用外微分来解释微积分的一些问题

数分上我们常用到的积分至多到三重积分,因此,这里只讨论到三重积分。实际上可以推广到n重积分上去。1 外积和外微分1.1 定义1:设φΨ是一元函数,我们规定一种运算为“外积”用“∧”表示 ∧:(φ∧Ψ)（x,y)=(φ(x)·ψ(y)-φ(y)ψ(x)1.2 外积具有下列性质: （1）外积是可结合的,即 （φ∧ψ)∧θ=φ∧(ψ∧θ) （2）外积是双线性的,即 φ∧(αψ_1+βψ_2）=α(φ∧ψ1)+β(φ∧φ_2)、(αφ_1+βφ_2）∧φ=α(φ_1∧ψ)+β(φ_2∧ψ) （3）外积是不可换的,但有如下关系式:     

Strong/weak limits and strong/weak differentials of multi-variable indeterminate forms. III: Transformations

1SimplificationinsphericalcoordinatesInthesphericalcoordinatessystem,??y?x=rsinθcosφ,z=rsinθsinφ,=rcosθ,???00≤θ<π,≤θ<2π.Setk=?tanφ,yandK=?zcotθ,then,xxcosφcotθu=r0K(t,t')istransformedintor=r0K(tanφ,cos),φandis,whenφ=0,simplifiedintoatruncatedcurver=r°K(0,cotθ).Thelatteriseasiertoberesolvedandcanreverttotheformerthroughturningaroundfor180°.Example.Thereexistsu=z2=(rcosθ)2x2+y2+z2r2=r°cos2θ?φ°,0≤θ≤π,0≤φ<2π.AsshowninFig.1,XX′isthediameteroftheunitcircle,OP0i…     

条件极值的初等求法(续)

如果我们能够从约束方程或约束方程组中把其中一些未知数解出,那么将其代入函数式后,所求的条件极值便转化为另一变数较少的函数的普通极值了。定理 4.如果一元函数 z=f(x,φ(x))在 x=x_0处取得最大(小)值,那么二元函数z=f(x,y)在条件 y=φ(x)下在点(x_0 φ(x_0))处也取得最大(小)值。定理 4 可以推广到多元函数的情形。例7.若三个非负变数 x,y,z 满足条件3y 2z=3-x 和3y z=4-3x,求线性函数w=3x-2y 4z 的最大值与最小值。     

用多元函数求值域方法解线性规划问题

文[1]指出:在中学阶段,求多元函数值域有两个方法,一是转化为一元函数求值域,如z(x,y)=x^2+2y^2/xy=x/y+2·y/x,令x/y=t(令y/y=t也一样),则z(x,y)=φ(t)=t+2/t,求φ(t)=t+2/t值域即可;二是将其中一个元作为自变量,其余元作常量,逐步求一元含参函数的值域,最后求一元函数值域,如z(x,y)=x^2-2xy+2y^2-2y+3,令z(x,y)=φ(x)=x^2-2xy+2y^2-2y+3=(x-y)2+y^2-2y+3,则φ(x)min=φ(y)=y^2-2y+3,又令φ(y)=y^2-2y+3,则φ(y)min=φ(1)=2,即z(x,y)min=z(1,1)=2.     

一道捷克和斯洛伐克数学奥林匹克决赛试题的两种解法

问题若实数x,y,z满足x+y+z=12,x 2+y 2+z 2=54,试求xy的最大值和最小值.[JP3]解法1:由x 2+y 2=54-z 2,可设x=54-z 2 cosθ,y=54-z 2 sinθ.[JP]则x+y+z=12,即12-z=54-z 2(sinθ+cosθ)=108-2z 2 sin(θ+π4),从而|12-z|≤108-2z 2,解得z∈[2,6].所以xy=12[(x+y)2-(x 2+y 2)]=12[(12-z)2-(54-z 2)]=z 2-12z+45.由2≤z≤6,得9≤z 2-12z+45≤25,即xy的最大值为25,最小值为9.     

