用三角形面积巧解线段问题

根据三角形面积关系得出线段(底、高)关系,是一种较好的解题方法. 例1 如图1,△ABC中,AB=AC,BD是高,P为BC延长线上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E、F.求证:PE=BD PF. 分析:证明线段和差关系的常规思路是截长或补短,可利用全等实现线段的转移;而本题则可由高想     

数学思想助解特殊平行四边形

<正>在解决特殊平行四边形的问题中,运用数学思想常常可以迅速找到解题的途径.下面举例说明.一、转化思想例1 (2021·重庆)如图1,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是边AD上一点,连接OM,过点O作ON⊥OM,交CD于点N.若四边形MOND的面积是1,则AB的长为（）.     

三角形面积公式的应用之总结

三角形的面积 :S=底×高 ÷ 2 .应用面积关系图 1求解 ,有时可使解题简章明了 .1　利用面积的不变性解题例 1　如图 1,在Rt△ABC中 ,∠C =90° ,AC =4 ,BC =3,CD ⊥AB于D ,求CD .解析　在Rt△ABC中 ,由勾股定理得 ,AB =5,而S△ABC =12 BC·AC =12 AB·CD ,即BC·AC =AB·CD ,故CD =BC·ACAB =2 .4 .结论 1　直角三角形斜边上的高等于两条直角边的积除以斜边的商 .例 2　 (《几何》第二册第 2 4 8页B组第 2题 )如图 2 ,矩形ABCD中 ,AB =a ,BC =b ,M是BC的中点 ,DE ⊥AM ,E是垂足 ,求证DE =2ab4a2 +b2 .解析　根…     

结构联想——巧解圆中线段的两倍关系

<正>在三角形、四边形这两章的学习中,我们经常会碰到线段的相等关系、和差关系、倍数关系的推理问题,但圆中涉及到线段倍数关系的题目并不多.本文通过对一道例题的分析,给出几种解题的策略,供同学们参考.例题如图1,点A、B、C、D在⊙O上,AC⊥BD于点E,过点O作OF⊥BC于点F.求证:(1AEB∽OFC;(2)AD=2FO.分析(1)要证AEB∽OFC就得围绕相似三角形的几种判别方法.AC⊥BD与OF⊥BC为我们提供了一组直角相等,下面就     

妙用典型例（习）题巧解题

<正>有些数学题,乍看起来似乎难以下手,如果同学们能联想到课本中的某些典型例题、习题,注意应用其解题方法或结论来解题,将会使解题思路更巧妙、简捷.例如图1,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B、D,点E在BD上,且AE⊥CE,求证：（1）△ABE∽△EDC;(2)当AE=EC时,△ABE≌△EDC.     

例谈极限思想在中学数学解题中的运用

极限是进一步学习高等数学的重要工具 .极限作为一种运算 ,在高考中的要求较低 ,一般只要了解即可 ,然而极限作为一种思想 ,一种从有限认识无限的数学思想 ,在近几年的高考中时有考查 ,且有进一步加大力度的趋势 .本文例谈极限思想在优化解题方法 ,寻找解题思路 ,加深问题理解 ,发现解题结论及巧举反例中的运用 .通过例题可以看到运用极限思想解题深刻独特、简洁明快 .1　运用极限思想优化解题方法例 1　过抛物线y =ax2 (a >0 )的焦点F作一直线交抛物线于P、Q 2点 ,若线段PF与FQ的长分别为p、q ,则 1/p 1/q等于(　　 ) .A　 2a ;　　B…     

面积有妙用 证明有捷径

<正>对于几何问题的证明,方法不一,繁简各异.下面我们举例说明面积法在几何证明中的巧妙运用,希望能对同学们有所启迪.1利用面积相等关系,证明角相等例1如图1,在平行四边形ABCD中,AE、CF相交于G,且AE=CF,求证:GB为∠AGC的平分线.析证要证BG平分∠AGC,只要证B到∠APC两边的距离相等即可,为此作BH⊥AE于H,BT⊥CF于T,即证BH=BT,     

巧用直角三角形斜边上的中线

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,这条定理反映了直角三角形中重要的数量特征.在某些几何证题中,如能巧妙地运用这一数量关系,常可寻求到解题的捷径.下面举例说明. 例1 如图1,已知△ABC中,BD、CE分别是AC和AB边上的高.F、G分别是BC和DE的中点.求证:FG⊥ED.     

代数法解题的常用方法和技巧

代数法是指用代数知识解决几何问题的方法.也就是利用几何定理、法则,把几何问题转化成方程、不等式以及函数等代数问题来解决的方法.利用代数法往往能使解题思路更清晰、推理更简捷.一、利用线段的和差关系例 1 如图 1,在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F,若DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB同时成立,求点D在AB上的位置. 分析:先假设符合条件的点D已经作出,再利用巳知条件,寻找线段与角之间的数量关系,列出含有未知量的等量关系,然后通过代数方法求解.解:设AB=1,AD=x,因为△ABC为正三角形.且DE⊥     

一个基本图形与高考试题

如图1,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PC⊥BC(或者AC⊥BC).这是一个重要的立体模型,它是最简单的多面体,不少的几何体中都含有这个图形,怎样在题目所给的复杂的几何体中寻找或构造出这一基本图形,把它分离出来,将是解题成败的关键.下面将列出这一基本图形蕴含的许多重要的位置关系和度量性质,并举例说明其在历届高考题的应用.     

