巧解两类无理方程

命题1 设人工)一g(X)一R(x)一S(X)一常数>0,则无理方程十/天方一十和,nti一/永玉一JkiFi一/g’-一有实根的必要条件都是/(x)一RU)且 g(x)一S(x).     

巧解两类无理方程

命题1 设f(x)-g(x)=R(x)-S(x)=常数≠0,则方程(f(x))~(1/2) (g(x))~(1/2)=(R(x))~(1/2) (S(x))~(1/2)或(f(x))~(1/2)-(g(x))~(1/2)=(R(x))~(1/2)-(S(x))~(1/2)有实根的必要条件是f(x)=R(x)(或g(x)=S(x))命题2 设f(x)-g(x)=R(x)-S(x)=t（x）则方程(f(x))~(1/2) (g(x))~(1/2)=(R(x))~(1/2) (S(x))~(1/2)或(f(x))~(1/2)-(g(x))~(1/2)=(R(x))~(1/2)-(S(x))~(1/2)有实根的必要条件是t(x)=0或f(x)=R(x)(或g(x)=S(x)).证明 两个原方程(f(x))~(1/2)±(g(x))~(1/2)=(R(x))~(1/2)±(S(x))~(1/2)化为f(x)-g(x)/(f(x)~(1/2)±(g(x))~(1/2)=R(x)-S(x)/(R(x))~(1/2)±(S(x))~(1/2)     

用三点共线的充要条件巧解等差数列问题

运用以上结论，处理有关等差数列的问题，不仅迅速简捷，而且巧妙新颖，本文拟例说明，以供参考，     

用共轭根式巧解无理方程

我们称式子√a+√b与式子√a-√b互为共轭根式(有理化因式)．从课本上可知,用共轭根式可以进行分母有理化．实际上,注意到两个共轭根式的积是简单的有理式,那么,可以用共轭根式来巧解一类无理方程．     

利用三点共线巧解等差数列问题

我们知道，等差数列{an]通项公式为：an=a1＋（n-1）d=dn＋（a1-d），前n项和公式为：Sn=na1＋n（n-1）/2d=d/2n^2＋（a1-d/2）n，因而Sn/n=d/2n＋（a1-d/2）。由解析几何知识可知，点（n,an）在斜率为d的直线上，点（n,Sn/n）都在斜率为d/2的直线上，利用好这一结论就能给解题带来极大的方便。     

巧解几类无理方程

无理方程的常规解法是首先将无理方程化归为有理方程,而化归的方法是通过移项、把根式尽可能地均匀分布在方程两边,对两边同次乘方。若化归后仍是无理方程,则按上法再进行,直至化为有理方程求解,最后验根。 常规角法尽管是通法,但常使方程的次数增高、运算量增大。本文对几类无理方程给以巧妙的解法,使解题效率大大提高。 本文以下用f(x),g(x),h(x)等表示x的有理函数、用a,b,c,d等表示常数。     

巧解一个无理方程

例解关于x的方程了(a-x)～(1/2)+x-b=a-b. 这是九年义务教材初中《代数》第三册第57页B组第2题.按常规是通过移项后两边平方,再移项再两边平方来解,十分麻     

巧解一类无理方程

巧解一类无理方程对形如的无理方程，当方程有解时，可用辅助式解之，即先求与左端互为有理化因式的方程，再用加减消去法得到一个比较简单的无理方程。例２、解方程原方程有两解Ｘ１＝３，Ｘ２＝１／２（界首市二中高殿敏）巧解一类无理方程@高殿敏$界首市二中...     

无理方程巧解八策

解无理方程的基本思路是去掉根号化为有理方程。但对一些复杂的无理方程,常规方法往往不能凑效,这时就要把握其特点,使用一些技巧,才能求解。现举几例说明。     

二元代换巧解无理方程

例1解方程了乏万二飞一了歹干丐~1(初中《代数》三尸131例1).解:设厂狂二飞~。,丫牙干丐-a一b一1,aZ一bZ~(Zx一4)一(之 5)二(2)十(1),得a十b由(1)、(s)得a~三~x一9,一82b.则 (1):x一9, (2) (3)x一8 2解得二:一4,x:~20.经检验,x:一20是原方程的根.例2解方程丫9一Zx 丫3一Zx二3罕/丁.解:设存=不~a,召了二花呀~b.则a b~3护厄~,(:aZ一bZ~(9一Zx)一(3一Zx)=6,(:(2)十(1),得a一b=了了,由(l)、(3)得a一2杯万:.丫可=丽二2了万~,:.212’经检验,二一音是原方程的根·例3解方程了3二2一sx十7一了3x“一7x十6二解:设了3扩一5x十7一a’丫3x“一7x 6,b…     

巧解无理方程(组)