复变函数可微性充要条件的另两种形式

给出了函数f（z）表为u（r,θ）e^iv（r,θ）或u（x,y）e^iv（x,y）的可微性充要条件的形式。     

Cauchy-Riemann条件的另一形式

给出了函数f(z)表为u(γ，θ）e^iv(γ，θ）（或表为u(x,y)e^iv(x,y))时Cauchy-Riemann条件的表示形式。     

随机变量的函数的数学期望

由“曲线分布密度”的公式φq(y)=∑kφξ(xk)|g‘k(y)|和“曲面分布密度”的公式φξ(z)=∫czφ(g(y,z),y)|g‘z(y,z)|dy，对有函数关系的随机变量η=f（ξ）及ξ=f(ξ，η)的数学期望公式E（η）=∫φ(x)f(x)dx和E（ξ）=∫∫f(x,y)φ(x,y)dxdy给出证明，并给出了若干应用。     

关于数论函数方程φ((ψ(x))y)=xy

对于正整数k,设φ(k)和ψ(k)分别是k的Euler函数和Dedekind函数.证明了方程φ((ψ(x))y)=xy仅有正整数解(x,y)=(1,t),其中t是任意正整数.     

用方程的思想求分式函数的值域

求形如下列的有理分式函数的值域 y=(a_1x~2+b_1x+c_1)/(a_2x~2+b_2x+c_2)(x∈D,D为定义域) (1)一般是把原函数式化成关于x的一元二次方程φ(y)x~2+ψ(y)x+g(y)=0 (*)(其中φ(y)、ψ(y)、g(y)是关于y的表达式),根据方程(*)的判别式△=ψ~2(y)-4φ(y)g(y)≥0求出y的取值范围,即得原函数的值域,这就是所谓的“判别式法”。大家知道,用上述方法求出的结果是不一定可靠的,可能会得出错误的结论。就方法本身而言,也使人疑虑:为什么能这样求?在     

整体思考 巧妙解题

整体思考是数学的重要方法之一,对于某些数学问题,若能灵活应用这一思想方法,常能突破常规思维的羁绊,使解题快捷且有新意.例1有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件、乙7件、丙1件,共需3.15元;若购甲4件,乙10件,丙1件,共需4.20元.现在购甲、乙、丙各一件共需多少元?解:设购甲、乙、丙一件分别需x元、y元、z元,由题意得:3x+7y+z=3.15,4x+10y+z=4.20 方程个数少于未知数个数,若按常规思考,则望题兴叹,不可能把x、y、z都求出来,但深思慎虑,原来题目要求的只是x+y+z的值,并非要把x、y、z分别求出来,于是对方程组作如下变形:2x+6y+x+y+z=3.15,3x+9y+…     

用构造法解三角题

一、构造函数例1设α、m为常数,θ是任意实数,求证:眼cos(θ+α)+mcosθ演2≤1+2mcosα+m2.证明构造函数y=f(θ)=1+2mcosα+m2-眼cos(θ+α)+mcosθ演2,则只需证明y≥0即可.f(θ)=sin2(θ+α)+2m眼cosα-cosθcos(θ+α)演+m2sin2θ.令sin(θ+α)=x,则得二次函数y=x2+2msinθ·x+m2sin2θ.由于Δ=4m2sin2θ-4m2sin2θ=0,且二次项系数为1,故y≥0,即原不等式成立.二、构造数列例2已知:sinφcosφ=60169,π4<φ<π2,求sinφ、cosφ的值.解由题意可知,sinφcosφ=(215姨13)2且sinφ>cosφ,构造等比数列cosφ,215姨13,sinφ.设sinφ=215姨13·q,c…     

二元函数方向导数的几何意义

为探索二元甬数z=f(x,y)方向导数的几何特征,使用代数分析和矢量分析的方法研究函数z=f(x,y)的方向导数.对于由方程z=f(x,y)给出的曲面S上的曲线C:z=f(x,y)且y=y0+tanα·(x-x0),设L是过曲面S上(x0,y0,f(x0,y0))点曲线C的切线,θ是有向直线L与矢量→/AB的夹角.那么二元函数z=f(x,y)在(x0,Y0,f(x0,y0))点沿方向AB的方向导数就是tanθ.     

