数）在ζ1／ζ2的条件下，任一非平凡解的零收敛指数。     

巧构正方形 妙证不等式

某些不等式，如果囿于从代数角度来考察证明，会显得有些棘手．然而只要细心观察、类比联想，就可以发现这些问题通过构造正方形，借助正方形的几何性质来证明，不仅能够使命题的解答过程简洁直观，而且有助于培养学生的创造性思维能力，下面用实例来说明．10，求证：x－2y≤200．（1987年列宁格勒数学竞赛题）证设a＝x，b＝y，结合条件有a、b∈R＋，且a＝b＋10，如图，构造边长为a＝b＋10的正方形，从而由图可直观地看出a2－2b2≤200，因此x－Zy≤200．例2设x、y∈R，且0≤x≤1，0≤y≤1，求证：x/(1 y) （1988年列宁格勒数学竞赛题）．…     

分圆域 Qζ24的幂元整 基简

伽罗瓦数域L称有一个幂元整基,如果其代数整数环具有形式Z（α）,其中α∈L．此时称仅是L的幂元整基生成元．设α,β是L的两个幂元整基生成元,若β=m±δ（α）,m∈Z,m∈Z,δGal（L／Q）,则称a与β等价．本文主要研究分圆域Q（ζ24）的幂元整基问题．分圆域Q（ζ24）的代数整环是Z[ζ24],所以ζ24是Q（ζ24）的幂元整基生成元．设α是Q（ζ24）的幂元整基生成元,证明了当α＋α≠Z时,z[α]=Z[α]=Z[ζ24],则Q与ζ24等价．从而给出在此条件下分圆域Q（ζ24）的所有幂元整基生成元．     

一道三角函数题的错解分析

题：求函数ｙ＝ｃｏｓ（π６－２ｘ）的单调递增区间有两位同学作出了以下两种解法：学生甲：因ｙ＝ｃｏｓｘ的单调递增区间为［２ｋπ－π,２ｋπ］,（ｋ∈ｚ）,所以２ｋπ－π≤π６－２ｘ≤２ｋπ,－ｋπ＋π１２≤ｘ≤－ｋπ＋７π１２,（ｋ∈ｚ）．故所求递增...     

关于介值定理的进一步探讨

从所周知,闭区间的连续函数有几个理想的性质,其中介值定理在研究函数方程的根、不动点等问题方面应用非常广泛。下面对介值定理再作进一步的探讨。命题1若函数f（x）在［a,b］连续,且有,则存在ξ∈［a,b］使f（ξ）=ξ证明作辅助函数F（x）=f（x）－x,易知函数F（x）在［a,b］连续,由已知,有f（x）∈［a,b］,即a≤f（x）≤b,从而F（a）=f（a）－a,F（b）=f（b）－b≤0当F（a）=0或F（b）=0时,取ξ=a或ξ=b即可当F（a）＞0,F（b）＜0时,F（a）·F（b）＜0,根据零点定理,至少存在一点ζ∈（a,b）使F（ζ）=0,即f（…     

用代换法求函数值域

代换法是一重要的数学方法，运用它可使问题化繁为简、化难为易。它是一种思路生动、行之有效的方法，下面给出其一般原则。定理若φ（x）是集合A到集合B上的函数，f（μ）的定义域为B，那么f（μ）与f［φ（x）］的值域相同。即设M＝yy＝f（μ），μ∈ ，N＝yy＝f［φ（x）］，x∈ ，则有M＝N。证明：在M中任取一点y０，由M的定义，必存在μ０属于B，使得f（μ０）＝y０；由于μ０∈B，φ（x）是A到B上的函数，因此必有x０∈B，使得φ（x０）＝μ０，这时y０＝f［φ（x０）］，x０∈A，从而y０∈N。反之，在N中任取一点y０，…     

从不同角度看分布函数的意义

经验分布函数是数理统计理论中的重要概念，是理论分布函数和实际数据之间的桥梁。由于篇幅和时数的限制，一般教材不可能进行充分叙述。因为经验分布函数是重点，又是难点，所以对经验分布函数的有关问题进行专门讨论，在教学、学习、学术研究和应用中都有一定意义。一、经验分布函数的概念设ζ为母体，独立同分布随机变量ζ1，ζ2…，ζn为母体是的子样，ζ1*，ζ2*，…，ζn*为子样的顺序统计量，即：对任意实数x∈R＝（－∞，＋∞）定义。叫母体ζ的经验分布国数，这就是经验分布函数的定义，下面我们从不同角度来说明经验分布函数的意…     

