使用“向量”工具，调整“直线”内容，提高“教学”效率

人教版新教材全日制普通高级中学教科书(试验修订本.必修)数学第一册(下)增加了"平面向量"教学内容,第二册(上)"直线和圆的方程"在阅读材料中增加了"向量与直线"教学内容,我们在教学中也认识到"向量"作为一种工具在处理直线与直线的平行、垂直、夹角、距离等方面有独到的地方,学生也有这方面的知识,于是我就调整了"直线"教学思路,在我们区进行实验改革.     

“认识平行”教学与反思

[教学内容]苏教版义务教育课程标准实验教科书数学第七册“平行与相交”第一课时。[教学目标]1．使学生结合生活情境,感知平面上两条直线的平行和相交(包括垂直)关系,认识平行线。2．使学生通过自主探索和合作交流,学会用合适的方法做出一组平行线,能借助直尺、三角尺等工具画已知直线的平行线。     

高中数学新教材 “直线、平面、简单几何体”简介

《全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)数学》第二册(下)的第九章为“直线、平面、简单几何体”。这一章是根据《全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版)》中的“9(A)直线、平面、简单几何体”部分所规定的教学内容和教学目标而编写的。它在《立体几何(必修本)》的基础上作了较大的修改,精简了教学内容,减少了教学时间,在体系安排和内容的具体处理方法上也有所改革。     

“点差法”,差在哪?

中点弦问题是解析几何中的重点、热点问题.解圆锥曲线的中点弦问题,很多学生习惯于用所谓“点差法”:首先设出弦的两端点坐标,然后代人圆锥曲线方程相减,得到弦中点的坐标与所在直线的斜率的关系,从而求出直线方程.但是,有时候符合条件的直线是不存在的,这时使用“点差法”便会走入“误区”.下面问题中便有学生经常掉入“陷阱”.题目:已知双曲线 x~2-y~2/2-1,问是否存在直线 l,使 M(1,1)为直线 l 被双曲线所截弦 AB 的中点.若存在,求出直线 l 的方程;若不存在请说明理由.错误解法1:(点差法)设直线与双曲线两交点 A、B 的坐标分别为(x_1,y_1),(x_2,y_2),M 点的坐标为(x_M,y_M).由题设可知直     

方向向量在直线中的应用

向量知识进入中学数学领域,为我们思考、处理和解决许多数学问题提供了新的思路和方法,而利用方向向量来研究直线的斜率、方程应该说别有一番风味.本文对方向向量的一些常用性质及其简单的应用作一整理,供大家参考.一、直线方向向量的定义:直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量.二、常用性质(1)直线的任意两个方向向量互相平行.(2)若 P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)分别是直线     

“同”与“不同”

我们的教学不该一成不变,即使相同的教学内容,也不应该周而复始地用同一个模式,而无视教学对象、教学理念、教学环境等因素的变化。相反,教学对象、教学理念、教学环境中的任一个因素发生变化,我们的教法就应随之改变。相同的教学内容,不同的教学方法,应经常出现在我们每一个教师的工作中。有这样的“同”与“不同”,才能体现教学工作的灵活性、时代性和创造性。笔者第二次上《新路径英语》第一册(四川教育出版社)“LessonR”时,尝试了与第一次不同的教法教学。现对自己教学工作中出现的“同”与“不同”反思如下:第二次的教法采用的是“口…     

一个公式的推导引发的奇“思”妙“想”

在《全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)》(人教版)“7.3两条直线的位置关系”中,第51页至52页介绍了用点到直线的距离的定义推导“点到直线的距离公式”的思路(以下简称“定义法”):教科书中提到“这个方法虽然思路自然,但是运算较繁”,所以教科书上没有给出这种方法的推导过程。而这句话也成了老师和学生们的“拦路虎”,于是不再追究,但它却激发了我们的好奇心:推导一下试试!一、用“定义法”推导“点到直线的距离公式”设A≠0,B≠0,这时l与x轴、y轴都相交.直线PQ的方程由点斜式写出并化为一般式为Bx-Ay+Ay0-Bx0=0.由Ax+By…     

