浅谈构造函数法证明不等式

正本文首先介绍如何构造函数证明两个简单的不等式,在介绍如何构造函数证明复杂的不等式,以及在构造函数时如何如何整体把握.首先介绍两个有用的不等式ex≥x+1,x∈R与lnx≤x-1,x0.这两个不等式不难从图象上看出,注意y=lnx与y=x-1分别是y=ex与y=x+1的反函数,图象关于y=x对称.用导数证明如下:构造函数f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.     

经济数学基础综合练习1

第 1章　函数1　填空题1)函数 y=4 -xln(x- 2 ) 的定义域是 .2 )设f(x) =x2 +2ex 　　x ≤ 00 相似文献   

高考题中的e~x及lnx

ex 及lnx在 2 0 0 4年高考题中频繁出现 ,究其原因 ,主要是它们具有以下一些良好的性质 :(1)y=ex >0 ,y =lnx在其定义域上均为增函数 ;(2 ) (ex)′ =ex,(lnx)′ =1x;(3 ) (eax)′=aeax(a为常数 ) .下面逐例剖析高考题中所涉及ex 和lnx的题型 ,以 2 0 0 4年为主 .一、借助ex 及lnx考查函数性质例 1　 (1992全国高考题 )函数y =ex-e-x2 的反函数 (　　 )(A)是奇函数 ,它在 (0 ,+∞ )上是减函数(B)是偶函数 ,它在 (0 ,+∞ )上是减函数(C)是奇函数 ,它在 (0 ,+∞ )上是增函数(D)是偶函数 ,它在 (0 ,+∞ )上是增函数解法 1　由y=ex-e-x2 ,得e2x…     

2004年高考数学试题(全国卷):基本解法与巧思妙解(续二)

甘肃、宁夏、贵州、青海、新疆等地区使用试题　　一、选择题 :本大题共 1 2分 ,每小题 5分 ,共 60分 .( 1 )已知集合M ={0 ,1 ,2 },N ={x|x =2a ,a∈M},则集合M∩N =(　　 ) .A .{0 }　B .{0 ,1 }　C .{1 ,2 }　D .{0 ,2 }解 :∵N ={x|x =2a ,a∈M}={0 ,2 ,4},∴M∩N ={0 ,2 },故选D .( 2 ) 函数 y =e2x(x∈R)的反函数为 (　　 ) .A .y =2 1nx(x >0 )　　B .y =ln( 2x) (x >0 )C .y =12 lnx(x >0 )　D .y =12 ln( 2x) (x >0 )解法 1 :函数 y =e2x(x∈R)的值域为 y >0 ,反解得x =12 lny,故其反函数为 y=12 lnx(x >0 ) ,故选C .解法…     

一类反函数习题的错解辨析

题型:若函数 y=f(x)存在反函数 y=f~(-1)(x),求 y=f(x-1)的反函数.解:因为 y=f(x)的反函数是 y=f~(-1)(x),在解析式中,用 x-1代换 x 得 y=f(x-1)的反函数是 y=f~(-1)(x-1).在解题时很多学生会用上述的解法求反函数,这种解法正确与否?探究①:函数 y=f(x)与 y=f(x-1)之间是什么关系?同样,函数 y=f~(-1)(x)与 y=f~(-1)(x-1)之间又是什么关系?     

《函数》一单元检测题

一、选择题1.若函数f(x) =2 x2 + 2 -2a的图象与直线y =-2没有公共点 ,则实数a的取值范围是 (　　 )(A)a <1　　　　 (B)a≤ 1(C)a <3 (D)a≤ 32 .若y=logax是单调递减函数 ,则函数y=-a- 8+ 2x-x2 的单调递增区间是 (　　 )(A) ( -∞ ,1] (B) [4 ,+∞ )(C) [-2 ,1] (D) [1,4]3 .函数y =5 -2 1+4x-x2( -2 ≤x ≤ 5 )的值域是 (　　 )(A) ( -∞ ,5 ] (B) [0 ,2 ](C) [0 ,3 ] (D) [2 ,3 ]4.函数y =f(x)的图象只可能是 (　　 )5 .若f(x) =x2 lg( 2 -a) +( 3a -5 )x-1是偶函数 ,则f(x)在区间 [-4 ,-1)上 (　　 )(A)是增函数　　 (B)是减函…     

