对Lagrange中值定理证明方法的讨论

对Lagrange中值定理的证明，在高等数学的传统证法中，通常都是采用引入一个“辅助函数”，将适合定理的函数转换成适合Rolle中值定理的函数的办法．为了进一步开阔思路，更好地理解和掌握Lagrange中值定理，本文给出了行列式证法、旋转变换证法和区间套定理证法等几种证明方法。     

弦图及其在数学教学中的应用

《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》对第三学段教材的编写建议“介绍有关的数学背景知识’,并具体指出：“介绍勾股定理的几个著名证法(如欧几里得证法、赵爽证法等)及其有关的一些著名问题,使学生感受到数学证明的灵活、优美与精巧,感受到勾股定理的丰富文化内涵．”而《普通高中数学课程标准(实验)》在选修课程中开设“数学史选讲”,并将“中国《周髀算经》、勾股定理(赵爽的图)”作为一个供选择的专题．那么,《周髀算经》是如何证明勾股定理的,赵爽的图又是怎样一幅图,它在我们的数学教学中又有什么具体的应用,本文就这些问题展开具体论述．     

正弦二倍角公式的构造证法

如图 1 ,构造腰长为 2 ,顶角为 2 α( 0 <α<π2 )的等腰△ ABC,则△ ABC的面积 S=12 × AB× AC×sin 2α=sin 2α.过 A作 AD⊥ BC于 D,则 D是 BC的中点 ,且∠ BAD=∠CAD=α,则 AD=AB·cosα=2 cosα.又∵△ ABD与△ ACD的面积相等 ,∴△ ABC的面积 S=2· S△ ABD=2× 12× AB× AD×sinα=2 sinαcosα,∴sin2 α=2 sinαcosα.易证 α不是锐角时 ,上式仍然成立 .正弦二倍角公式的构造证法@刘品德$广东省江门市江海中学!529000…     

巧用"面积法"解几何题

几何问题解法种种,方法得当,证法就直接、简便;方法利用得好,证法就巧妙、优美.以教学例子为鉴,"面积法"真是解决某些几何问题的良药.     

圆锥曲线焦点弦的性质探究

<正>下面是大家都很熟悉的一道解析几何证明题,有几种证法.这里只给出一种证法:已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于P,Q两点(如图1),证明     

关于Euler数e的讨论

章采用证法新颖，以避开传统的对数列（1＋1/n)^n极限存在性的证明；巧妙地利用平均值不等式给出了较为简单的证明，并在理论上说明了Euler数e的存在性，在此基础上给出了数e的两种近似计算方法，最后对数e的无理性作了进一步的讨论。     

涉及直角三角形一命题的以向量法为主的证法

文[1]、[2]、[3]、[4]给出了文[1]提出的下列问题的解析证法和几种平面几何证法.笔者再给一个以向量法为主的证法.     

排比法——一种不容忽视的论证法

谈到论证法，我们随口就可说出例证法、对比法、喻证法、归谬法、引证法等，其实，排比法也是一种不容忽视的论证法。     

反证法与同一法的比较

本文通过对反证法与同一法的比较和分析,揭示了反证法与同一法的内在联系和根本区别,理清了间接证法、反证法、同一法三者之间的关系,从而使初学者能够深刻理解反证法与同一法的实质,达到对反证法与同一法的真正掌握,学好间接证法。     

斯坦纳定理的简证及推广

若用直接证法证明命题“两内角平分线相等的三角形是等腰三角形”,在很多资料上表明问题已被用不同方法得到完全解决,但证题过程较为复杂,寻找简捷的证明方法有待于进一步探索,在间接证法中最多见的是反证法,读者在阅读、理解方面都存在诸多不便,如果选用间接证法中的“同一法”,可使证题过程简化,且便于理解,于是将该证法整理如下,并作一些探讨．     

一个无理不等式的再推广

对于问题"若a,b为正数,并且a+b-1,则有不等式(√a2+1+√b2+1≥√5)."文[1]给出了较为复杂的代数证法.之后,文[2]给出了简明的几何证法,并进行了如下推广:     