解无理方程(组)技巧性很强,解法不好,解题过程很繁琐,下面的无理方程(组)的解法有一定的优越惨r 「1.解方程姐二,:、·。-①②{凡压干玉于、于巧~5,之一y~12.︵口加解泣由②得 (x十1)一(夕一2)一15,即(v尹呀耳万),一(、/亏二厄)’=15,③令①得、/不l石一、厂压江豆一3.①+④得2、王平)一8..’.犷一15.把二一15代人①得y一3经检验,原方程组的解为工一15y一3.一点点滴滴一①②③①②③2.解方程丫任二再一、饭…二亏一2,解显然(x+3)一(x一5)一8,即(丫任干百)2一(丫下二息)’=8.②十①得丫王干百+、任二亏一4.①+③得2训诬耳毛一6,解得x一6.经检…     

三点共线的等价命题类

从平面几何到代数、立体几何和解析几何,证明三点共线的命题、方法、技巧,实在不少,它们都可以归结为等价命题.(1)P、Q、R 三点共线(在同一条直线上).(2)P 在直线 QR 上.(3)P 到直线 QR 的距离为0.(4)P、Q、R 都是平面α与β的公共点.(5)P、Q、R 是△ABC 外接圆上一点分别在直线AB、BC、CA 上的射影.(6)S_(△PQR)=0。(7)三点 P、Q、R 在直线 AB 同侧,且 S_(△PAB)=S_(△QAB)=S_(△RAB).(8)线段 PQ、QR、PR 中,有两条之和等于第三条.(9)k_(PQ)=k_(PR).(10)若直线 PQ 的方程为 Ax By C=0,则直线 PR 的方程为 kAx kBy kC=0(k≠0为常数).若设三点 P、Q、R 的坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2)、(x_3,y_3),则有(11)(x_3,y_3)满足方程(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1).(12)设λ_1=(x_1-x_2)/(x_2-x_3),λ_2=(y_1-y_2)/(y_2-y_3),则λ_1=λ_2.     

巧用三点共线解等差数列题

等差数列{an},若公差d≠0,可以把通项看作是项数n的一次函数,即an=an+b(a≠0),因此通项反映的点对(n,an)一定分布在该函数所表示的直线上.同样,由等差数列前n项和Sn=an2+bn,得出Sn/n=an+b,因此Sn/n是关于n的一次函数,其反映的点对(n,Sn/n)也分布在该函数所表示的直线上.运用     

用容斥原理巧解两类组合问题

2003年高考数学试卷（江苏卷）的第15题是组合中的“不相邻”问题，此题解法虽多，但大多避免不了分类讨论．其实对“不相邻”问题和“错位”问题的解决有一个便捷方法可用，这个思路源于新教材《高中数学第二册（下A）》的第122页的阅读材料，这篇阅读材料的一个深刻背景就是集合论中的容斥原王单．     

用换元法解无理方程

无理方程类型很多,解的方法也是多种多样,本文根据无理方程和有理方程、无理方程和方程组之间的内在联系,介绍了用换元解一类无理方程的方法。     

巧解“倒数型无理方程”

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用圆锥曲线的定义解无理方程

设F_1(m,0)、F_2(n,0)为平而内的两个定点,其距离为2c(=|m-n|,c>0),一动点M到F_1、F_2的距离之和为常数2a(a>0),则动点M的轨迹为椭圆,它的方程为((x-m)~2+y~2)~(1/2)+((x-n)~2+y~2)~(1/2)=2a…①①经过变形     

用点共线法解一类解析几何题

若三(四)点A(关:,g:),B(xZ,g:),C(x3,夕3)〔D(考‘,百:)〕共线,则其斜率*KAB=天刀c’二KAC〔二KCD二KAD=…〕。取其中某一个用坐标表达的式子,但触口: yX一a(1+入)b 一入b①x②消去参考数入得 g2xZ一aZ ② b2=二么2’化迎鱿岌五二XZ一Xl迎止卫卫‘X,~X,、一xZ二五二丛二些旦二里生。… x4一x 3 x4一xlxZ_了r十a豁·,(X>。,,>”,,即为所‘ ,、、、.声用来解决一些解析几何中直线与二次曲线关系问题,将是很方便的。下面就用这个方法解近五年来的五迸高考试题.这里的解法,都不同于原答案的解法。 例1(1983年理科付题第七题)(16分)…     

巧解两类数学应用题

一、利用速度关系式解题在解七年级数学＂用一元一次方程解应用题＂中的水（风）流问题时,我们熟知下面两个关系：顺水（风）速度=静水（风）速度＋水（风）速（1）逆水（风）速度=静水（风）速度-水（风）速（2）（1）＋（2）、（1）-（2）分别得：顺水（风）速度＋逆水（风）速度=2静水（风）速度（3）顺水（风）速度-逆水（风）速度=2水（风）速（4）巧用（3）、（4）可以解一类难以列方程求解的应用题。