一类不等式的特殊解法

“不等式”是客观事物中“不等”现象的抽象和解析表达,是中学教学中难度较大的内容之一,也是饶有趣味和掌握后会大有收获的重要知识．本文探索一类不等式的一些特殊解法．例１ 若θ∈〔０ ,π２〕 ,不等式ｓｉｎ２θ +ｋｓｉｎθ -２ｋ＞０恒成立,求实数ｋ的取值范围．解法１ （常规解法）设ｔ＝ｓｉｎθ ,ｔ∈〔０ ,１〕 ,则ｆ（ｔ）＝ｔ２ +ｋｔ -２ｋ＝（ｔ + ｋ２）２ - ｋ２４ -２ｋ,ｔ∈〔０ ,１〕 .（Ⅰ）当 - ｋ２ ≤０,即ｋ≥０时,ｆ（０）＞０,即-２ｋ＞０ ,∴ｋ＜０,与ｋ≥０比较,此时无解 （Ⅱ）当０＜ - ｋ２ ≤１…     

Rarsons图G（2,b,q）的围长

证明了Ｐａｒｓｏｎｓ图Ｇ（２，ｂ，ｑ）的围长ｇ（Ｇ（２，ｂ，ｑ））≤４。而对某些ｂ∈ＧＦ（ｑ），有ｇ（Ｇ（２，ｂ，ｑ））＝３。同时证明了Ｇ（２，０，２ｎ）是可１－因子分解的。     

剖析求函数值域的几种常见错误

求函数值域的方法较多，但在使用这些方法过程中，学生常常会出现一些错误，如忽视定义域、忽略变形过程中自变量取值范围的扩大，盲目使用一些常用方法等，现举例说明．１　忽视中间变量的取值范围例１　求函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ（ｘ２－ｘ＋１）的值域．错解　由－１≤ｘ２－ｘ＋１≤１，得０≤ｘ≤１．∵　当ｘ∈［－１，１］时，ａｒｃｓｉｎｘ∈－π２，π２，∴　－π２≤ａｒｃｓｉｎ（ｘ２－ｘ＋１）≤π２．所求函数值域为－π２，π２．剖析　上述解法忽视了中间变量ｘ２－ｘ＋１的取值范围．事实上ｘ２－ｘ＋１＝ｘ－１２２＋３４…     

求函数最值问题中常见错解剖析

李文仅就解答有关最值习题时的几种常见错误举例剖析如下：１　配方法例１　若ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且ｘ＋ｙ＝４，求ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２的最大值。错解　ｘ＋ｙ＝４ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２＝（ｘｙ）２－２ｘｙ＋１６＝（ｘｙ－１）２＋１５这函数不存在最大值，只有当ｘ·ｙ＝１时，ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２取得最小值１５。剖析　由已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋，且ｘ＋ｙ＝４得，０＜ｘｙ≤（２）２＝４．当日仅当ｘ＝ｙ＝２时等号成立。欲（ｘｙ－１）２最大，即｜ｘｙ－１｜最大，故正确的答案为：当ｘｙ＝４，即ｘ＝ｙ＝２时，ｘ２＋ｙ２＋ｘ２ｙ２取得最…     

泛函的约束变分问题

本文讨论Ｊλ＝ｉｎｆΩ（｜Ｄｕ｜ｐ＋ａ（ｘ）｜ｕ｜ｐ）｛Ω｜ｕ｜ｐ＊＝λ，ｕ∈ｗ１，ｐ（Ω）｝的可达性，其中Ω是Ｒｎ中具有ｃ１边界的有界区域，ｎ≥２，１＜ｐ＜ｎ，ｐ＊＝ｎｐ／（ｎ－ｐ），ａ（ｘ）∈ｃ（Ω），且ａ（ｘ）≥０，ａ（ｘ）０，λ＞０．     

关于Conrad子群Sγ的若干结果

G是ι－群，Гm(G)是G极小素子群所成集，Г(G)是G之正则子群所成根系，对于↓Aγ∈Г（G），Sγ=∩｛P∈Гm（G）|P包含于Gγ｝，称每个Sγ为Conrad子群。本文研究Sγ的特征，并由此建立扭类F与Fν^2以及Fν与SV之间的等价条件。