数学问答

。剖﹃时R，f(助﹄.一X 1.函数y~f(x)，xe有求R，若对于任意实数a、b f(。十b)~了(a) f(b)，(山西江海涛)解答:设a~0.由f(a十b)一f(a)十了(b)，则f(b)~f(0) f(b). :·f(O)~0.目‘又设。-一x，b一x，则了(x一x)~f(一x)十f(x)，即f(一f(一x) 了(x)一o，可得f(一x)一一f(x). :.函数f(x)是奇函数. (北京何乃忠)护、2.已知函数f(x)一扩，集合A一{xIf(x 1)一ax.x‘刊‘_‘R}，且AUR十一R ，则实数a的取值范围是().月」之旦竺A。(0， co)B.(2，十co) C.〔4，十~)D.(一co，o〕U〔4，十。) (河北王增钦)错解:由了(x十l)~ax，得扩 (2一a)x 1~0…     

函数单元测试题

一、选择题1.已知f了笔姿)一、l!J户1一xZ 1十劣2，则f(x)的解析式可取为() 1+x“B.一2x 1十x“2x’1+扩D，一工1十丫函数f(x)二险一川的图象是() A .，石干今一书舟A. C. D、工若f(x)一三二2工次叮方程f(4x)一二的根是()摹1一a，2006年第9期A .B.C.D. 9.若函数y一了十(a+2)、+3〔二任仁a，司)的图象关于直线x一l对称，则b一( A .6 B.7 C.8 D.9 10.关于x的方程(扩一1)2一}扩一1{十k一。，给出下列四个命题:①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根;…     

一道不等式证明题的多种证法

题目已知正实数a,b满足a b=1,求论证:厂·房毛2·证明证法1:分析法证明:要证明原不等式成立,(房·:。为压厂查(厂)2·(厂,’感4厂厂)2·二·厂蕊1(l); la 了 ‘ 合二心一2二要证该式成立,又只要证明(仄万)2、1,整理得为。、。。、粤;显然由。勺乙件所以厥·厂‘2·十。二1,(·,     

第六届“缙云杯”初九○级数学邀请赛试题及解答

一、填空题 1.若一x一刀 2{与(x 夕一1)乙互为相反数,则x=_,刀二_。 2.如图,在口ABCD中,汀,N分别是AD,且刀的中点,F,石三等分且D.△EMc与△A刀c面积之比为一一一-.1.如果 X一夕(A)丫斧1.。有意义,则有((C)x今1或夕今0-(B)g姜0-(D)x今1且今今0. 3.计算:a·a艺·护··…a‘。。=_ 4.若xZ :x十b二0的两个实数根是a,挥(a口今0),则bxZ ax 1=O的两个实数根是5.若X<一3,、以而二}:十、丁{ 6一1、多边形的内角和是它的外角和的k倍,这个多边形的边数是_____. 7.设等腰三角形的底边长为训万cm,两腰的中线互相垂直,那么这个等腰三角形的面积…     

第28届IMO候选题及解答(2)

5.证明:若a.b,c是三.角形的三边,且25二a+b+e,则。I因为2(a十b+c夕黑D十C十一竺- a+C en~厂2、十~一一一-二一‘二‘耳—} a+D\3/8·n一’.厂二一~十二生一\a+l〕匕+Cn专1丫" 6.给定5个实数U。,明:总能找到5个实数V。足下列条件.U,,U:,U3,U;.121丁,V,,V:.V3,、厂‘i}街及+击〕脚 a竺粤{竺〕〔梦(a一卜b+c)听以「匀(l)得到 (1)U;一V:eN: (2)习(\厂、一\rj)“<4. o‘i相似文献   

应用余式定理解整除问题

命题f(x)为二的多项式.则 f(a)=O拱(x一a)}f(x). 例1.设,,任N.求证:14}3“十2+5冲十’. 证明考虑函数 f(二)一(二一5)2”?’丰5”一’.因f(0)~o,故f(x)可被(x一0)整除,特别14 If(14),即141f(14)~92’一’+52,十’一3‘“一2十52,十’. 例2.设,,任N.证明:(a十l)2什’+a’+2能被扩十a十1整除. 证明考虑f(x)一(a+1)(x+a)· +(x一a一1)矿.因厂(0)一。,故川f(x).特别地 (a’+a+l)!f(a’+a+1) =〔(a+l)2.+’十a‘+2〕.应用余式定理解整除问题@邵琼$青海省西宁市第一职中!810012~~…     

对一类题目的讨论

先看几个命题及其证明:题1设二次函数y二axZ bx 。,且I了:二。,1,:.鉴1.证明:max{yl毛4,x任〔O,Zj.这是文〔l]中的一道征解题,原证如下:证:令t=二一1,则,=a:2 6x 。= a(t l)2 b(t l) 。=a 1 tZ 61t 。1二f(t),且If(t)‘二一,,。,lj(1.由于fa一bl e,=厂(一1),、亡t=t、U) L al Dl cl二j Ll)·:.当}xl蕊1时,有If(x)!鉴xZ ‘,(1)1·)守f(一1小(,一二2)f(。){、}夸]·{宁J·__2}土匹丝兰士D.丝丝址述夕.、1 1一荡}=一2十2宁、l一①②③所以al _巡上巨止交二卫2 f(0) _丈丝匕里匕卫XZ,=‘xl ‘一2=一(,劣,一告)2十音…     

