一个双圆四边形不等式的证明

设双圆四边形内切圆、外接圆半径分别为r和R,杨之老师在文[1〕末提出猜想:Rz(“4R2 尸一r)>(争一二r(月尺=涯r). ①以下给出证明:令二一旦,则①化为扩(丫石了平丁一1)、(争一1)2,即濒了平丁一琴扩李1一3了万主 乙 二n\二、二\二涯\,,:~涯。二 由R)丫百r得x)涯,瞥x)1,从而瞥x一3     

一个不等式猜想与双圆四边形的一个性质

文[1]提出了100个待解决的不等式猜想问题,其中第95个问题是:设锐角三角形的三边长、三旁切圆半径、内切圆半径和外接圆半径分别为a、b、c、r_a、r_b、r_c、r、R,则r_a/r_b r_b/r_c r_c/r_a≥1 R/r．文[2]给出了此猜想的肯定性质证明．本文介绍此猜想的一个类似     

有关双圆四边形内点的一个几何不等式

文[1]介绍了如下Carlitz-Klamkin不等式.设P是△ABC内任一点,P到BC,CA,AB的距离分别为r1,r2,r3,AB=c,BC=a,CA=b,s=(a b c)/2则2331121()()()()()()r r r r rrs?b s?c s?c s?a s?a s?b≤.(1)笔者经研究发现,在双圆四边形中也有定理设P是双圆四边形ABCD内任意一点,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,P到AB、BC、CD、DA的距离分别为r1,r2,r3,r4,s=12(a b c d),则有1223()()()()rrr rs?a s?b s?b s?c 34411()()()()r r r rs?c s?d s?d s?a≤.(2)证明由文[2]得a c=b d=s,∴1223()()()()rrr rs?a s?b s?b s?c 3441()()()()r r r rs?c s?d s?d …     

双圆四边形的一个性质

定理设双圆四边形ABCD的边长AB=a．BC二b，CD=c，DA=d，R、r、△分别表示外接圆和内切圆的半径和面积，     

双圆四边形的一个性质

定理　设 ｐ、Ｒ、ｒ分别表示双圆四边形Ａ1Ａ2 Ａ3 Ａ4 的半周长、外接圆和内切圆半径 ;Ａ1Ａ2 =ａ ,Ａ2 Ａ3 =ｂ,Ａ3 Ａ4 =ｃ ,Ａ4 Ａ1=ｄ ;ｐａ=ｐ -ａ ,等等 ,则 ａ3ｐａｐｃｐｄ≥ (8ｒ4Ｒ2 ｒ ｒ) 2 . ( )证明 :由算术———几何平均不等式 ,ｐｂｐｃｐｄ≤ [13 (ｐｂ ｐｃ ｐｄ) ]3 =(ｐ ａ3 ) 3 ,∴ ( )式左端≥ (3ａｐ ａ) 3 .由不等式1ｎ ｎｉ=1ｘｉｍ≥ (1ｎ ｎｉ=1ｘｉ) ｍ　 (ｘｉ∈Ｒ ) ,得 (3ａｐ ａ) 3 ≥ 2 7× 4[14 ａｐ ａ]3=2 71 6( ａｐ ａ) 3 .在柯西不等式 ａｋｂｋ≤ ( ａｋ2 ｂｋ2 ) 12 　 (ａｋ,ｂ…     

双圆四边形的一个性质

如图,双圆四边形ABCD的内切圆⊙I（r）与各边切点A1,B1,C1,D1称为内切点;其四个旁切圆⊙Ii（ri）（i=1,2,3,4）切各边的切点A2,B2,C2,D2称为外切点．     

涉及两个双圆四边形的不等式

在△ABC和△A′B′C′中,有如下的不等式1/aa′+1/bb′+1/cc′≥1/RR′　　　(1)其中a、b、c、R,a′、b′、c′、R′分别为△ABC和△A′B′C′的三边和外接圆半径,等号成立当且仅当a=b=c且a′=b′=c′。本文将其推广到双圆四边形(即既有外接圆又有内切圆的四边形),并给出几个猜想。定理　设双圆四边形ABCD、A′B′C′D′的边分别为a、b、c、d,a′、b′、c′、d′。它们的外接圆半径为分别为R、R′,则1/aa′+1/bb′+1/cc′+1/dd′≥2/RR′　　　(2)等号成立当且仅当a=b=c=d且a′=b′=c′=d′证明:首先我们有a2+b2+c2+d2≤8R2　　…     

谈双圆四边形的一个性质

《数学教学》2001年第6期的数学问题548是设△ABC的三边长为a,b,c,求证:b c a c a b a b ca b c+?++?++?>22.①《中学数学月刊》在2002年第11期第29页用换元法给出了其一简证,并在2003年第7期又给出了其一个类似.在△ABC中,三边长为a,b,c,求证:c a b a b c b c aa b c+?++?++?≤3.②笔者发现,在双圆四边形中也有定理在双圆四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,R、r表示其外接圆半径、内切圆半径,则42b c d a a c d ba b≤++?+++?+a b d c a b c dc d++?+++?4r r24R2r2≤r+?③证明记1()s=2a+b+c+d,由文[1]得abcd=(s?a)(s?b)(s?c)(s?d).…     

关于四边形的一个不等式

定理 设,,,abcd和S分别表示四边形的四边长和面积,,,,tuvw为正实数,则 44(1)(1)tuabuvwvwt 44(1)(1)vwcdwtutuv 216.3S ()* 当且仅当tuvw===且四边形为正方形时,上式等号成立. 证明 注意到,在边长给定的四边形中,以其内接于圆时的面     

探析四边形的一个不等式

在初中数学中,四边形是一个知识重点,在四边形中对于四边形变成和面积的考察越来越成为中考的重点,根据四边形的各个边长之间的性质,本次研究针对四边形中的不等式来进行研究和分析,通过四边形的性质和不等式的性质,在不等式和四边形的考试中建立考点,找到知识的重点,有针对性地对此类问题进行解决.     