“直线方程的一般形式(第一课时)”课例大家评(二) 数学教学首先要有数学知识结构的明确

我们认为 ,关于“直线方程的一般形式 (第一课时 )”的 6篇课例 (见本刊 2 0 0 1年第 7期 ) ,是中国高中数学教学健康层面上的一个缩影 .从中可以看到当今努力的教师和努力的教学正在做些什么 ,做得怎么样 .也许不同的读者对各篇课例的看法会有分歧 .但教师积极处理教学内容 ,认真进行教学设计 ,辛勤组织教学过程 ,着意体现“指导构建知识”的理念和“与学生共同寻找答案”的实践等则是谁都不会有异议的 ,因为这是事实 ,也是主流 .并且有的课例非常真实生动 ,给人留下了十分难忘的印象 .我们正是在充分肯定教师都尽了努力的基础上 ,想选取一…     

成也“判别式”,败也“判别式”

大家知道 ,讨论有关“二次”问题时 ,“判别式”作用非同小可 ,正确理解、深刻认识、合理把握、切实用好“判别式”对求解有关“二次”问题起着十分重要的作用 .有道是成也“判别式”,败也“判别式”.下面就举几个例子进行说明 .一、忽视“判别式”例 1　过点 P( 102 ,0 )的直线 l与曲线 C:x2 +2 y2 =1交于点 M、N ,则 |P M||PN |的最小值是多少 ?错解 :设过 P点直线参数方程为 x =102 +tcosθ,y =tsinθ,代入曲线 C的方程 ,可得 :( 1+sin2θ) t2+10 cosθ +32 =0 , *∴ |PM||PN |=t1t2 =[32 ÷ ( 1+sin2θ) ]≥ 34 ,即 |PM||PN |的…     

忆旧引新,铺路开道——“0的认识”新课导入设计

教学内容:全日制六年制小学教学课本第一册。教育目标:1.认识“0”,初步知道一个物体也没有可以用“0”表示;“0”表示起点;“0”排列在1的前面,比1小。2.掌握“0”的读法和写法。教学过程:师::小朋友,我们学过认数,你们已经认识了哪几     

直线方程的点向式

1直设线直方线程l的经各过种点形P式都可以统一为点向式0(x0,y0),v=(a,b)为其一个方向向量(ab≠0),P(x,y)是直线上的任意一点,则向量P0P与v共线,根据向量共线的充要条件,存在唯一实数t,使P0P=tv,即x=x0+at,y=y0+bt.消去参数t得直线方程为x-x0a=y-y0b将其变形为b(x-x0)=a(y-y0).易证当ab=0时直线方程也是b(x-x0)=a(y-y0),我们称方程b(x-x0)=a(y-y0)为直线的点向式方程.1)经过点P0(x0,y0)且斜率为k的直线方程:斜率为k的直线方向向量为(1,k),代入点向式得直线方程为k(x-x0)=(y-y0).即为直线方程的点斜式.2)直线斜率为k,在y轴的截距为b,代入点向式得直线方程为k(x-0)=(y-b),也就是直线方程的斜截式.3)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程:直线方向向量为(x2-x1,y2-y1),代入点向式得直线方程为(y2-y1)(x-x1)=(x2-x1)(y-y1),即为两点式.4)在x轴的截距为a,在y轴的截距为b的直线方程:直线方向向量为(0,b)-(a,0)=(-a,...     

注重过程教学 点燃思维火花——谈新教材中“正（余）弦定理”的推导

新教材 (《全日制普通高级中学教科书(试验修订本 )·数学》第一册 (下 ) ,下同 )将“正 (余 )弦定理”内容纳入《平面向量》一章 ,视为平面向量的简单应用 ,其目的在于“巩固向量知识 ,体现向量的工具性”.但中学生初次比较系统地学习向量 ,容易对“向量的坐标表示”与“点的坐标表示”、“向量的运算”与“实数的运算”产生认知上的冲突 ,形成教学中的“瓶颈”,而此时用向量知识去推导“正(余 )弦定理”,势必给中学生以更大的压力 ,如何正确处理好“正 (余 )弦定理”的过程教学 ,进而达到预期的教学目的 ,应是教学工作中值得研究的问题 .…     

2003年高考“向量试题”的评析

一试题概况今年高考数学新课程卷(理科)第21题,是一道用平面向量为工具来解决有关解析几何问题的综合题:已知常数a>o,向量c=(0,a),i=(1,0).经过原点o以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,α)以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R.试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|pF|为定值.若存在,求出E、F,的坐标;若不存在说明理由. 该题主要考查向量的概念和计算.求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方程判断曲线的性质,曲线与方程的关系等解析     