杭州市1988年各类高中招生考试卷

一、填空题(每题3分,共30分) 1。计算:J一3卜_。 2.计算:粼万二__。 3·分解因式:扩一1一___. 4.不等式2x一3相似文献   

思考题(七)解答

题21.设数列厦a,、},定义 a。*:== Za,:+ZaJ._,(n=2,3,凌,…) (i)如果数列{aJ、十,一aaJ:}是以月为公比的等比数列(a,月是实数),那么氏乃是方程xZ一2x一2=0的两个根. (2)若a,=1,a:=2,试求通项公式al. 解(i)由{:L;、十,一a:,;、}是以月为公比的等比数列,得(2)若{a,、+1首先证明如下命题成立:}是数列,定义=Za。+Za。_;,(n二2,3,…)且a一l+l一“〕一i即Za、1+2:,二尽(:,工一以几一J二l=月::‘._:)。.1一八月几._,.比较等式两边系数,有 “+月二2,a月二一2.所以a、月是x“一拟一2=。的两个根.a、日是方程x“一2x一2二o的两个根,则数列{a。+J…     

W·Janous不等式新证

兰二2兰千兰二三兰X月一y y.十Z斗"设x、y、z任R千,求证:宜二z十妻0. 此不等式即为W·Ianou:的猜测不等式,许多数学刊物上曾介绍了这一猜测的多种证法,这里笔者再给出一种非常简明的证法. 证明:设少一扩一a,尸一少一b,则尹一扩~一(a b). 一X 倪一上. 一Z 一一 Z一Z津一y X一,‘ bx y22一夕2x y一。·(一共一卫一 艺州片工y门一z) b· llx yy z,,上共二,, b叹z十x八y十z)aZ b·(a b)Z—X(x y)(y z)(x y)(少 二)(z十x) 1,、,.3,,气a一卜-只户口)一~十一厂O“ 乙住(二 y)(〕, z)(z x)x,夕,二任R ,.’.(x 夕)(J, 二)(二 了)>0,于是yZ护…     

圆锥曲线方程相减的特殊结果应用

为了说明题目的含义,首先看例: 例已知直线l:y~1一x与椭圆a扩十勿2一1相交于A、B两点,若过原点与线段AB二‘一‘一一‘。、、、,_了丁阴甲息俐且城科华刀-下- 乙,求粤的值, U 照常规,此题一般是用韦达定理求解。但见下面的解法: 解:设A(x,,夕1),B行2刁2)则有同理:!C尸一晋厅yZ一2厅}B“一鲁厅x6一2厅一3厅·由题意:!AF}十{CF}~2!BFI冷:yl十yZ一12.①②a对 石少圣=1ax鑫 妙呈~l馨②一①得’ {丝一兰证明:(2)由题意{‘营‘忿 {匹一亚 t 12 13 a(x:一x,)(xl xZ) b(夕:一夕1)(夕; 少2)=0,②一①。(少:一少:)(y, 夕2) 12(x:一xl)(x; xZ) …     

求函数的周期易忽视的一个问题

题:求函数f(二)一小正周期.。,l一tg艺二、:0气二~-甲一—一f一, 1十tg‘x的最解:‘:r,一、。,1一tg艺x、:J、汪j一J气二一~厂一二厂一少-一1 1十tg一x=5(eosZx)“一l 。_、,l·十cos4x~勺入— 乙一1 53一万cos仃十万··,.了(了’的最“、正周期是譬一今上面的结果是错误的,因为:如x一。时, _1一0、二~~~,,、,。一、、,J LU少一匕气了一万一不,‘一1一4;久幽狱J戈x)阴正义 1丫卜U域是{x{x任R且二半k二十粤,k任z},…f(0 乙不尤一2十粤) 乙无意义二,.f(。)共f(。十粤)二,. ‘是函数厂(x)的周期. 因这个函数的定义域是实数集中除去一些弧…     

看过去不难作,作起来容易错 一套代数填空易错题

(一)题目 1、若z,、之2都是复数,且对+班二o则z:二之:,对吗?答___. 2、{1一i!’=(1一i)’刘·吗?答___。 8、复数一3‘c05号+/5:,‘毛一,的枝卜:二.、幅角的主值口二_. 4、若x:一}川=2一2i,则x=__‘ 5、若:和:。都是复数,且}川二1,12、若{引、1,则实数·取值范围是13、若1。:、二’>o,则实数x的取值范围是_______ 14、若xlog。3<109。9,则,,的取值范11下!是__。15、函数夕= 1(x+1)〔x十2)的定义域是·十Z。、。,贝。}1+:02之+20 6、若。、b、e、d为实数.歹毋关于二的方程扩+(0十bi)x月一仕+d日=0有实数根的充要条件是_____ 7、若a、石都是,…     

2007年高考数学压轴模拟试题(四)

