直线与曲线位置关系判定的一种新方法

直线与曲线的位置关系的判定历来是解析几何中的一个热点问题，由此可引发出一系列的性质及不少的数学问题．在平面解析几何中，此类问题的解决主要依赖于建立直线与曲线的联立方程组，利用判别式△，当△〉0时，判定曲线与直线相交；△=0时，判定直线与曲线相切；当△〈0，判定直线与曲线相离．上述方法对于直线与圆、直线与椭圆（即直线与封闭曲线）的位置关系的判定是毫无疑义的；但对于直线与双曲线、直线与抛物线（即直线与非封闭曲线）的位置关系的判定中，还有一些特殊情况需要另外处理，而且上述方法。在求解过程中计算比较繁琐，学生易发生错误．     

判定直线与椭圆、双曲线位置关系的一种几何方法

文[1]曾介绍了判定直线与椭圆、双曲线位置关系的两个重要结论: 定理1直线上一点到椭圆两焦点的距离之和的最小值(1)小于长轴长则直线与椭圆相交;(2)等于长轴长则直线与椭圆相切;(3)大于长轴长则直线与椭圆相离.     

判定直线与椭圆位置关系的非常规方法

判定直线与椭圆位置关系的常规方法是把直线方程代入椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，然后用判别式法求解之；其运算往往比较复杂．本文介绍两种判定直线和椭圆位置关系的非常规方法，并简要介绍这两种方法的应用．     

用方程思想处理一类圆与双曲线的位置关系需注意的问题

利用曲线方程研究两曲线的位置关系,是解析几何研究的重要内容,为了确定两曲线的交点个数,通常是将两曲线方程联立,通过方程组的解的组数来确定交点个数,但如果曲线方程中有一个是双曲线,则在消元化归为一元二次方程求解时,除了考虑方程是否有解的情况外,还必须考虑方程解的取值范围.否则,将出现错误,下举两例说明之.     

判断直线与双曲线位置关系的两种新方法

文[1]给出了判断直线与椭圆位置关系的两种方法,笔者读后深受启发,经过类比研究,笔者得到了判断直线与双曲线位置关系的两种方法,作为直线与圆锥曲线位置关系问题的一个补充.     

应用"设而不求"解题几例

在平面解析几何中，经常会遇到与曲线交点有关的问题，尽管通过解方程组能把交点坐标求出来，但往往计算量比较大。为了简化计算，我们常常采用“设而不求”的技巧。下面以课本几道例（习）题为例，说明“设而不求”在解题中的应用。 例1 求直线23+=xy被曲线221xy=截得的线段的长。 解：设直线23+=xy被曲线221xy=的交点分别为),(11yxA、),(22yxB 则 2311+=xy ,2322+=xy 两式相减，得2121xxyy-=- ]4)[(2)(2)()(21221221221221xxxxxxyyxxAB-+=-=-+-=\由方程组=+=22123xyxy 消去y得0322=--xx 由韦达定理322121-==+xxxx 24)]3(42[22=--=\AB …     

判断直线与椭圆位置关系的“研究性学习”

“判别式”法是判断直线与椭圆位置关系的常用方法，笔者在进行“研究性学习”教学时，又发现了另外两种判断方法。     

直线与双曲线位置关系的探究与评析

分析 这是一个看似简单其实不易回答的问题，它比较容易引起学生探究学习的兴趣、形成寻求问题答案的心向，从而促使学生运用已有的知识独立地解决问题．因为问题1的解决如果也象点A（3，1），B（2，2）与椭圆的位置关系那样——仅从数的角度来判断，将点的坐标代入双曲线方程的左边，然后与“1”进行比较只会得出的结论是错误的，     

两圆位置关系的判定方法

两圆位置关系的判定有下面两种方法．只要同学们掌握了这两种判定方法,对于学好圆这部分知识是大有好处的．     

两个重要定理的推论

文[1]推出了如下两个重要定理: 定理1 设G,H是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两条准线与x轴的交点,P是椭圆上的一点,e是离心率,c是半焦距,∠GPH=θ,则θ为钝角,且当e2≥1/2(5~(1/2)-1)时有cotθ≤-e(当且仅当|yp|=ab2/c2时等号成立).     

