一个重要的图形——由直角三角形及其斜边上的高组成的图形

如图,Rt△ABC斜边上的高CD将此三角形分为两个三角形:△CDA、△CDB。我们熟知△ACD∽△CDB∽△ACB 设AC=b,CB=a,AB=c,AC=p,DB=q,CD=h,∠ACD=∠B=β,∠BCD=∠A=α,由勾股定理、面积公式、锐角三角函数的定义,Rt△中的射影定理等可知,在上面八个元素中(其中至少一条线段)任意知道二个元素可求出其余六个元素     

焦耳定律的理解和应用

正确理解和使用焦耳定律焦耳定律是定量研究电流通过导体时将电能转换为内能的定律.焦耳定律数学表达式为Q=I~2Rt,导出公式有Q=UIt和Q=U~2/Rt.导出公式中前式为普遍适用公式,后式仅适用于纯电阻电路.需要说明的是,Q=U~2/Rt和Q=UIt     

相似三角形的应用

相似三角形应用广泛,尤其在计算方面有它的独到之处,它常起到几何与代数之间相互沟通的桥梁作用。现举例如下:一、利用相似形求线段的长例1(如图1)在△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,若DE⊥AE,∠ADC=45°,DE∶AE=1∶5,BE=3,求△ABD的面积。解:在Rt△DEA中,设DE=x,则AE=5xAD=(5x)2+x樤2=樤26x在Rt△ADC中,∵∠ADC=45°,∴AC=DC=樤22AD=樤13x在Rt△BDE中,BD=32+x樤2=9+x樤2在Rt△BDE和Rt△BAC中,∠DBE=∠ABC则Rt△BDE∽Rt△BAC∴DEAC=BDBA,即x樤13x=9+x樤23+5x解得x1=2,x2=-92(x不能为负数,∴x2不合题意舍去)…     

三角形面积公式的一种新的证明

本文利用一个三角恒等式证明三角形的面积公式b,c为△ABC的三边长,p=1/2(a+b+c)是半周长,S是面积. 证明:如图1,⊙I是△ABC的内切圆,半径为r.在Rt△IFA中.tan A/2=IF/FA=r/(p-a)同理tanC/2=r/(p-b), tanC/2=r/(p-c). 证明中要用到三角恒等式tanA/2·tanB/2     

三角形的“四心”

一、选择题1.设O、H分别为RtΔABC的外心和垂心,且OH=d,则RtΔABC面积的最大值为( )。     

每期一题

粗在△ABC中,AB>AC,匕A的一个外角的平分线交△ABC的外接圆于点尸,过尸作尸Q土AB,垂足为O。求证:2刁O=AB一AC。 (1989年全国高中数学联合竞赛试题第二试第一题) 证明一如图,作尸R土CA的延长线于R,连结尸B、尸C。‘:乙1=乙2,尸A公共,.’. Rt△尸O月丝Rt△PRA,.’. AO二AR,尸O二尸R。又乙3=匕4,:.Rt△尸QB丝Rt△尸RC,:’ BQ=CR,.’. AB~AF== AC十A刀,.’.刁B一AC=AO+_了月二竺J Q.、 证明二.如图,在QB上取QR=Q月,连结PR、PB和PC。 易知Rt△尸OR 丝Rt△尸OA,.’.尸R==尸只,艺3=乙1。在△尸AC和△Pl\)厅,朴,,…     

由一个简单图形构造的若干命题

在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,O_1,O_2分别为Rt△ACD和Rt△CDB的内心(如图1)。 这是一个简单图形,它有较多有趣的性质。 性质1 在图1中连CO_1,CO_2(如图2),则∠O_1C)_2=45°。 证略。 性质2 在图1中,设CO_1,CO_2分别交AB于P,Q(如图3),则AQ=AC,PB=CB。 证明 如图3,由CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,有∠DCB=∠A,∠ACD=     

构造直角三角形解竞赛题

四川省1988年数学联赛有一题:设m,n,P为正实数,且m“十n“一P“=O,求解的最小值. 因正实数。,,:,P满足m“ ,z“=PZ,则,: :=了丽十万乏>训采万而厄=p,故长为,,,,,乡的线段可构造Rt△ABe:Ae=二,BC=”,AB二P.脚 儿 P脚 儿二cosA十sinA成了丁,等式当且仅当m=邓寸成立.故叮为所求. Z     

平行四边形的又一性质及应用

如图, ABCD的邻边为a,b,对角线为m,n,求证:m2 n2=2(a2 b2). 证明:如图,分别竹:DE⊥AB,CF⊥AB,垂足为E,F,易证Rt △DAE≌Rt△CBF,∴AE=BF,由勾股定理得DE2=b2-AE2=CF2     

勾股定理与面积公式的完美结合

设Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,记三角形的半周长为p,即p=12(a b c),△ABC的面积为S,则由勾股定理及直角三角形面积公式,可得S=p(p-c)=(p-a)(p-b).(*)公式(*)成立的理由是:S=21ab=41×([a b)2-(a2 b2)]=41[a b)2-c2]=14(a b c)(a b-c)=41×2p×2(p-c)=p(p-c);另一方面,由海伦公式S=#p(p-a)(p-b)(p-c)得S2=(p-a)(p-b)(p-c)=S(p-a)(p-b),故S=(p-a)(p-b).公式(*)结构和谐优美,简单易记,与海伦公式相比较体现了直角三角形的特殊性,在解直角三角形有关问题时,运用公式(*)别具一格,富有情趣。例1已知直角三角形…     

