殊途同归异曲同工的两个典型问题

正在人教版七年级数学上册第四章《图形的初步认识》的学习过程中有两个很典型的问题,相信大家做题时已经遇到过.请看这两个问题:题1.如图,点C在线段AB上,点D、E分别是AC、BC的中点.(1)若AC=8cm,CB=6cm,求线段DE的长;(2)若C为线段AB上任一点,AB=a,其它条件不变,你能猜想DE的长度吗?写出你的结论并说明理由;(3)若点C在线段AB的延长线上,AB=a,D、E分别为     

对一道中考试题解法的探究

<正>试题(2013扬州)如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=2,CD=1,BC=m,P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合,连结PA,过点P作PE⊥PA交CD所在直线于点E.设BP=x,CE=y.(1)求y与x的函数关系式;(2)若点P在线段BC上运动时,点E总在线段CD上,求m的取值范围;(3)如图2,若m=4,将△PEC沿PE翻     

一类等腰三角形问题的探究

<正>以等腰三角形为载体,让点在边上动起来,或通过旋转设计出的问题可谓频频出现,本文通过具体例子剖析这类问题的解法.一、变中寻不变,探索图形的性质例1(2016年泰安中考题)(1)已知:△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如图1),求证:EB=AD;(2)若将(1)中的"点D在线段AB上"改为"点D在线段AB的延长线上",其它条件不变(如图2),(1)的结论是否成立,并说明理     

解开放型试题的几点策略

一、解关于等腰三角形一类开放型作图题已知定线段AB,求作△ABC,使△ABC是等腰三角形。点C的位置有以下三种情形：（1）若CA=CB,则点C在线段AB的中垂线上,（如图1,中垂线与AB的交点除外）;（2）若BC=AB,则点C在以B为圆心,AB为半径的圆上（如图2,⊙B与直线AB的交点除外）;     

学会分类 正确求解

有些几何题,必须进行合理分类,才能正确求解.现举几例谈谈这类问题的解法.例1已知线段AB=8CM,C点在直线AB上,线段BC=3CM,M、N分别为线段AB和BC的中点,求线段MN的长.分析:由题意知点C可在线段AB上,也可在线段AB的延长线上,如图1和图2.解:(1)当点C在线段AB的延长线上时,MN=BM NB=     

联想与类比

<正>在一节复习课上,老师出了一道思考题:题1如图1,点C在线段MN上,线段AB=10,M、N分别是AC、BC的中点,求线段MN的长.本题解答不难:∵点M是AC的中点,∴MC=1/2AC.同理,NC=1/2BC,∴MC+NC=1/2AC+1/2BC,即MN=1/2AB=5.解题完成后,老师继续给出一个问题:题2如何改变题1中点C的位置,使上述结论不变?     

2011年全国高中数学联赛加试(B卷)几何题的简解及推广

2011年全国高中数学联赛加试(B卷)试题:如图1,过⊙O外一点A作⊙O的两条切线,切点分别为B,C.点D在线段BC的延长线上,CD=1/2BC.P为AD的中点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为Q,R,QR与BC交于点E.点M在线段CB的延长线上,BM=BC.N为AM的中点,过N点作⊙O的两条切线,切点分别为K,J,JK与BC交于点L.证明: (1)四点A,R,Q,D共圆;(2)MC/CL=BE/CE.     

刍议黄金三角形的证明方法

试题：（2011 宿迁）如图1,在RtAABC中,∠B=90°,AB=1,BC=1/2,以点C为圆心,CB为半径的弧交CA于点D;以点A为圆心,AD为半径的弧交AB于点E．     

一道中考题的启示——2020年大连中考数学卷第25题第(2)问解析

<正>考题再现例1 (2020·辽宁·大连)如图1,△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,BE=CE,点G在线段CD上,CG=CA,GF=DE,∠AFG=∠CDE.(1)填空：与∠CAG相等的角是_____;(2)用等式表示线段AD与BD的数量关系,并证明;(3)若∠BAC=90°,∠ABC=2∠ACD(如图2),求AC/AB的值.     

例说求线段的长

例l如图1,D为线段AB的中点,E为线段刀C的中点,C在AB的延长线上,AC一12,EC一4,求AD的长, 解’:E为BC的中点,EC一4,:.BC二ZEC一8. 丫AC~12, .’. AB一AC一BC一4.A D B Ec图1丫D为AB的中点,。.。AD-喜AB一2.乙 例2如图2,已知线段AB~16,C点在线段AB上,D和E分别是AC、CB的中点,那么DE的长为一解题方法一 解‘:D和E分别是AC、CB的中点,‘---日匕--~山~~~~~~A D C EB 1,~:二二-二,且L 艺图2…DC:。DE例3一DC+EC一EC= 1~n十万万七力 乙 X1一2 1,,~.on、一二二L入七十七力少 乙 1,。-二丁J气力- Z16=8如图3,延长线…     

对一道漏解题的解析、引申及其应用

试题已知点A,B,D在同一直线上,CD上AD于D,AB=3^1/2+1,∠CAD=30°∠CBD=45°,则CD的长=_<sub><sub><sub><sub>.这是一道九年级的检测试题,多数学生填1,究其原因是因为习惯画A,B在点D的两侧图形,而漏掉了A,B在点D的同侧的情形,这也说明无图问题要注意分类讨论.     