2005年决胜冲刺试题（二）

一、选择题 :(每小题 5分 ,共 6 0分 )1.已知集合P ={ (x ,y) |y =k} ,Q ={ (x ,y) |y =ax+1} ,若P∩Q只有一个子集 ,则k的取值范围是(　　 ) .A .(-∞ ,1)　　B .(-∞ ,1]C .(1,+∞ )D .(-∞ ,+∞ )2 .已知函数y =f(x) (x∈R)满足f(x +1) =f(x -1) ,且当x∈ [- 1,1]时 ,f(x) =x2 ,则y =f(x)与y=log5x图象的交点个数为 (　　 ) .A .3个　　B .4个　　C .5个　　D .6个3.甲、乙、丙、丁四位同学对参加某届奥运会 110m栏的 4个运动员A、B、C、D作赛前预测 :甲说 ,“C或D将夺冠军” ;乙说 ,“D将夺冠军” ;丙说 ,“夺冠者应是C” ;丁…     

对一道高考题的思考和探究

题2019年全国II卷理科数学第20题.已知f(x)=ln x-x+1 x-1,(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x 0是f(x)的零点,证明曲线y=ln x在点A(x 0,ln x 0)处的切线也是曲线y=e x的切线.该试题中,函数y=ln x在函数f(x)的零点处的切线为曲线y=ln x与y=e x的公切线,那么,函数y=ln x和y=e x的图象分别与函数y=x+1 x-1的图象交点与它们的公切线有何关系?一般地,指数函数y=a x和对数函数y=log ax(a>0且a≠1)图象的公切线又有何相应的结论?本文对此加以探索.     

对数求导法与幂指函数导数公式

一、对数求导法新编教材高中第三册 (选修 )中有对数函数的导数公式 :(lnx)′= 1x,(logax)′= 1xlogae,当函数 f(x)蕴含的运算关系复杂时 ,可用对数求导法求 f′(x).例1 f(x)= 3 (x+2)2(3x-2),求f′(x).解 :lnf(x)= 23ln(x+2) +13ln(3x-2) 1f(x)·f′(x)= 23· 1x+2+13· 33x-2= 9x+23(x+2)(3x-2) f′(x)= 3(x+2)2(3x-2)·9x+23(x+2)(3x-2)= 9x+23· 3 (x+2)(3x-2)2解法中的疑惑是 :两边取对数后 ,定义域发生了改变.如何理解 ?为了释疑 ,先解决函数y=loga｜x｜的求导问题.例2函数 y=loga｜x｜ ,求 y′.解 :由例2,对数函数的导数公式可扩展为…     

函数y=f(x+1)的反函数是y=f~(-1)(x+1)吗

如果函数y=f(x)有反函数y=f~(-1)(x),那么函数y=f(x+1)的反函数就是y=f~(-1)(x+1)吗? 例已知f(x)=2~x,函数y=g(x)的图象与函数y=f~(-1)(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(2)。     

高等数学例题解析1

1　填空题1)设 f(x- 1) =x2 - 2x ,则 f(x) =。解　 [解法一 ]　设t=x- 1则　x=t+1得　f(t) =(t +1) 2 - 2 (t+1) =t2 - 1故　f(x) =x2 - 1[解法二 ]　因为 :f(x- 1) =x2 - 2x=x2 - 2x+1- 1=(x- 1) 2 - 1所以 f(x) =x2 - 12 )函数 f(x) =1ln(x- 2 ) +5 -x 的定义域是。解　对函数的第一项 ,要求x - 2 >0且ln(x - 2 ) ≠ 0 ,即x >2且x≠ 3。对函数的第二项 ,要求 5 -x≥ 0 ,即x≤ 5。取公共部分 ,得函数定义域为 (2 ,3)∪ (3,5 ]。3)设 f(x) =ax +a-x2 ,则函数的图形关于对称。解　f(x)的定义域为 (-∞ ,+∞ ) ,且有 :f(-x) =a-x+a-( -x)2 =a…     

高等数学(1)综合练习

填空题1)f(x-1) =x2 -2x ,则 f(x) =。2 )函数y=1ln(x-2 ) + 4 -x的定义域是。3 )设f(x)的定义域为 (-∞ ,+∞ ) ,则函数 f(x) +f(-x) 的图形关于对称。4)极限limx→ 0x2 sin 1xsinx =。5)函数 y =x2 cosxln｜x + 1｜ 的间断点是x=。6)设f(x) =x2 -4x + 5,则 f(f′(x) ) =。7)函数 y =(x+ 1) 2 + 5的单调增加区间是 。8)极限limx→ 0∫x0 costdtx =。9)设G(x) =∫x2asintdt,则G′(x) =。10 )曲线 y =x3 -9x2 + 16的凸区间是 。11)设 y =ln(x2 + 1) ,则y″(0 ) =。12 )∫4- 416-x2 dx =。13 )已知F(x)是f(x)的一个原函数 ,那么∫f(ax +b)…     