数学问题与解答

666．在Rt△ABC中,CD是斜边上的高,记 I1、I2、I分别是△ADC、△BCD、△ABC的内心,I在AB上的射影为O1,∠CAB、∠ABC 的平分线分别交BC、AC于P、Q,PQ的连线与CD相交于O2．求证:四边形I1O1I2O2为正方形．证:如图1,不妨设BC≥AC．由题设,有 Rt△ADC∽ Rt△CDB,所以AC/BC=I1D/I2D,又∠I1DI2=90°=∠ACB,从而Rt△DI1I2∽ Rt△CAB,∠I2I1D=∠CAB…………………①     

一道数学竞赛题的多种解法

(1999年山东省初中数学竞赛)如图1,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,P是AD的中点,连结BP并延长交AC于E,已知AC：AB=R．求AE：EC．分析：由已知AC：AB=R,可求出BD：DC的值．根据Rt△ABD∽Rt△CBA,Rt△CAD∽Rt△CBA,可得AB2=BD·BC,AC~2=DC·BC,从而求得(BD)/(DC)=(AB~2)/(AC~2)=1/R~2,所以(BD)/(BC)=1/(1+R~2),然后再求AE：CE的值．我们知道要求比值,一般需借助于平行线,     

电功电热题例析

做功的过程总对应着能量的转化从能的转化和守恒的角度来看,做电功的过程是电能转化为其他形式能的过程,并且消耗多少电能,就能获得多少其他形式的能结合欧姆定律导出W=I2Rt、W=UR2t这两个公式只适用于电能完全转化为内能而没有电能转化为其他形式能的用电器(即“纯粹电阻”电路)的电功的计算当电流通过电阻时产生的热量为Q=I2Rt,而当电能完全转化为内能时,电功等于电热,即Q=W=UR2t=I2Rt=UQ=Pt例1电炉丝通电后热得发红,而跟电炉丝连接的铜导线却不怎么热,这是因为()A通过电炉丝的电流比通过铜导线的电流大B#铜导线的电阻小,因而产生…     

用方程解比例线段的计算问题

例 1 .已知 :如图 1 ,正方形 ABCD的边长是1 ,P是 CD边的中点 ,点Q在线段 BC上 ,当 BQ为何值时 ,三角形 ADP与三角形 QCP相似 ?(2 0 0 2年云南曲靖市中考题 )分析 :设 BQ=x,则两直角三角形相似有两种可能 :(1 )当 Rt△ADP∽ Rt△QCP时 ,有 ADQC=PDPC;(2 )当 Rt△ ADP∽ Rt△ PC     

初三第一学期期末几何质量检测题

一、填空题(每空4分,共40分) 1.Rt△AB~:中,口:3,么A=2么B.贝Ⅱ6=——.2.sin30。 cos60。 tg45。=——.3.正三角形的内切圆与外接圆面积之比为4.已知oO的直径AB=10,P是OA上一点,弦MN过点P,且.AP=2.MP:2√2.则弦心距0Q=——. 5.如图,两个以0为圆心的同心圆,AB切大圆于B,AC切小圆于C,交大圆于D、E.AB:6cm,AO=10em,AD:3cm,则小圆半径为 6.如图,PA,PB是00的切线,切点为A、B.已知么P=‘ p30。.则么AOB: ’ ^ 7.已知Rt△AB(:中,口=8,sinB={.则 J这个直角三角形外接圆半径是——. 8,若△AB(:的内心为f,么A=15。.那么,么BIC=…     

解答含电动机电路的思维方法

电动机俗称“马达”，是把电能转化为机械能的机器．从能量的角度来看，电流通过电动机，电流做功为W=UIt，由此减少的电能△E=UIt．电能中有小部分通过电阻热损耗转变为内能Q=I^2Rt（焦耳定律），还有大部分转化为机械能对外输出．由能量转化和守恒定律有UIt=I^2Rt＋△E机，或功率表达式P电=P损＋P出．不难看出电功UIt〉电热I^2Rt．化简得U〉IR，即U≠IR．可见部分电路欧姆定律在电动机这类非纯电阻电路中不再适用，这往往成为学生解决含电动机电路问题的思维障碍．下面举例说明解答含电动机电路问题的思维方法．     

怎么会多出了一块?(初一、初二、初三)

题如图,Rt△ABC中,∠A=90°,将其分成如图所示的四块,并进行重新组合,得到一个同样的Rt△,可是,怎么会多出了一块正方形(图中正方形小格边长为1)?     

动点与最值

例1如 图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为BC边上的一个动点,     

锐角三角函数常见错误例析

正在锐角三角函数中,涉及的概念较多,同学们要避免以下错误.一、概念不清例1把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′,那么锐角A,A′的余弦值的关系为().A.cosA=cosA′B.cosA=3cosA′C.3cosA=cosA′D.不能确定     

巧构Rt△求解梯形问题

求解梯形的方法和思路很多,其中利用题设中特殊的已知条件,合理构造Rt△是解决某些梯形问题的有效途径．请看以下几例．一、求腰的长例1 如图1,梯形 ABCD中,AB∥CD,AB= 8,CD=20,∠C=30°, ∠D=60°．求腰BC的长．简析:由∠C+∠D= 90°,联想到Rt△的两锐角互余,可考虑构造 Rt△DCE来解决．