一元二次方程

矗基础篇矗课时一一元二次方程及其解法了万.+2,x2一v/范一一2.竺64诊断练习一、填空题1.方程扩一4x=o的根是2.若分式xZ一x一6 x一3的值为。,则x二=0.二0,二0 3.已知2是关于x根,则668a+1=_ 二、选择题的方程音XZ一2。一0的一个四、(x+韧一静从一奋n疑难解析例1解方程(xZ一x一l)(xZ一x一3)十1解:(扩一x)z一4(扩一x)+4(xZ一x一2)2~0,xZ一x一2xl-一1,xZ二2.1.下列方程中是一元二次方程的是( -一_、。1又八)zx十1=U.气”,厂~诬 (C)扩+y=0.(D)(l一x)2~4. 2.关于x的方程(mZ一l)扩+3x一1“o是一元二次方程,则一定有(飞 (A)m笋1.(B)m笋一1. (C…     

巧用恒等式解一类二次根式方程

初中教材中讲了解二次根式方程的两种方法:平方法、换元法.但对于形如 丫alx“ 瓦x十。1士V气xZ十热x 勺 =ax b(a,b不全为零)(1)的根式方程.如a,扩十b:x c,、内扩十bzx 。。与ax b是既约因式,且能被ax b整除,令商式为Px十q.那么利用恒等式 (alx艺 b:x el)一(aZxZ bZx c:)=(a:一a:)xZ十(bl一bZ)x (c:一e:)(2) 求解是比较简捷的,具体步骤如下. 第一步:将(2)的两边分别除以(1)的两边得丫alxz blx cl干丫~Px q,第二步:将(1) (3)得:丫a,x: ,:二 。,一a 2x2 b:x十c。(3)(a十P)x (P q), 第三步:解这个简单的根式方程,舍去增根后就得到原方程的…     

圆锥曲线的渐屈线和曲率圆

曲线C在点P(x0,y0)曲率圆是与该曲线C相切于点P(x0,y0)(凹侧)的最大圆,曲率圆的圆心D的轨迹曲线G称为曲线G的渐屈线.抛物线y2=2px(p>0)、椭圆x2/a2+y2/b2=1和双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐屈线方程分别为y2=8/27P(x-p)3、x3/(c2/a2/3=1和x3/(c2/a2/3-y3/(c2/b)2/3=1.抛物线、椭圆和双曲线的最小曲率圆都是它们的内切圆,其方程分别为(x-P)2+y2=p2、(x±c2/a)2+y2=b4、(x±c2/a)2+y2=b4/a2.     

新人教版数学九年级上学期期中考试试卷及答案

(满分120分,时间120分钟)’第一卷一、选择题(每小题3分,共24分) 1.如果·v厅二石有意义,则。的取值范围是() A.a)0 B.a(O C.a〕3 D.a簇3 2.下列方程是关于x的一元二次方程的是()一一1一才十1一扩B A.axZ 酝十c~ C.xZ Zx=xZ一1 D.3(x 1)2=2(x 1) 3.计算丙百一万的结果是() A     

错在哪里

题:劣2上海市崇明县新风中学曾川来稿过刀(o,b)作椭圆1(a>b>0>)的弦,求弦最大值。 解设P(x,劝尸_椭圆上任一点则上几{BP!2=xZ+了份一b)2厂 二x“十y’一Zb,十乙”、、叹九_由xZ/护十犷/l>’二1得) 一︸尹一尸二’二(a’/b’)(6’一岁’),代入卜式不({ !BP】’=一(e丫bZ)夕2一Zb夕+a“+b’(.) 一(CZ/bZ)<0 }B尸12有最大值 l/}O刀}+l/!OB!了 1!O月!2 1OB!=〔(乙’一aZ)/(a 2b2)2一+一}+(2/ 2O且·}0君{a 2b2)4·(一cZ/b2)(aZ+b:4.(一c’/(Zb)一鱿 C州+训含(aZ+b’)’。in’20一a 2b2门一/b }BP}的最小值为aZ/c。 解答错了!错在那…     

有趣的直线x_0x/a~2+y_0y/b~2=1

在高二教材中的圆锥曲线一章中,有这样的结论: 如图1,若P(x0,y0)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a >b>0)上的一点,那么经过该点的椭圆的切线方程为x0x/a2+y0y/b2=1 问题:若点P(x0,Y0)在椭圆外部(或内部)时, 直线l:x0x/a2+y0y/b2=1是什么样的直线?与椭圆有怎样的关系?     