第I卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量言一A(护 6 3，;)，了一(l，O)和了~(0，1)，若言·了二一涯，则向量言与了的夹角等于(). A.晋。一晋c警n晋2.已知函数f(x)‘19(扩一3x 2)的定义域为M，g(x)~19(k一x) 19(x十2)的定义域为尸，且尸〔M，则k的取值集合为(). A.(1，2)B.(一co，1〕C.〔2， co)nR 3.已知不等式xy成a扩十2犷，若对任意x任[1，2]及y任〔2，3j该不等式恒成立，则实数a的取值范围是(). 6.已知(x 1)‘5=a。 a，x a:x2 … a，sx…     

1993年亚太地区数学奥林匹克试题

1.如图,四边形ABCD各边相等,且匕ABC为600.直线l过D点,但与四边形A方CD。~max(1。.、,},}。.}证明:手成,+‘·,…,}‘。)}.不相交(D点除外).1与AB,BC的延长线分别交于E,F.M是CE与AF的交点.证明:CAZ一CM x CE.2.对于实数x(0簇x镇100),求函数f(二)一〔二〕+〔2二二+巨粤〕 O 十〔3x习+g4x〕所取的不同整数值的个数.3.设f(x)~公了十a二x”十…十a。,g(x)一‘。一:工”一’十‘.犷+··一向均是实系数的非零多项式,且对于某实数r有g(二)一(x+:)f(.T).如果a=max({a,},}a二{,…,}a。}) 4.求出使得方程 x,十(2+x)’十(2一x)’一0具有…     

求圆的切线面面观(高二)

题求过点A(0斌而)的圆扩十犷~5的切线方程. 解法1用过团上一点的切线方程 设过点A(0扩而)的直线与圆扩 了一5相切于点尸:(x;,y,). 过圆上一点的切线方程为 xlx yly~5.①因为切线过点A(0扩1万),所以才 丈-一工.厂币. 2,一 1一 2丫一’{一音厕,一告厕·JI之,|L 得 ③ ② 由所以又 _1厂;万y‘一万v上u·②P,(xl,y,)在圆上,代入①即得所求圆的切线方程为 x y一丫而一。和x一y十护丽一。 解法2用勾股定理 设所求切线与圆相切于点尸,(x,,y,),圆心为点C因为圆方程为扩 少一5,所以圆心的坐标C(0,0).连结AC、CP;,则CP:土AP,.由勾股定理,得CP:…     

数学问题(一)

计算2十22十222十……十22.二2之和。、一一产一曰 n证明:一切三角形三边上高的交点(垂心、)关于三边的对称点必在它的外接圆上.设x;和xZ是方程x忍 kx十a~。的根,此处a斗0,求一切使不等式‘会,’ (会,‘《52(a和‘为实数,成立的‘值·4.解不等式了a一x 训a x>a.5。求对于函数召     

高考数学压卷题破题要害探索

1抓住试题中的命题要害,步步逼近 例1设a、b均为大于1的自然数,函数f(x)=a(b sin x),g(x)=b cos x,且存在实数m,使得f(m)=g(m).(1)试求a、b的值;(2)设数列{an}的首项a1=3ab,对任意的n∈N ,有(a 1)an 1 b·an=0,记Sn=a1 a2 … an,Tn=a1·a2…an,分别求出{Sn}、{Tn}中的最大项.     

几个代数不等式的推广

文【l]给出:若x,yeR,且x y二1,则(1)二十,,一, ,、寻; __2l八、泣二I乙)一一一一一一又十、一,_」L__乙 芯丁y ,2xZ十y=~丈石 x y‘扩xZ十y23’中学数学研究加06年第6期(3)x 少 丸一为 丸,4飞百·如果改变上面的条件,便得到以下推广. 定理1若x,y〔R,且x十y=a(a任R),则 (1)ax ,,一x, 。、晋a,; ,,2 (2)翁·瑞一翁 广石)晋;鸭不蒸芍证明(1)由已知得(3)口丈乙盯十少十不翌一= x‘十ay一卫业二二十子兰一ax十y‘x‘ ayaZ·(么二),一身X,十冬X愁一象丹 二x3 ‘_舫 熟(。一x.) ·x; a、_粉￡ axj一x3.因此X; 。‘_粉!·a, axj一对一(xj一号)…     

一九九○年日本高考数学试题及解答

吕第一试一、(30分) 1.整式P(x)符合下面的条件(A)、(B) (A.)P(x)除以x’一4x十3,余数为65x一68; (B)P(x)除以x’ 6x一7,余数为一sx十a。 这时,已知a二(),求P(x)除以尸 4x一21,余数为故十:. 由条件(A)得()b 。=(). a=()时,由条件(B)得()右 ‘二().由此,得乙=();e=(). 2。从下面①一④中选出正确的填入下文的()内. (1)集合A、B,A日B=A是使A自B二B成立的(). (2)整数,:,:2是一2的倍数是使n是12的倍数成立的()。 (3)三角形T的内切圆的中心和外接圆的中心一致,是使T是正三角形成立的(). (4)实数a,乙,e.!a十b e}=}al !乙{ 1‘、{是使赫干…