“步测”教学设计

教学内容:九年义务教育六年制小学数学第九册第109、110页、例1、例2及“练一练”。教学要求:1.使学生了解步测的方法,学会步测的计算,初步学会通过步测来求出两地间的距离。2.培养学生的实践操作能力,发展学生的空间观念。教学地点:操场。教学过程:一、谈话导入同学们,大自然是学习数学的最好课堂。今天,我们在大自然中学习数学知识,希望同学们充分利用大自然的优势,学好本课的数学知识。上节课,我们已经学习了“实际测量”,在实际测量中一般要用到哪些测量工具?今天我们什么测量工具也没有,你能测量出这条南北水泥大道的长度吗?二、探讨方…     

“直线和线段”教案和评析

教学内容:五年制第四册P88—90 教学要求:1.使学生认识直线和线段,学会用直尺(或三角尺)量线段的长和画定长线段。 2.使学生初步了解直线与线段的联系和区别,培养学生初步的逻辑思维能力和空间观念。 教学重点:直线和线段的认识,画量线段。 教学难点:量方位不同的线段。 教学用具:1.幻灯片6张(量实物片1张,练习片5张) 2.直尺1把,三角板一副,卷尺,彩色笔1支,毛线1根,铅垂线1根,白纸1张,幻灯机上用的三角板1块。 3.学生各自准备三角尺一副,0—10的数字卡片一套,练习纸一张、白纸一张。教学过程: 一、认识直线 1.实物演示,形成“直     

一堂“点到直线的距离”研究性学习课

数学公式教学应包含两个部分 :公式的论证教学和公式的运用教学 .由于受应试教育的影响 ,前者往往被“轻描淡写”,而后者却搞得“轰轰烈烈”,这显然与“重结论 ,但更重过程”的现代教育理念相违背 .其实每一个数学公式都是在丰富的数学思想和数学方法的伴随下产生的 ,可以这么说 ,谁忽视了这个“产生过程”,谁就忽视了数学的“精髓”,谁就忽视了学生探究性思维品质的培养 .下文叙述的是一堂“点到直线的距离”研究性学习课的全过程 (教学内容见现行高中数学新教材(人教版 )第二册 (上 )第 5 1～ 5 2页 ) ,这是把研究性学习引入公式的论证教…     

“平面直角坐标系”教学探索

1　教材分析1.1　教材地位和作用“平面直角坐标系”是浙江教育出版社义务教育初级中学课本(试用)数学第四册第十六章第一节的内容.这节课是在学生学习了数轴与有关几何知识的基础上提出来的.它是学习函数及其图像、曲线和方程的基础,是沟通数与形的桥梁.本节课的教学内容与现实生活密切相关,对培养学生“用数学”的意识、发展合情推理能力有重要作用,也是让学生感受“对应”和“数形结合”思想的好素材.1.2　教学重点与难点本节课的重点是平面直角坐标系的概念和两个基本问题——已知点求坐标,已知坐标描点.难点是平面直角坐标系概念的形成…     

“直线与圆的位置关系”教学设计

教学内容人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学2(必修)》第四章第二节"4.2.1直线与圆的位置关系".课型新知教学课.课时一课时.教学目标1.知识与技能(1)理解直线与圆的位置关系的种类;(2)掌握用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系;(3)会用直线与圆方程组成的方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系.2.过程与方法(1)通过新课的导入过程,激发学生的学习兴趣,感悟类比思想,培养抽象思维能力;(2)通过直线与圆的位置关系的分类及其判定方法的学习,培养数形结合的思想方法,提高用方程思想解决平面几何问     

“把一条线拉紧”的辨识

在现行小学数学教材(五年制第四册,六年制第五册)中,关于直线的表述是这样的:“把一条线拉紧,就成一条直线。”笔者经过再三分析,仍觉得上进“直线”的说法不严密,有必要加以辨识。 (一)与“直线”的意义不符合。众所周知:“每条直线都可以无限延长”,然而,任何一种实物(包括一条线)的长度都是有限的。 (二)与“线段”的概念相矛盾。教材上有关线     

“丈量土地”单元的思维训练题

通用五年制数学课本八册的教学内容,重点较多,难度较大,学生学习起来有一定困难。不少读者认为,让学生多做一些启迪智慧的思维训练题,将有助于这册教材的教学,并要求我们的刊物多刊发这方面的题目。为此,本刊今年1～2期合刊上刊发了八册的《简易方程思维训练题》;第3、4期,我们又约请了几位对八册教材有一定研究的作者,集中编写了《单元思维训练题集》,供老师们在课堂教学或学生开展课外活动时选用。