1983年第三期数学问题

1.求证:任一面积为1的凸多边形必能被一个面积不大于2的平行四边形盖住。2.求方程l!+21+31+…十x!二扩的正整数解。3。求和:eosx+e0S3x—一l一一+。n吸x+e0SSX(l、2两题咬山提) 1eosx+eos(2凡+1)x(河北石家庄市二十六中段国兴提)4.方程x吕+y3一3xy+1=0的图形是什么?作出此图形。(树T提)上期问题解答 1.设一元二次方程xZ一3x+a+4=o的两根均为整数, (l)试证:(i)两根必为一奇一偶,(11)a为负偶数。 (2)当两根同号时,求两根及a 证明(l)设方程xZ一3x+a+4二O的两根为a、日, 由已知a+日=3a·日=a+4 八=(一3)“一4(a+4)二一4a一7>0 (i),.’a+日=3…     

一个条件恒等式的应用

若a+b+c二0,则减 a3+占3+。3=3a阮(,) (‘)式的证明很简单.下面举例说明(二)式的神奇作用,或许对你有所启发. 了一、分解因式 例1分解因式:(xZ一3x+2)3+(尸-sx+6)3一8(xZ一4x+4)3. 解因(xZ一3x+2)+(xZ一sx+6)一2(xZ一4x+4)=0. 直接运用(二)式得: 原式=一6(xz一3x+2)(xz一sx+6)(xz一4x十4) =一6(x一1)(x一2)(x一2)(x一3)(x一2)2 =一6(x一1)(工一3)(x一2)4. 二、求值 例2已知3(a一6)+乃(6一。)+。一。=0(a笋b),求(a一占)2的值.解由已知得3(a一占)+招(占一。)+(。一a)=0,①(a一b)十(b一。)+《c一a)声0.②刀之n二二二6琳十儿二5mn 或2,3;一一…     

椭圆问题的圆化处理

对于椭圆x2/a2+y2/b2=1,令x’=x/a,y’=y/b,则椭圆方程变为:x’2+y’2=. 1,此为单位圆方程.这样,椭圆问题就可充分利用圆的性质来解决了.举例说明. 例1若直线l:x+2y+t=0与椭圆C:x2/9+y2/4=1相交于两点,求t 的取值范围. 解:令x=3x’,y=2y’,则椭圆C和直线l分别变成圆C’:x'2+y'2= 1和直线l':3x’+4y’+t=0.     

第五届全国部分省、市初中数学通讯赛试题及解答

一、填空题1.分母有理化:5.必}}望,AC=且D=DE=EA二BD3十2训丁一v丁一、/万乙BDC=28。,止ADB=421 侧丁一了丁则乙B刀C 2.设a,乙是整数,有一个根是了7一4侧丁,方程x“一*ax b=0则a 石二_. 3.分解因式:xZ P口(P g)(P一口)=_ 4.已知191.4=a,一(P“ 92)x1 93。5=b,则1 976.把(x“一x 1)6展开后得a;:x’2二1,上a;,x’‘十…于a:x“ a,x 口。,则a,:一夕冈十as片一a匕 a4十a一 a。= 7.在正方形ABCD中,E在BC上,BE=2,CE二1,尸在BD上,则P刃和尸C的长度之和最小可达到___. A__._一D五F=2,则矩形ABCD的面积是((A)吸C、4了丁.(D (B)3…     

圆锥曲线的一个优美性质

笔者近日在学习和研究圆锥曲线时,发现圆锥曲线与其切线有关的一个优美的性质,现表述如下,以期与同仁分享. 性质1 已知A,B是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上不同的两点(不同时在坐标轴上,或kOA·kOB≠-b2/a2),O为椭圆C的中心,椭圆C在点A,B处的切线分别与直线OB,OA相交于P,Q两点.则AB∥PQ. 证明:如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2).则切线AP,BQ的方程分别为:x1x/a2+y1y/b2=1,x2x/a2+y2y/b2=1.直线OA,OB的方程分别为:y=y1/x1x,y=y2/x2x由方程组｛x2x/a2+y2y/b2=1 y=y1/x1x,解得点Q的坐标为xQ=a2+b2+x1/b2x1x2+a2y1y2,yQ=a2+b2+y1/b2x1x2+a2y1y2.     