成果集锦关于双圆四边形的一个猜想

成果集锦关于双圆四边形的一个猜想设双圆四边形内切、外接和其旁心四边形外接圆半径分别为ｒ、Ｒ和Ｒ０，文［１］猜想本文得到反向不等式：定理引理１［１］引理２［１］引理３两式相乘整理即得引理３．在引理３中，令ｔ＝，即得取ｆ（λ）＝左－右，由引理４知ｆ（λ）...     

双圆四边形的性质

<正>我们把既有内切圆又有外接圆的四边形称为双圆四边形,又称双心四边形.如图,凸四边形ABCD是双圆四边形,点O为其内切圆圆心,点E、F、G、H为切点,设内切圆的半径为R.S表示面积.性质1 AE·CG=BF·DH.证明连结OA、OC,因点E、G是切点,所以OE⊥AB,OG⊥CD,所以∠AEO=∠CGO=Rt∠,易证∠AOE=1/2∠EOH,∠OCG=1/2∠BCD,又∠BAD+∠EOH=180°,∠BAD+∠BCD=180°,所以∠EOH=∠BCD,所以∠AOE=∠OCG,所以△AOE∽     

关联四个圆的一个恒等式

文 [1 ]给出了关联三个圆的一个结论 :图 1命题　在圆内接四边形ABCD中 ,O、R分别是其外接圆的圆心和半径 ,I1、I2 分别是△ACD、△BCD的内切圆的圆心 ,r1、r2 分别是△ACD、△BCD的内切圆半径 ,O到I1、I2 的距离分别记为d1、d2 .则有R2 -d21r1=R2 -d22r2 .①本文将给出该命题的一个推广 ,得出涉及两个三角形、关联四个圆的一个恒等式 .命题　设△A1B1C1的外心为O1,内心为I1,外接圆半径为R1,内切圆半径为r1,O1I1=d1;△A2 B2 C2 的外心为O2 ,内心为I2 ,外接圆半径为R2 ,内切圆半径为r2 ,O2 I2=d2 .则有R21-d21R1r1=R22 -d2…     

关于凸四边形的一个不等式

证 如图,作CEBD,AFBD,连EF,则ACEF是平行四边形。则     

涉及四边形的一个新的不等式

在平行四边形ABCD中,有如下美妙的结论： AB^2＋BC^2＋CD^2＋DA^2=AC^2＋BD^2． 在一般四边形ABCD中,有如下不等式：     

双圆四边形的作图法

既有外接圆,又有内切圆的四边形,称为双圆四边形。关于双圆四边形有许多有趣的结论,可交给学生练习证明,以提高证题能力和深化对这类图形的理解。但学生们做这些题目时要遇到一个意想不到的困难:画不好一个一般的双圆四边形。为此,这里介绍笔者整理出的双圆四边形的两种作法,供同行们教学时参考:     

双圆四边形中R与r关系初探

既有外接圆又有内切圆的四边形叫双圆四边形 ,它有很多优美的性质和结论 ,它的边角关系已有文献进行过全面的探索。本文运用托勒密定理探求了双圆四边形外心到各边距离之和ｈ与外接圆半径Ｒ及内切圆半径ｒ之间关系 ,进而推导出Ｒ与ｒ的关系。1　双圆四边形中外心到各边的距离之     

圆内接四边形的一个性质

命题　圆内接四边形ABCD中,AD与BC交于点P,AC与BD交于点M,则PM2=PA·PD-AM·MC.证明:如图1,易知∠PMD>∠MBC=∠MAD.延长PM到H,联结AH,使∠PAH=∠DMP.则PDMPHA.于是,PDPH=PMPA,即　PA·PD=PM·PH.①又∠MPB=∠DMP-∠MBP=∠PAH-∠PAM=∠MAH,所以,A、H、C、P四点共圆,即有PM·     

双圆四边形布洛卡点的射影四边形的面积

定理 △和P分别为双圆四边形的面积和布洛卡点,记∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=a,     

双圆四边形又一面积公式

定理设双圆四边形ABCD的内心为I,面积为?.则?=IA?IC IB?ID.证明如图,设双圆四边形ABCD的四切点为E、F、G、H,内切圆半径为r.由A、B、C、D四点共圆知:9022A C=°,∴sin2A r=IA,cos A2=AIAE,sin2C r=IC,cos C2=CICG,∴r CG AE r1IA?IC IA?IC=,即r(C G AE)=IA?IC.(1)类似的,由9022B D=°得sin cos cos sin12222B D B D=,又sin2B r=IB,cos B2=EIBB,sin2D r=ID,cos D2=DIDG.∴r DG EB r1IB?ID IB?ID=,即r(DG EB)=IB?ID.(2)(1) (2)得r(C D AB)=IA?IC IB?ID,∴rP=IA?IC IB?ID,其中P=(AB BC C…