1999年高考理科第(20)题的几何背景

1999年全国高考数学(理科)第(20)题:设复数 z=3cosθ i·2sinθ.求函数 y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.本文将揭示其几何背景,并给出新解法.将问题一般化:设复数 z=acosθ i·bsinθ,a>b>0,θ∈(0,π/2).求函数 y=θ-argz 的最大值及对应θ的值.设复数 z 在复平面上对应点 M(x,y),     

多元复合函数微分法中的难点分析

多元复合函数微分法是多元微分学的重点，也是难点。我们在长期的教学过程中，发现历届学生对这部分内容掌握不好，特别是对下面所述三个难点涉及的习题，容易出现错误，其中有的理解不对，有的理解正确但表达错误。因此，很有必要剖析这些难点，帮助学生学好这部分内容。复合函数求导法则由下述基本定理给出。定理设u＝φ（x，y），v＝ψ（x，y）在点（x，y）有偏导数，z＝f（u，v）在对应点（u，v）有连续偏导数，则复合函数z＝f犤φ（x，y），ψ（x，y）犦在点（x，y）偏导数存在，且zx＝zuux＋zvvxzy＝zuuy＋zvvy公式（１）中复合函数的…     

1999年高考理(20)题的几何背景与别解

设复数z=acosθ i·bsinθ(a>b>0,0<θ<π/2),则θ为复数z在复平面上对应点z的轨迹x=acosθ,y=bsinθ(θ为参数)——椭圆(在第一象限部分)的离心角,如图1,y=θ-arg     

高考数学模拟试题（新教材）

第Ⅰ卷 (选择题 ,共 60分 )一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 ,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1 函数f(x) =3cos(3x -θ) -sin(3x -θ)是奇函数 ,则θ等于 (　　 ) .A .kπ　　　　　　　B .kπ + π6C .kπ + π3 D .kπ -π32 .已知直线l1:mx + y -3 =0与直线l2 :2x + y+ 2 =0平行 ,则直线l1的倾斜角的大小是 (　　 ) .A .arctan(-2 )　　B .π -arctan2C .π +arctan2D .arctan23 .已知a ={x1,y1,z1},b ={x2 ,y2 ,z2 },且x2 y2 z2≠ 0 ,则 x1x2=y1y2=z1z2是a→ 与b→为同向的 (　　 ) .A .…     

向量与其他数学知识的交汇

向量具有数字化的形式,同时又具有形象化的特征,故成为联系多项数学知识的媒介.一、与代数的交汇【例1】设实数x、y、z、a、b、c满足条件:(x2 y2 z2)(a2 b2 c2)=(ax by cz)2,求证ax=by=cz.证明:设m=(x,y,z),n=(a,b,c),且m与n的夹角为θ.∵m·n=｜m｜·｜n｜cosθ,m·n=ax by cz∴ax by cz=x2 y2 z2·a2 b2 c2cosθ由已知得cosθ=±1,即θ=0或π.∴m∥n由向量平行充要条件是ax=by=cz.评注:在等式证明中,利用数量积公式,建立数形对应关系,从而问题得解.【例2】已知a,b,c,d∈R,求函数f(x)=(x a)2 b2 (x-c)2 d2的最小值.解:设m=(x a,b),n=(c-x,…     

一个最值问题的探究

《中学数学》2007年1月给出的征解题是:设x、y、z为非负实数,且x y z=32,求式子x3y y3z z3x的最大值.笔者经探讨,获得以下一般性结论:定理设x、y、z为非负实数,且x y z=k(k>0),记P=x3y y3z z3x,则P≤22576k4①当且仅当x=0,y=3z=43k或y=0,z=3x=43k或z=0,x=3y=43k时,①式取等号.为方便①式的证明,先给出如下引理:引理设x、y、z为非负实数,则当x≥y≥z或y≥z≥x或z≥x≥y时,x3y y3z z3x≥xy3 yz3 zx3②当x≤y≤z或y≤z≤x或z≤x≤y时,②式反向成立.证明②式等价于:[y (x-y)]3y y3[y-(y-z)] [y-(y-z)]3[y (x-y)]≥[y (x-y)]y3 y[y-(y-z)]3 [y-(…     

Diophantine方程xn+yn=zφ(n)的本原解

设n是正整数,φ(n)是Euler函数.证明了方程xn yn=zφ(n)当且仅当n≤3时有正整数解(x,y,z)适合gcd(x,y)=1.