和差代换之应用

某些高次、多元代数式．方程组的求值和求解问题不宜展开时,需进行适当的换元．一般地,当题目中出现或变形后出现x＋y,x^n＋y^n,xy,x^ny^n．…时,可设x=a＋b,y=a—b（a、b为实数）进行换元．     

＂变式＂与赛题

已知x,y都是正数,则在不等式x＋y≥2√xy两边同乘以√xy,得（x＋y）√xy≥2xy,对此式两边再同除以2（x＋y）,即得到一个不等式xy/x＋y≤√xy/2,     

运用对称式智取二次根式的求值问题

在含有两个字母x、y的多项式中,如果同时以x代替y,y代替x后,得到的多项式与原来的多项式完全相同,那么称这个多项式是关于x、y的对称多项式.容易发现关于x、y的对称多项式都可以表示成关于x+y和xy的式子,如x2+y2=(x+y)2-2xy、y x+x y=x2+y2xy=(x+y)2-2xy xy等等,利用对称多项式这一性质,我们可以智取二次根式的有关求值问题.例1.已知x=3姨+1、y=姨3-1,求x2+2xy+y2的值.分析:如果直接将x、y的值代入计算     

根式运算中的常值换元技巧

在根式的化简、求值运算中．若根据数字特征作灵活代换．往往使问题巧妙获解．现举例说明例1化简（1992年山东省初中教学竞赛题）例2（1992年“勤奋杯”全国数学邀请赛初二试题）解发设解设，则xy＝1.∴原式＝（x3＋y3）＋（x＋y）－（x－y）2＝（x2－xy＋y2）－（x－y）2＝xy＝1例4　　　化简的结果是．（1991年湖北黄冈地区初中数学竞赛题）（答案：1．－9；2.选择（C））（1994年《祖冲之杯》数学邀请赛初二试题）根式运算中的常值换元技巧@雷力智$吉林通榆县七中@司秀珍$吉林通榆县七中…     

应用对称式求分式值

当题目中的未知数具有对称关系时,应用基本对称式：x＋y=a,xy=b,进行替换,可使解题过程简化．现以部分竞赛题为例,介绍这种解题技巧在求分式值中的妙用．     

一道德国奥林匹克赛题的再探究

文献[1]中着重研讨了式（1）解法的思维形成过程，与学生的思维有较大差距．下面是笔者的思路和想法，请广大师生批评指正．1解法探究笔者利用二次函数的恒等问题尝试求解这道赛题：解式（1）→（1＋x2）（1＋y2）＋2xy－（xy）2≤c（1＋x2）（1＋y2）→2xy－（xy）2≤（c－1）（1＋x2）（1＋Y2）．因为式（2）的左边可以取正值，所以c〉1．     

巧妙变形 整体代入

代数式的求值问题是各类竞赛中的常见题型，其基本方法是代入法．灵活、恰当地变形，巧妙地进行整体代入，既是一种重要的解题思想，又是一种化难为易的解题技巧．下面以一些竞赛题为例加以说明．例１已知x２＋xy＝３，xy＋y２＝－２，则２x２－xy－３y２＝（）．（２００１年湖北初中数学竞赛试题）解：∵x２＋xy＝３，xy＋y２＝－２，∴２x２－xy－３y２＝２（x２＋xy）－３（xy＋y２）＝６＋６＝１２．例２已知x２－x－１＝０，则x３－２x＋１的值是（）．（２００１年香港初中数学竞赛试题）解：∵x２－x－１＝０，∴x２＝x＋１，则x３…     

最值定理的引申及应用

最值定理是指：设x,y都为正数,则有①若x＋Y=S（和为定值）,则当且仅当x=y时,积xy取得最大值等;②若xy=P（积为定值）,则当且仅当x：y时,和x＋y取得最小值2√P.     

