2002年全国高中数学联赛加试几何题的几种解法

题目　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =60° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 .点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求 ＭＨ ＮＨＯＨ 的值 .由ＢＭ =ＣＮ及线段的差分关系 ,得ＭＨ ＮＨ =ＢＨ -ＣＨ .因此 ,本题等价于在已知条件下 ,求 ＢＨ -ＣＨＯＨ 的值 .下面给出几种解法 ,供参考 .解法 1 .如图 2 ,在ＡＢ上截取ＡＤ =ＡＣ ,则△ＡＤＣ为等边三角形 .从而∠ＢＤＣ =1 2 0°.∵Ａ、Ｆ、Ｈ、Ｅ四点共圆 .∴∠ＢＨＣ =1 80° -∠Ａ =1 2 0°由外心张角公式 ,得∠ＢＯＣ=2∠Ａ =1 2 0°∴∠ＢＤＣ =∠…     

一道几何赛题的巧证及探源

2005年全国初中数学联赛E卷的一道几何赛题是: △ABC中,AB＜AC,I是内心,M是BC的中点,P是BC上的一点,且AO∥IM,Q是AP上的一点,若IMPQ为平行四边形,求证△MPQ为直角三角形.     

一道竞赛题的简单解法

2002年全国高中数学联赛二试第二题如下: 实数a,b,c和正数λ使得f(x)=x~3+ax~2+bx+c有三个实根x_1,x_2,x_3,且满足(1)x_2-x_1=λ;(2)x_3>(1/2)(x_1+x_2),求(2a~3+27c-9ab)/λ~3的最大值. 标准答案计算较繁,思路隐晦曲折,不易想到,今给出更直接更简单的解法.     

一道几何题

如图1,已知△ABC中,AH⊥BC,垂足H在线段BC上,G为线段HC内一点,∠BAG=60°,∠HAG=12∠GAC,AB=11,AC=9.求BHHC.这道几何题用到的知识不多,初中同学应当能做(原来是日本小学算学竞赛的试题,但小学知识是不够的).有趣的是,懂得更多知识的高中学生(甚至数学教师),往往做不好(笔者曾给一些人做过).这倒不是说“知识越多越愚蠢”,而是知识多了,可供选择的解法也多了,反倒不知道选择哪一条路为好.所谓做不好,就是解答极其复杂.我们希望的好的解答,应当尽量简单.同学们可以自己先试一试,然后再看下面的解答.首先设∠HAG=α,则∠BAC=60…     

对２００１年全国高中数学联赛一道加试题的探源与引申

2001年全国高中数学联赛加试中的平面几何题是题目1 如图1,ΔABC中,O为外心,3条高AD,BE,CF交于H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N。     

一道竞赛题的价值的开发

20 0 2年全国初中数学竞赛中选择题的最后一题极有探究开发价值 ,既可以用不同的方法去寻找被选答案 ,若改为填空题 ,也可得出与被选答案“不同”的结果。为沟通不同表达形式答案间的同一性 ,还能得出非特殊角的等腰三角形的腰与底边的关系。对一道题 ,作这样深入研究 ,充分开发它的训练价值 ,对培养学生探究能力与创新意识很有好处。题　Ａ1Ａ2 Ａ3…Ａ9是一个正九边形 ,Ａ1Ａ2 =ａ ,Ａ1Ａ3=ｂ,则Ａ1Ａ5等于 (　　 )(Ａ)ａ2 +ｂ2 　　 (Ｂ)ａ2 +ａｂ+ｂ2(Ｃ) 12 (ａ +ｂ)　　 (Ｄ)ａ +ｂ1　探求被选答案解法 1　如图 1 ,连结Ａ1Ａ4 。因∠…     

谈2002年全国高考数学试题（文科）第22题

今年高考文科第22题题目为:(Ⅰ)给出两块相同的正三角形纸片(如图1、图2),要求用其中一块剪拼成正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼     

一道平面几何题的发现、证明和另一个结论

命题过一个凸四边形的三个顶点的直线均平分四边形的面积,则这三线共点的充要条件是四边形的一条对角线被另一条对角线平分.     

一道竞赛题的另证

题目如图1,在△ABC中,AB=AC,D是边BC的中点,E是△ABC外一点,     

一道IMO预选题的另证

题目 对于整数m,在{1,2,3}中存在唯一的一个数t（m）,使得m＋t（m）是3的倍数．函数f：Z→Z满足f（-1）=0,f（0）=1,f（1）=-1,且对于所有满足2n〉m的非负整数m、n,有     

从一个定理的别证谈起

文[1]给出了求函数f(x)=√ax √b d-cx的值域的定理. 定理设f1(x)=ax b,f2(x)=d-cx(a、c＞0,(d/c)＞-(b/a)),则函数f(x)=√ax b √d-cx的值域是[√[f1(x) f2(x)]min, √f1((d/c)) f2(-(b/a))].     

一个几何不等式的证明

本文提出了一个不同于教学参考书上的证明，旨在开阔学生的思维空间，亦为教师优化教学效果提供一点参考资料。     

略论几何证题的教学

几何是培养逻辑思维的最佳途径之一，也是数学的一门重要课题，解题的举一反三，知识的融会贯通是培养创造思维能力的有效途径。     

Jordan不等式的又一证明

该文利用函数的一致连续性及单调性,给出Jordan不等式的又一证明,丰富了已有的一些结果,同时给出它的应用.     

一道赛题的简证

题目　已知a、b、c为正实数.证明:a2 b2 c2 abc=4a b c≤3.(第20届伊朗数学奥林匹克(第2轮))文[1]利用三角法给出了证明,本文给出一种代数证明.证明:若a、b、c都大于1,或者都小于1,显然不满足题设条件.因此,a、b、c中一定有两个或者都不大于1,或者都不小于1,不妨设为a、b.则(1-a)(1-b)≥0,即　ab≥a b-1.①由a2 b2≥2ab,有4=a2 b2 c2 abc≥2ab c2 abc,即　ab(2 c)≤4-c2.于是,ab≤2-c.②由①、②,有a b c≤3.一道赛题的简证@羊明亮$湖南师范大学附属中学广益高中!410081[1] 第20届伊朗数学奥林匹克(2002—2003)[J].中等数学2004增刊.70.…     

一道数学题的另解

题目求满足下列条件的最小正整数n:对于n存在正整数k,使得1851,即m>8.所以,n>56.当n=7m p(m∈N ,p∈N,且1≤p≤6)时,有6m 76p0,即m>p.…     

Walther Janous-Shandun不等式的又一个证明

将Walther Janous—Shandun不等式转化为了条件不等式，利用Lagrange乘数法得到了一个较简捷的证明．