初三数学能力测试题

一、选择题(每小题2分,共20分) 将下面每小题正确答案的代号,填在相应题号的括号里。 1.已知。<0,则二次根式V弄化简为最简二次根式为() A.一aV万B.aV下 C.*a丫石.D.一aV不 2.下列方程无实根的是() A .x+1泥B.扩+x十1=2 c.xz+1二一2 D.扩+x+1二一2 3.一次函数y二ax+b的图象不通过第二象限,则。与b满足 ( A..>0为)0 B..刃,b蛋0 Ca<0山)0 D.a<0,b簇O 7.二次项系数为1,且以 程是() 卜认了1一V了 2’2 为两根的一元二次方 4.函数y= 5x Zx气3x+2 A.xZ+x+1刃 B二z+x一1=0 c.犷一x十1=0 D.xZ一1=0 8.正三角形内切圆半径为r,外接圆半径为R…     

巧用圆解椭圆问题

圆是椭圆的一个极端图形,而圆的性质已为大家所熟知,如何把椭圆方程转化为圆方程呢? 笔者经过探究得到以下结论: 设椭圆方程为x2/a2 y2/b2=1,令x=(a/b)x’,则得圆方程:(x’)2 y2=b2,若令y=(b/a)y’,则得圆方程:x2 (y’)2=a2．用这个结论解题,不仅思路清晰,和谐优美, 而且解题过程简捷明快有新意,可以收到事半功     

求代数式值的几种常用方法

.1...J一、代入法代入计算是求代数式位的呆常用的方解:原式一l(a l))2一4a乡(a一b)2 4abL(a一b)a 乙 一一飞....J法,一般都是化简后,再代入求值=将求(a 乙)(a一乙)=aZ a一b(a b)2a一乃一一bZ卜例1已知创53,,4a乡\z、“一”十不侧_气“十占一刀 了5a=二2乙二一粤代入 ‘即求得原式的值飞7P qi一夕 一i一户为1. 有时利用分母有理化,往往可以简化运算过程. 例2已知:解:由_卫几很夕士旦- P十q”P qP=1’“F工十万一万-1“1,.工_生以二七q二=这里土玉迄_,. 亿3一了2’,’‘ xZ十xxZ一4x一5的值。(层一 韵’一(备一韵’十4一5.及十卫二士了…     

几个代数不等式的推广

文【l]给出:若x,yeR,且x y二1,则(1)二十,,一, ,、寻; __2l八、泣二I乙)一一一一一一又十、一,_」L__乙 芯丁y ,2xZ十y=~丈石 x y‘扩xZ十y23’中学数学研究加06年第6期(3)x 少 丸一为 丸,4飞百·如果改变上面的条件,便得到以下推广. 定理1若x,y〔R,且x十y=a(a任R),则 (1)ax ,,一x, 。、晋a,; ,,2 (2)翁·瑞一翁 广石)晋;鸭不蒸芍证明(1)由已知得(3)口丈乙盯十少十不翌一= x‘十ay一卫业二二十子兰一ax十y‘x‘ ayaZ·(么二),一身X,十冬X愁一象丹 二x3 ‘_舫 熟(。一x.) ·x; a、_粉￡ axj一x3.因此X; 。‘_粉!·a, axj一对一(xj一号)…     

一组解析几何试题(1982年日本高考题选译)