一道抛物线焦点弦问题的联想与变型

题如图1,过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条直线和抛物线相交,交点的纵坐标为y1、y2.求证y1y2=-p2.证法1由已知,抛物线焦点F(2p,0),设过点F的直线与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2).若AB⊥x轴,则y1=p,y2=-p.所以y1y2=-p2.若AB与x轴不垂直,设直线AB的方程为y=k(x-2p),与y2=2px联立,得y2-2kpy-p2=0,因为y1、y2是方程的2根,所以y1y2=-p2.证法2因直线AB过定点F且与x轴不平行,所以设直线AB的方程为x=my 2p.代入y2=2px得y2-2pmy-p2=0,因为y1、y2是方程的2根,所以y1y2=-p2.法1是常规解法,法2设出直线方程,避免了讨论直线斜率的存在性,是一种很…     

距离公式的另一种面积证法

平面上点到直线的距离公式有多种证法,其中比较经典的有老人教版（解析几何）的三角函数法、2000年人教版（高二数学上）的面积法．最近看到“Mathematics Teacher”杂志上The distance from apoint to aline一文,发现另一种风格的面积法,这种证法在中学课堂上不多见,现介绍如下：     

异支上最短的弦长是实轴长吗

笔者每次讲授双曲线后，经常有学生问这样的问题：双曲线的弦的端点在异支上的弦长最短是否是双曲线的实轴长？问题看起来非常显然，但如何证明，笔者查阅了许多资料，均没有发现这方面的记录．笔者曾对这个问题作了些探索，已得出过几种证法，其中用双曲线的定义来证明这个问题尤为简单，下面写出来供读者参考．     

关于不等式2x/π＜sinx＜x,x∈(0,π/2)的四种证法

运用微分方法给出该不等式的四种证法：①中值定理证法；②单调性证法；③极值证法；④凸凹性证法。     

一个向量命题的简证及应用

笔者从正弦定理的向量证法中受到启发,引入直线的法向量并做数量积运算来证明下面的命题.此证法简捷.S_△表示三角形的面积.     

用极限定义证明lima_n(n→∞)=a的证法分析

本文叙述了结合用极限定义证明(?)=a的教学过程引入两种基本证法——选择法、构造法的做法,目的在于让学生在学到课本知识的同时也学会数学方法.     

圆中几个著名的定理

托勒密定理托勒密定理：圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积.这个定理的证法有很多,可采用面积证法或余弦定理等方法,这里采用的是相似三角形法,也是比较简单的一种证法.     

用“中点造弦法”巧解“弦型命题”

弦的中点是沟通弦端点、弦的斜率、弦长以及与弦相关的对称问题、轨迹问题的“血管”和“神经” ,灵活利用弦中点的“动”、“静”规律 ,构造动弦、定弦处理与弦有关的问题 ,奇特巧妙、简捷新颖 .本文就这类问题给以归类例析 ,供参考 .曲线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于点Ｍ (ｘ0 ,ｙ0 )对称的曲线方程是ｆ( 2ｘ0 -ｘ ,2ｙ0 -ｙ) =0 ,两式相减得ｆ(ｘ ,ｙ) -ｆ( 2ｘ0 -ｘ ,2 ｙ0 - ｙ) =0 . ( 1)此即为以Ｍ为中点的弦所在直线方程 ,简称“中点弦方程” .以此弦作为解题模式的思想方法简称为“中点造弦法” .由 ( 1)易得几种常见曲线ｂ2 ｘ2 ±ａ2 ｙ2 …     

反证法在线性代数解题中的应用举例

数学证明方法可分为直接证法和间接证法．从原命题所给的条件出发,根据已有的公理、定义、法则、公式．通过一系列的推理,一直推导到所要证明的命题的结论．这种证法叫做直接证法。有些命题不易用直接证法去证明,这时可通过证明它的等价命题真,从而断定原命题真,这种证法叫做间接证法。反证法是数学中常用的间接证法之一。