相交圆中的一个轨迹问题及其推广

<正>1从一道简单的轨迹题说起平面几何中有一道常见的轨迹题:命题1如图1,⊙O₁与⊙O₂相切.过切点P作动直线l,l与两圆的另一个交点分别是E、F,则线段EF的中点M的轨迹是以O₁O₂的中点O₃为圆心且过切点P的圆.注:直线l取两圆过切点的公切线时E、F与P重合.     

一个重要轨迹的证明及推广

我们知道,正多边形外接圆上任意一点,到各顶点的距离平方之和为定值。那么,其内切圆上的任意点是否如此？其它国是否如此？其逆命题又如何？本文将通过一个轨迹问题,给出上面诸问的一般结论。定理1：平面内到n个定点的距离平方之和为定值的点的轨迹是四。证明：没坐标平面xoy内的n个定点为Al（xi,yi）（i=1,2…n）动点P（x,y）到各点的距离平方和为a2,即,则配方整理为：注意到该n个点集的重心G的坐标是②式中右端的各项均为定值,故P点的轨迹是个国（也可能是点回或虚圆）。其圆心是该点集的重心。证毕。特别地,若选择点集的重…     

一个轨迹问题的引申

引例：若动点P到点F（1,0）的距离比到直线l：x=-2的距离小1,求点P的轨迹.这是我们耳熟能详的一个问题.它主要考查抛物线的定义,依题意,点P到点F的距离与到直线n：x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以点F（1,0）为焦点,直线n：x=-1为准线的抛物线,易求得点P的轨迹方程为y~2=4x.下面,笔者对该问题作如下几点引申,以供大家教学参考.     

正方形的一个轨迹问题

2000年国家集训队测验题:△ABC是正三角形,在此三角形内部求满足∠QAB+∠QBC+∠QCA=90°的点Q的轨迹.其轨迹是△ABC的三条高.我们进一步探讨:问题四边形ABCD是正方形,在此正方形内部求满足∠QAB+∠QBC+∠QCD+∠QDA=180°的点Q的轨迹.     

一个问题的推广

1问题的提出问题1526:△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.D、E、F分别是AB、AC、BC上的点.若△DEF为等腰直角三角形,且∠EDF=90°,求△DEF面积的最小值.《数学通报》2005年第1期给出了该问题的解答,本文对该问题进行推广,得到以下定理△ABC中,∠C=θ,BC=a,AC=b,AB=c.D是线段AB上的点,E、F分别是直线AC、BC上的点.若△DEF满足条件:DE∶DF=k(k为正常数),∠EDF=180°-θ,则△DEF面积的最小值是k8abcR(a kb)2sinθ(其中R是△ABC外接圆的半径).(1)当△ABC为锐角三角形时,如图,设∠FDB=α,则∠DFB=180°-(α B).由于…     

一个问题的推广

在文[1]中，何老师与学生一起，对一道习题进行了精彩的探索，充分激发了学生的学习兴趣，事实上，在课后的几天中。仍有学生在继续探索，并提出了如下颇具挑战性的问题：     

一个轨迹问题的解后反思

轨迹问题设PQ是椭圆x2a2 by22=1(a>b>0)的弦,且PQ与x轴垂直,A1,A2是椭圆的左右顶点,求直线PA1和QA2交点的轨迹.解:由题意不妨设P(x0,y0),Q(x0,-y0),又知A1(-a,0),A2(a,0),故得直线PA1,QA2方程是y=x0y 0a(x a)和y=x0--y0a(x-a),联立两式解得x0=ax2,y0=axy,因为点P(x0,y0)在椭圆a     

一个轨迹问题的求解方法

重庆市教师进修学院编的《数学复习资料》下册(一九八○届用)第517页例12是一个典型的轨迹问题: 对称轴平行于y轴,形状大小保持不变(即焦点到准线的距离p是常数)的抛物线开口向上。如果这抛物线的顶点在椭圆 x~2/a~2+y~2/b~2=1 上移动,(1)求抛物线焦点的轨迹;(2)若平行于直线x—y=d的直线与这抛物线相切,求切点的轨迹。《资料》中视抛物线顶点的纵坐标为参数,采用参数方程求解,显得有些累赘。事实上,若一动点M与在已知曲线上另一动点P保持了某种特定的关系,使得:P点的坐     

一个轨迹问题的解后反思

轨迹问题设PQ是椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1(a>b>0)的弦,且PQ与x轴垂直,A_1,A_2是椭圆的左右顶点,求直线PA_1和QA_2交点的轨迹.解:由题意不妨设P(x_0,y_0),Q(x_0,-y_0),又知A_1(-a,0),A_2(a,0),故得直     

一个定值问题的推广

<正>题目在平面直角坐标系x Oy中,直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得弦长为6~(1/2).(1)求圆O的方程.(2)若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于点D、E,当DE长最小时,求直线l的方程.(3)设M、P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N.若直线MP、NP分别交x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.     

一个最优化问题的推广

将Hausdorff拓扑空间X上的有界连续函数集合C（X）推广至有界上半连续函数集合，定义一个最优化问题，从而得到一个非线性问题解的通有唯一性。     

一个数学问题的推广

<数学通报>2005年8月号1570题为: 已知a、b、c∈R ,求证: a5/b3 a5/c3 c5/a3≥a4/b2 b4/c2 c4/a2≥a3/b b3/c c3/a≥a2 62 c2≥ab bc ca. 由于该题具有很好的轮换对称性,给人一种美的享受,因而笔者尝试推广.     

一个数学问题的推广

<数学通报>2002年11月1403号问题"x,y,z∈R+,且x4+y4+z4=1,求x3/1-x8+y3/1-y8+z3/1-z8的最小值",笔者读后,受益匪浅,感受颇多,此问题发散的诸多特殊情形经常在各类竞赛里出现,本文就此问题进行推广.     

一个数论问题的推广

文[1]给出如下一个数论问题: 设a、b、c、d、e是正整数,且a相似文献   

砝码问题的一个推广

砝码问题是一个古老的趣数学问题,最早是16世纪法国数学家德·梅齐里亚克提出来的(参看H.德里)。他指定天平的两个称盘分别为砝码盘和秤量盘,规定砝码盘上只能放砝码,称量盘上除放重物外还可以放砝码,德·梅齐里亚克给出了用归纳法构造砝码组的方法,可叙述成下列命题: 命题1.若a_0,a_1,…,a_x是砝码组,     

一个最优化问题的推广

将Hausdorff拓扑空间X上的有界连续函数集合C（X）推广至有界上半连续函数集合,定义一个最优化问题,从而得到一个非线性问题解的通有唯一性。     

一个面积问题的推广

有这样一道面积问题: 命题1:将任意四边形各边三等分,连接对相应的三等分点,试证:这些直线分四边形所成的九个小四边形中,中间的面积是原四边形面积的1/9。     

一个整除问题的推广

在中学数学中,有一道出现频率较高的习题:证明:(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n能被2~n整除(n∈N) 四川秦北波同志在《数学教学通讯》1991年第2期以“一个整除问题的精巧证明”为题给出了这一习题的一个精巧证明。下面利用费波那契数列的通项公式给出它的一个推广。命题: [2((1+(5~(1/2))/2)~(2k-1]~n+[2(1-(5~(1/2))/2)~(2k-1)]~n能被2~n整除[n∈N,k∈N)。证:(1)当k=1时,原命题变为:(1+5~(1/2))~n+(1-5~(1/2))~n能被2~n整除,此命题可用第二数学归纳法证。