①②一、昭和医科大学题题设有二曲线,~护(1)(2) 红二尸一Zx+3求①和②的公切线在①上取一点P,在②上取一点口,p和p‘的夕坐标设为yl、一y,,作出直线AP和A’P‘的方程,可以求其交点.利用点(x,,万,)在椭圆上,消去x,、刀,即可. 解答平行于y轴的直线为x~x、,P、p’的坐标一没为②③线段pQ的中点设为R。图示点R所在的区域.解(功所求公切线设为y一ax+乙,对于①、②有 xZ一刀x一乙一O,xZ一(2+。)x+3一b一0。的判别式各为0, 即a“斗4b一0, (2+a)“一4(3一b)一0 解之a~2,b一一1. 答:歹~Zx一1. (2)设P(a,aZ)、Q(口,夕2一2口+3),中点R的坐标(X…     

圆锥曲线方程相减的特殊结果应用

为了说明题目的含义,首先看例: 例已知直线l:y~1一x与椭圆a扩十勿2一1相交于A、B两点,若过原点与线段AB二‘一‘一一‘。、、、,_了丁阴甲息俐且城科华刀-下- 乙,求粤的值, U 照常规,此题一般是用韦达定理求解。但见下面的解法: 解:设A(x,,夕1),B行2刁2)则有同理:!C尸一晋厅yZ一2厅}B“一鲁厅x6一2厅一3厅·由题意:!AF}十{CF}~2!BFI冷:yl十yZ一12.①②a对 石少圣=1ax鑫 妙呈~l馨②一①得’ {丝一兰证明:(2)由题意{‘营‘忿 {匹一亚 t 12 13 a(x:一x,)(xl xZ) b(夕:一夕1)(夕; 少2)=0,②一①。(少:一少:)(y, 夕2) 12(x:一xl)(x; xZ) …     

倒数型分式及无理方程的简解

我们很容易得出下列结论: 1,一,、,,,二。“土万阴阴很分利足xl=2(厂“ 1) 工十l 兔琴: xZ 16(万一卜1) xZ 1方程 1X士二了= —汤原方程化为 3(x一卜1)C,X;方程 a a义士一 X a_~~J-_一‘二一的两根.万不一r十子不丁一“2十经 名i一e 一 一一分别是x,二:,x,二士一一C丫石一卜1万 1。八犷‘ 13乙,—一二==丁 X十1艺 直接利用上面倒数方程的性质解倒数型分式及无理方程十分简捷.兹举数例供参考. 例1解关于、的方程、 一早丁一。 ,一,、,”、,,一工一1分别解得x,,:=1士了万,x3,;=3士了1了 咬经检验,它们都是原方程的根。 1十-一花犷 a一1 (…     

整体思想用于“希望杯”赛题(初一、初二)

例1若护一x一1一O,则一护十Zx 2002 一.(第13届02年“希望杯”初二) 分析一般解法是先求出x的值后,再代人 计算,比较繁琐.如果由护一x一1一。得护一x 一1,再将所求代数式变形后整体代入就比较简 捷T. 解因为护一x一1一O, 所以护一x二1. 即一x3 Zx十2002 -一x3十xZ一xZ x x十2002 一一x(xZ一x)一(xZ一x) x 2002 -一x一1十x十2002 =2001. 说明:若用多项式除法可知 一x3 Zx 2002 一(xZ一x一1)(一x一1)十2001=2001. 例2若代数式2砂一3a 4的值为6,则代 ”二2 数式于护一a一l- 一一、3一一-—’ (第15届04年“希望杯”初一) 分析观察二次项与…     

错在哪里

一、江苏江阴市一中李亮尧来稿题:过点B(0,一的作椭圆=1(a>b>O)的弦,求这些弦的最大值。解:设M(万,扩是椭圆上任一点,则{BMI“=护·、(,月一幻“ =尸傀一犷斗劝y一卜护由多十豁二,,知X艺二豁‘、一y·,, 二、江苏南通市十三中学黄尔慈来稿 题:若实系数方程护卜.l)x 叮二0的两根为l)、q,试求夕、叮之值。 解:夕、q为方程护十Px十q二O的两根,则P、了分别满足方程, 犷夕2 了,2 口=0 轰口‘十夕q g“O 解此方程组得:(解方程组的过程略)p二一衡.Jp二1g=一仓’tq二一2 .2nUn甘一一一一入尸q‘.矛、.,代入上式,得}BM!2二(1一a,/bZ)夕2 Zb夕 …