直线与椭圆位置关系的几何判断方法

大家知道，直线与圆的位置关系判断既可以用代数方法（即联立两曲线方程，通过判别式来断定其位置关系），也可以用几何方法（即通过比较圆心到直线的距离与圆半径的大小来判断位置关系）。而直线与椭圆的位置关系则通常只用代数方法来判断，能否用几何方法判断。下面我们通过“点变换”将椭圆变为圆后，寻求直线与椭圆的位置关系的几何判断方法。     

椭圆与直线位置关系的判定法则及应用

在判定椭圆与直线的位置关系时,常常将椭圆方程与直线方程联立,消去一个变量而建立另一个变量的一元二次方程,再通过其判别式△〉0,△=0,△〈0来判定．由于联立方程组消元过程中,运算麻烦,容易出错,若能理解并掌握以下方法,会给求解此类问题带来很大方便,本文就介绍这一判定方法,并给出一个判定法则,同时,结合实例谈谈此法则在解题中的妙用．     

关于"椭圆、双曲线的第三定义"一文的讨论

笔者在圆锥曲线的教学中 ,曾对《平面解析几何》教材 (1990年版第 81页 11题、第 93页 16题进行归纳总结 ,发现其具有一般性质 ,与孙兆会、向志平两位老师在文 [1]中提出的“椭圆、双曲线的第三定义”的观点不谋而合 .但笔者认为该文中存在一些错误 ,其中的一些观点也值得商榷 .首先 ,在以椭圆为例 ,从第一定义推导标准方程的过程中文章缺少了一个致命的前提“ｘ2 -ａ2 ≠ 0 ,即ｘ≠±ａ” ,求得的轨迹不包含椭圆在ｘ轴上的两个顶点 !其次 ,对于文章“第三定义”的提法 ,笔者认为也是不合适的 ,理由有三点 :(1)所谓“定义”是“对于一种事物…     

直线与抛物线位置关系的另类判别方法

文[1]、文[2]分别研究了直线与椭圆、双曲线位置关系的不同判别方法,本文将给出有关直线与抛物线位置关系的另类判别方法．     

对直线与有心圆锥曲线位置关系判定的探究

在高中解析几何的学习中,我们知道判断直线与有心圆锥曲线位置关系的方法是判别式法(代数法),即把直线方程与有心圆锥曲线的方程联立,消去y(或x),得到一个关于x(或y)的一元二次方程,再计算判别式Δ.这样做会遇到一个运算复杂的问题,能否加以改进,使判定方法变得简单呢?我们先来重温判定直线l:Ax+By+C=0(B≠0)与椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)位置关系的判别式法.     

焦半径与焦半径夹角的一个关系及应用

本文探索了椭圆、双曲线焦半径与焦半径夹角的关系,得到如下两个结论. 定义圆锥曲线上一点与其焦点的连线段叫做焦半径. 定理1 P(x0,y0)是椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b>0)上一点,F1(-c,0),F2(c,0)是左右焦点,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,则 2b2/1 cosθ=r1r2,且tanθ/2=c|y0|/b2. 证:如图,在△F1PF2中有     

圆锥截线的故事

在现代的中学数学课程中,通常是在初等解析几何中学到圆锥截线,亦即椭圆、双曲线和抛物线.圆锥截线的发现和研究起始于古希腊.Euclid,Archimedes,Apollonius,Pappus等几何学大师都热衷于圆锥截线的研究,而且都有专著论述其几何性质,其中以Apollonius所著的八册<圆锥截线论>集其大成,可以说是古希腊几何学的一个登峰造极之作.     

直线与椭圆位置关系判定的几何方法

文[1]中提到了直线与椭圆位置判断的几何方法.通过研究表明,此种方法不能称为真正的几何法,且不够简单. 命题1 直线与圆位置关系判断的几何方法为: 设点P为直线Z上的任意一点,圆C的圆心为C,半径为r,且PC的最小值为d,则 当d＞r时,直线与圆相离; 当d=r时,直线与圆相切; 当d＜r时,直线与圆相交.