例说运用函数证明不等式

函数是联系有关变量的有力工具,解题时若能恰到好处地引入它,会对我们的解题带来很大帮助。下面结合具体例子,说明如何引入函数证明不等式．     

高屋建瓴——竞赛不等式中的高观点方法(高二、高三)

随着导数、向量、概率等内容被引入新教材,一些重要的高等数学思想方法也逐渐渗透到高中数学,给我们处理一些初等问题带来了新的思路．本文说明:以高观点方法研究竞赛中的不等式证明问题,将会起到高屋建瓴,事半功倍的效果．     

引入参数巧证不等式

在证明不等式 F(x_1,x_2,…,x_n)≥N(或≤N) (1)(N为常数)的过程中,有时适当引入某个参数λ,将不等式(1)的证明转化为证明不等式 G(x_1,x_2,…,x_n,λ)≥M(λ)(或≤M(λ))。 (2)而不等式(2)的证明较不等式(1)容易,且两个不等式等号成立的条件一致,利用这一点求出参数λ,进而得出不等式(1)的证明。下面举3例说明。     

例说一个恒等式在不等式证明中的应用

本文先引入一恒等式,然后列举典型例题,来说明这个恒等式在不等式证明中的广泛应用.     

也谈引入参数巧证不等式

读张必华老师《引入参数巧证不等式》一文(见本刊1994年第2期)颇受启发。本文建立一个含参数的不等式,并以原文三道例题为例,说明其应用。     

例说柯西不等式在三角中的应用

<正>高中数学教材中虽然没有引入柯西不等式,但在数学解题,特别是在数学竞赛中,柯西不等式却有着广泛的应用,它是解决许多数学问题的有力工具,同学们应该掌握.以下略举几例说明柯西不等式在解三角函数问题中的一些应用.     

形数结合解有关不等式问题

解不等式,证明不等式,学生普遍感到困难,尤其解含参数的不等式更觉得无从下手.如果把不等式与函数图象或解析几何中曲线图形结合起来考虑,就会容易多了.下面略举几例加以说明:     

“待定系数法”在解证不等式问题中的应用

“待定系数法”是指对于有些具有某种确定形式的数学问题,可以引入一些待定的系数,利用已知条件列出含有待定系数的方程（或方程组）来解决．笔者深受文[1]、[2]的启发,归纳了利用一些重要不等式（如均值不等式、柯西不等式等）解证有关不等式时巧妙利用“待定系数法”,化解难点的方法．下以数例予以说明．     

构造齐次式,妙证不等式

在一个不等式中,如果各项的次数相同,我们称之为齐次不等式,由于齐次不等式结构上对称、简洁、因而处理起来更容易、更有规律,另外,很多重要的不等式,例如均值不等式、柯西不等式都是齐次不等式,所以在证明一些带条件的非齐次不等式时,如果能借助条件对原不等式进行恒等变形,将非齐次不等式转化为齐次不等式来处理,往往会产生出奇制胜的效果.下面举例进行说明.例1已知x?y?z?1,证明:2 2 21     

不等式中恒成立问题的求参方法

在不等式的综合题中,经常会遇到一类不等式恒成立时求参数范围的问题,很多同学碰到这类题目,常会感到束手无策,本文试通过例题来说明此类问题的常用解法。     

介值定理在不等式教学中的应用

在高考数学中,有关不等式的考查,主要是不等式的求解,在竞赛数学中也常见不等式的求解问题,诚然不等式的解法有多种形式,如：公式法、定义法、数形结合法、转化化归等等方法,而对于高次不等式或特殊结构的不等式的解法,主要是以“序轴法”为主,而“序轴法”解不等式的理论依据就是介值定理。本文以几个例子的求解来说明其在解不等式方面的操作步骤。     

例谈引入参数求函数最值问题

利用基本不等式及其变形求函数的最值问题在高考和各类数学竞赛中经常出现,然而解题过程常因等号取不到或放缩后式子的另一端不是定值而失败.通过先引入参数再用待定系数法求解是一种十分有效的方法.下面举数例说明并予     

柯西不等式，露出你的头角来

柯西不等式是新课标教材选修模块中的新增内容,以柯西不等式为背景的试题已悄然地在高考试卷中出现．在解题中若能灵活地应用柯西不等式求解,则会使思路简捷明快,新颖别致．下面试举几例,以示说明．     

与一元二次不等式有关的三类问题

不等式是高中数学中的重要内容,它种类繁多,方法各异,是学习中的一个难点。而一元二次不等式是不等式中最基本的一类,是不等式中的重中之重,也是我们学好不等式的基础。对于一元二次不等式,我们不仅要会解,还要会用会想。     

等号的提示作用

在证明某些不等式的时候若能充分注重等号成立的条件,会使不等式的证明方向明了,达到化难为易,化繁为简之目的,下面列举数例,试图说明等号在某些不等式证明中的提示作用,不当之处,望批评指正。本文所用的字母凡来注明的都为正数     

与一元二次不等式有关的三类问题

不等式是高中数学中的重要内容,它种类繁多,方法各异,是学习中的一个难点．而一元二次不等式是不等式中最基本的一类,是不等式中的重中之重,也是我们学好不等式的基础．对于一元二次不等式,我们不仅要会解,还要会用会想．     

和一元二次不等式有关的三类问题

不等式是高中数学中的重要内容,它种类繁多,方法各异,是学习中的一个难点.而一元二次不等式是不等式中最基本的一类,是不等式中的重中之重,也是我们学好不等式的基础知识.对于一元二次不等式,我们不仅要会解,还要会用会想.     

基本不等式的七大对偶应用技巧

本文运用大量的例题详细而全面地总结了基本不等式的应用技巧．希望通过这些基本不等式的应用技巧来说明公式的应用是全方位的、立体的。     

用不等式(组)解实际问题

不少学生由于习惯于列方程解应用题,遇到实际问题中的不等量关系不大会处理,其实列不等式和列方程解应用题相类似,首先要正确设未知数,然后根据题设条件中的不等量关系,列出不等式(组),解这个不等式(或不等式组),再根据未知数的实际意义,有的需要取不等式(组)的整数解,才能得到应用题的解。现以近年中考试卷中有关试题为例来说明。     

与一元二次不等式有关的三类问题

一元二次不等式是不等式中最基本最重要的一类不等式.对于一元二次不等式,我们不仅要会解,还要会用会想.一、探求解,明确解题思路解一元二次不等式是学好不等式的基础,而含参数的一元二次不等式又是难点.可以把这类不等式的解题思路归纳为下面三步曲:求出根,比大小.看图象.例1 解关于 x 的不等式 x~2-(a+a~2)x+a~3<0