巧用面积关系证题

一、利用面积之和证题通过引辅助线 ,把三角形分割成几个小三角形 ,则原三角形的面积等于分割成的各个小三角形的面积之和 .运用这一关系 ,可以证明线段之间的和差关系 .例 1　已知 :如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,Ｐ为ＢＣ上任一点 ,ＰＤ⊥ＡＢ ,ＰＥ⊥ＡＣ ,垂足分别为Ｄ、Ｅ ,ＣＦ是ＡＢ边上的高 .求证 :ＰＤ ＰＥ =ＣＦ .分析　由ＰＤ、ＰＥ是垂线段不难联想到三角形的高 ,由高进一步联想到面积 .这样 ,思维的角度就定位在面积关系上了 .连结ＡＰ ,容易看出ＰＤ、ＰＥ、ＣＦ分别是△ＡＰＢ、△ＡＰＣ、△ＡＢＣ的高 ,而这三个三角形…     

三角形面积法解题例举

在几何证明或解题中如能灵活运用三角形面积公式,有时能收到很好的效果,现举例如下: 例1 如图△ABC中,AD平分BAC.求征: AB/AC=BD/BC(角平分线定理) 证明过A作AE⊥BC,垂足为E,     

巧用面积法解题

一、考察面积表达式考察同一个几何图形面积的不同表示方法 ,从而得到等量关系 ,寻找出解题的途径。例 1.已知平行四边形 ABCD的周长为 5 2 ,自顶点 D作 DE⊥ AB,DF⊥ BC,E、F为垂足 ,若 DE=5 ,DF=8,则 BE+BF的长为。分析 :由已知平行四边形的两条高 ,自然联想到它的面积的不同表示方法 ,得到关于 BC、AB的一个方程 ,再结合周长 ,就可使问题迎刃而解。由于题中只给出了平行四边形的周长 ,没有指明其形状 ,因此应分类讨论。简解 :(1)当∠ A为锐角时 (图 1) ,有 :AB+BC=2 6 ,5 AB=8BC,∴ BC=10 ,AB=16。由勾股定理有 :AE=5 3…     

从特殊情况出发探索解题途径

有一类数学题,在一定条件下可以先把问题推想到某种特殊情形,作为解题的突破口,这时问题往往能迎刃而解.例1如图1,在边长为a的正方形中,对角线AC与BD相交于O,P、Q分别为AB、BC上的点,且PO⊥QO,求四边形BPOQ的面积.分析因为P、Q分别为AB和BC边上的动点,且PO⊥QO,当P点与B点重合时,则Q点与C点重合于是四边形BPOQ就成了△BOC这种特殊情形,于是可猜想到四边形BPOQ的面积等于三角形BOC的面积,那么只要证明△BOP≌△COQ,即四边形BPOQ的面积等于1/4a~2     

对立体几何背景下动点轨迹问题的"四化"处理

立体几何背景下的动点轨迹问题就是以立体几何图形为载体,考查平面解析几何中的轨迹问题,这类题目涉及的知识点多,立意新颖,综合性强,所以很难找准解题的切入点.本文将通过范例探讨一下这类问题的解题策略.1利用圆锥曲线定义进行简单化处理例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线C1D1与平面ABCD的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是()A.直线B圆C.双曲线D.抛物线图1解析如图1,因为C1D1⊥BB1C1C,所以PC1⊥C1D1,故可得PC1就是点P到直线C1D1的距离.又侧面BB1C1C⊥底面ABCD,作PE⊥BC,则PE即为P到平…     

面积法在数学解题中的应用

<正>所谓面积法就是利用几何图形中的边、角与面积之间的关系,运用代数手段完成几何中的推理过程的方法.用面积法一般可不添或少添辅助线,证法简洁,易于接受和掌握.可以用来证明线段的数量关系、图形的分割、求线段的比和面积等.在数学解题过程中,面积法有着广泛的应用.应用面积法解题的理论依据:1等积定理:两个全等图形的面积相等;等底等高的两个三角形的面积相等;整个图形的面积等于其各部分面积之和.2面积比定理:两个三角形面积     

立体几何解题的基本策略

逻辑推理能力与空间想象能力是解决立体几何问题的能力基础,如何把这两大能力转化为具体的解题方法呢?本文为此归纳了几种基本的策略方法,供同学们参考.一、点、线、面间关系的转化立体几何的知识结构中最核心的内容是线面间的垂直、平行关系,而它们有通过判定定理、性质定理而相互转化:点点———点线点线面线线面———面面.有意识思考这些转化,会提高运用定理的自觉性.图1【例1】如图1,二面角α-AB-β的平面角为30°,在β上作AD⊥AB,AD=10,过D作CD⊥α于C,若∠ACB=60°,求异面直线AC与BD的距离.解:分三个步骤完成图2(1)将“线线…     

用消常法解圆锥曲线问题

有关直线与圆锥曲线相交的问题,若运用消常法——即消去直线方程中的常数项,化为二次齐次方程来解,则解题过程有时会非常简捷,下面我们举例说明之.1求曲线方程例1设A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明是什么曲线.(2000年北     

一道典型的几何题

<正> 有些典型的数学问题,常常可以利用其结论来解决其它问题,使解题少走弯路,减少运算量.试看下列一道几何题. 原题如图1,已知:AB⊥BD,CD⊥BD,AD和BC相交于E,     

用“面积”解物理 (高一、高二、高三)

物理学中的某些图线和横轴围成的图形的面积有特定的物理意义,如速度-时间图线和横轴围成的图形的面积可表示物体的位移,理想气体的p—V图线和横轴围成的面积可表示气体所做的功等,利用这些“面积”关系,能给解题带来方便.本文从四个方面说明“面积”关系在解题中的运用.