三道国家集训队试题的简解

题1设x、y、z〉0，x＋y＋z=1．求证： xy/√xy＋yz＋y^2/√yz＋zx＋zx/√zx＋xy≤√2/2.①     

解答解析几何题的对称元分析法

所谓对称元分析法。是指在研究问题的过程中,要对称地看待P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,不要孤立地看待和分析x1,x2,y1,y2等参数,要始终把x1＋x2,y1＋y2,x1x2,y1y2分别看成一个整体、一个变量（并称它们为对称元）,并以这些对称元为线索和主元进行思考、分析和运算的方法．     

错在哪里？

1 陕西师范大学附中 申祝平 （邮编：710061） 题设z、Y∈R,且2x^2＋3xy十2y^2=1,试求xy＋x＋y的取值范围．解命S=xy,t=x＋y,u=xy＋x＋y=s＋t,则有2x^2＋3xy＋2y^2=1→2t^2-s=1.u=s＋t=st^2＋t-1=2（t＋1/4）^2-9/8.故xy＋x＋y的取值范围为[-9/8,＋∞）．解答错了!错在哪里？ 错解 求函数u=2（t＋1/4）^2-9/8的值域时,没有考虑自变量t（即x＋y）的聚会范围!     

判别式的几种用法

1．用于求值 例1 求满足5x2=12xy＋8y2-4x＋4y＋1=0的实数x和y的值．     

探究：在细节中萌生

笔者在阅读文[1]时,看到第205页上有如下问题：问题如果3个实数x、y、z满足x-y/1＋xy＋y-z/1＋yz＋z-x/1＋zx=0,那么,三数x、y、z之间会有什么关系？试证明你的结论.探究1在原文中,其解答利用了构造函数的办法,似乎难以想到．从题目的表面式看,它外形对称、和谐,给人以美的感受．     

值为“0”的代数式作条件的求值问题

例1 若x,y满足（x＋2y-2）（3x＋2y＋2）＋2（x^2＋4）=0,求xy的值． 分析 由原式得 5x^2＋8xy＋4y^2-4x＋4 = 0,     

一道源于希望杯的高考题

题目 设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy=1，则2x＋y最大值为——．     

妙在换元

换元法是数学中重要的解题方法,对于一些较繁难的数学问题,用常规解法,或是无从下手,或是解题过程异常繁杂。这时,若能根据问题的特点,进行巧妙的换元,往往可以化繁为简,化难为易,收到事半功倍的功效。例题1 :分解因式(x y) (x y- 2 xy) (xy 1 ) (xy-1 )分析:式中x y,xy反复出现,按常规解法,则很繁且分解较难,若用两个新字母分别代替,则可达到化繁为简的目的,妙不可言。解:设x y=a,xy=b,则原式=a(a- 2 b) (b 1 ) (b- 1 )=a2 - 2 ab b2 - 1=(a- b) 2 - 1 2 =(a- b 1 ) (a- b- 1 )把a=x y,b=xy代回原式得原式=(x y- xy 1 ) (x y- xy- 1 )=(…     

请欣赏此题的解法

题目 设x,y为实数,若4x2＋y2＋xy=1,则2x＋y的最大值是——．（2011年浙江卷）     

配方法的应用

一、用于因式分解例１在实数范围内分解因式２x２－８x－６＝．解：２x２－８x－６＝２（x２－４x－３）＝２（x２－４x＋４－７）＝２〔（x－２）２－（７√）２〕＝２（x－２＋７√）（x－２－７√）．二、用于化简例２化简x－yx√＋y√－x＋y＋２xy√√．解：原式＝（x√）２－（y√）２x√＋y√－（x√）２＋２xy√＋（y√）２√＝（x√＋y√）（x√－y√）x√＋y√－（x√＋y√）２√＝（x√－y√）－（x√＋y√）＝－２y√．三、用于求代数式的值例３已知x＝３√－２√３√＋２√，y＝３√＋２√３√－２√，求代数式３x２－５xy＋３y…     

2011年浙江理科16题解法点评

题目 （浙江省2011年高考数学理科16题）设实数x,y满足4x2＋xy＋y2=1,则2x＋y的最大值是——．     

多角度剖析一道高考最值题

题目（2011年高考浙江卷文（16）题）若实数x,y满足x2＋y2＋xy=1,则x＋y的最大值是_____．