数学竞赛中恒成立问题的若干求解策略

在各级各类数学竞赛中常常出现一类“恒成立”问题 .由于这类问题既有参数又有变量 ,同学们处理起来确实存在一些困难 .本文通过实例谈一谈这类问题的若干求解策略和方法 .1　分离参数法例 1　圆 x2 + ( y- 1 ) 2 =1上任意一点 P( x,y)都使不等式 x+ y+ c≥ 0成立 ,则 c的取值范围是 (　 ) .( A) ( -∞ ,0 ]　 ( B) [2 ,+∞ )( C) [2 - 1 ,+∞ )( D) [1 - 2 ,+∞ )(第七届全国“希望杯”竞赛培训题 )析解　分离参数得 c≥ - x- y.设 x=cosθ,y=1 + sinθ,0≤θ<2 π则 - x- y=- cosθ- 1 - sinθ=- 2 sin(θ+ π4 ) - 1 ,可见 ( - x- y) m…     

经济数学基础综合练习

第1章　函数1　填空题1)函数y=4 -xln(x - 2 ) 的定义域是.2 )设f(x) =x2 +2ex 　　x ≤00 相似文献   

一个重要不等式在解题中的应用

观察函数f（x）=lnx和g（x）=一x-1的图象（如下图）,由图可知,除x=1外,y=f（x）的图象总位于函数图象y—g（x）的下方,即“lnx≤x=1对于．x∈R＋恒成立”（平移后,也就是x∈R＋.     

高中数学基础训练题（2）

函数1 .对于任意函数 y=f ( x) ,在同一坐标系里y=f( x- 1 )与 y=f( 1 - x)的图象(　　 ) .( A)关于 x轴对称( B)关于直线 x+ 1 =0对称( C)关于 y轴对称( D)关于直线 x- 1 =0对称2 .从盛满 2 0升纯酒精的容器里倒出 1升 ,然后用水填满 ,再倒出 1升混合溶液 ,又用水填满 ,这样继续进行 ,如果倒第 k次 ( k≥ 1 )时共倒出纯酒精 x升 ,倒第 k+ 1次时共倒出纯酒精 f( x)升 ,则函数 f( x)的表达式是 (　　 ) .( A) f ( x) =1 92 0 x( B) f( x) =1 92 0 x+ 1( C) f ( x) =12 0 x( D) f( x) =12 0 x+ 13.设 f( x) =lg( 1 0 x + 1 ) + ax 是偶函…     

2007年高考数学模拟题(1)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(理)设M=znz=-12+3i,n∈N,P=zmz=1+i2,m∈N,则M∩P中的元素有()(A)无数个(B)2个(C)1个(D)0个(文)设M={x|1-2}的(B){x|x<3}(C){x|1相似文献   

2002年上半年（一月）全国高等教育自学考试高等数学（一）试题

第一部分非选择题一、单项选择题(本大题共40小题,每小题1分,共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母填在题干后的括号内。1.设M=狖x｜x2-x-6>0狚,R=狖x｜x-1≤0狚,则M∩R犤犦A.狖x｜x>3狚B.狖x｜x<-2狚C.狖x｜-2相似文献   

一道函数题的错解剖析与解法优化

一、题目设函数 f ( x) =1- 2 x1 x,若函数 g( x)的图象与函数 y =f - 1 ( x 1)的图象关于直线 y =x对称 ,则 g( 2 )= (　　 )( A) - 1.　 ( B) - 2 .　 ( C) - 54 .　 ( D) - 25.二、学生的两种解法解法 1:求得函数 f ( x) =1- 2 x1 x 的反函数为 y =f- 1 ( x) =1- xx 2 ,所     

2013年新课标高考数学试题理科21题

题目 已知函数f(x)=ex-ln(x+m). (Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)＞0. (Ⅰ)略. (Ⅱ)解法1 当m≤2,x∈(-m,+∞)时,恒有ln(x+m)≤ln(x+2),即只需证明m=2时成立,即ex-ln(x+2)＞0即可. 即证明ee|-x-2 ＞0. 设g(x)=eex-x-2,g’(x)=ex+ex-1, 因为g″(x)=ex+ex(1+ex)＞0,知g’(x)在(-2,+∞)上为单调递增函数.