一道解析几何竞赛训练题的解法创新与推广

浙江大学出版社出版的《高中数学竞赛专题讲座》中P₆₈有这样一道题:如图1所示,过抛物线y²=x上的一点A（1,1）作抛物线的切线,分-别交x轴于D,交y轴于B,点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足（AE）/（EC）=λ₁,点F在线段BC上,满足（BF）/（FC）=λ₂,且λ₁+λ₂=1,线段CD与EF交于点P,当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.现摘录原文解答如下:解:过抛物线上点A的切线斜率为k=2x|_x=1=2,切线AB的方程为y=2x-1.所以B、D的坐标     

例谈三角形面积公式的应用

<正>一、试题呈现图1题目 如图1,线段AB的长为8,点C在线段AB上,AC=2. 点P为线段CB上任意一点,点A绕着点C顺时针旋转,点B绕着点P逆时针旋转. 若它们恰重合于点D,则△CDP的面积的最大值为____.(2022学年第二学期上海市高三年级质量调研第11题)如何来解这道题,     

注重基础 导向正确

原题再现：（宿迁卷第28题）如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=1,BC＝1/2,以点C为圆心,CB为半径的弧交CA于点D;以点A为圆心,AD为半径的弧交AB于点E．     

构造辅助圆解动态几何问题

有些动态几何问题中并无圆,但引入辅助圆后,可使思路特别清晰,问题便迎刃而解.以下以中考动态问题为例,加以阐述.例1如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=9,BC=12,AB=a,在线段BC上任取一点P.作射线PE⊥DP,PE与直线AB交于点E.     

浅析一道高考题的一题多解

<正>(2013全国新课标·理科18)如图1,直棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=2?/2AB.(1)证明:BC1∥平面A1CD.(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.(1)证法1:(作辅助线)如图2,连结AC1,交线段A1C于点O,连结OD,则OD∥BC1.     

一道压轴题的研讨

正1、背景呈现在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.试探索以下问题:(1)当点E为AB的中点时,如图1,请判断线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE_DB(填""、""、"=")(2)当点E为AB上任意一点时,如图2,AE与DB的大小关系会改变吗?请说明理由.     

谈谈黄金三角形

一、关于黄金分割如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ACAB=图1BCAC,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.由于ACAB=BCAC可以写成AC2=AB·BC,所以黄金分割也可以说成是“点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项”.如果设AB=1,AC=x,则BC=1-x.于是　x2=1×(1-x),即　x2+x-1=0.∴x=-1±52.∵x>0,∴x=5-12≈0.618.∴AC=5-12,BC=1-5-12=3-52.我们可以在单位长的线段AB上作出黄金分割点.实际上就图2是要作出长为5-12的线段.作法如下(图2):1过点B作B…     

2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛

一、填空题（每小题9分,共90分）1.已知正整数数列{a_n}满足a_n+2=a_n+1+a_n（n∈Z₊）.若a₁₁=157,则a₁=_<sub><sub><sub>.2.函数y=sin²x+sinx·cosx-2cos²x的值域为_<sub><sub><sub>.3.在△ABC中,已知∠A=30°,2 AB·AC=3BC².则△ABC的最大角的余弦值为_<sub><sub><sub>.4.在直角坐标平面内,曲线|x-1|+|x+1|+|y|=3围成的图形的面积为_<sub><sub><sub>.5.若（3-a）^1/2-（a+1）^1/2>1/2恒成立,则a的取值范围是_<sub><sub><sub>.6.去掉集合     

长春市2012年中考压轴题详解

近年来长春市中考的最后一道题都在教育部制定的数学课程标准指导下在教材中所学的知识范围内综合考查运用所学的代数、几何知识分析问题及解决问题的能力.题目立意新颖考查知识面宽.下面我们来分析2012年长春市中考压轴题.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm.D、E分别为边AB、BC的中点,连结DE.点P从点A出发,沿折线AD-DE-EB运动,到点B停止,点P在线段AD上以5^1/2cm/s的速度运动,在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动,当点P与点A不重合时,过点P作PQ⊥AC于点Q,以PQ为边作正方体PQMN,使点M在线段AQ上,设点P的运动时间为t（s）.