不等式(a b)/2≥ab~(1/2)(a,b∈R~ )的几种巧妙证法

不等式a b/2≥ab~(1/2)(a,b∈R )是中学数学重要不等式之一.其应用广泛,技巧性强,加强这一不等式的教学,对提高学生的分析问题、综合应用知识的证题能力和创造思维能力,以及诱发学生对数学的美感,增长他们创造数学美的能力是大有好处的.本文从不同的角度给出这一不等式的几种证法,以供参考. 定理如果a,b∈R ,那么a b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号). 证法一:(用二次根式的性质证) 当a≠b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2>0; 当a=b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2=0. 故(a~(1/2)-b~(1/2))~2≥0. 即a b-2ab(1/2)≥0. 故a b/2≥ab~(1/2). 证法二:(用面积证)如图1所示, 当 a≠b 时,S_(正方形ABCD)>4S_(矩形AB_1C_1D_1); 当a=b时,S_(正方形ABCD)=4S_(矩形AB_1C_1D_1), 故 S_(正方形ABCD)≥4S_(矩形AB_1C_1D_1) (a b)~2≥4aba b/2≥ab~(1/2).     

不等式(a~2 b~2)/2≥((a b)/2)~2 的推广及应用

不等式ａ２＋ｂ２２≥（ａ＋ｂ２）２的推广及应用甘肃省平凉师范宋灵宇现行高级中学课本《代数》下册Ｐ．１５第１１题给出不等式（ａ＋ｂ２）２≤ａ２＋ｂ２２．利用该不等式可以简捷巧妙地解答其它一些不等式问题．本文简单介绍它的应用及推广，供大家在教学中参考．一...     

浅谈利用a b≥2(ab)~(1/2)(a、b∈R~ )求最值

不等式a b≥2ab(a、b∈R )(当且仅当a=b时等号成立)a b2≥ab(a、b∈R )(当且仅当a=b是等号成立),其中a b2、ab分别是a与b的算术平均数、几何平均数,故简称其为“均值”不等式或“均值”定理.另外均值不等式可推广为三个(或多个)变元的形式,即:a b c≥33abc(a、b、c∈R )(当且仅当a=b=c时等号成立)a1 a2 a3 … an≥na1a2a3…an(a1,a2,a3,…,an∈R )(当且仅当a1=a2=a3=…=an时等号成立)均值不等式的功能除用于比较数的大小及证明不等式外,主要用于求函数的最值,在使用均值不等式求最值时必须具有三个缺一不可条件,即为:一正:诸元皆正;二定:…     

不等式a+b/2≥(ab)~(1/2)(a,b∈R~+)的几何意义

中学数学教学大纲指出:“数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。”数与形是数学研究的两个重要侧面,它们之间相互渗透、相互转化。六年制重点中学高中数学课本代数第二册P87推论“如果a,b∈R~+,那么(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号)。”此不等式有很多几何意义,本文提供的各种几何意义若能使学生理解,那么无疑会有助于我们综合运用中学数学知识能力的提高。 (1)取直线AMB,设AM=a,MB=b,以AB为直径作⊙O,其圆心为O,连结ACBC,由射影定理知CM~2=AM·MB,即CM~2=abCM=(ab)~(1/2),由于在圆内直径是最大     

不等式(a~2+b~2)/2>((a+b)/2)~2的推广与应用

本文以熟知的不等式(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2(统编高中《数学》第三册66页习题三第5题(3))为例,谈谈它的推广与应用。 (一) 不等式半(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2的证明非常容易(略),细心观察其两边的结构特征,可以联想到三个实数的平方的算术平均数不小于这三个实数的算术平均数的平方,进一步还可猜想到n个实数的平方的算术平均数的一般情形,进而通过证明得出以下几个推论:     

利用“b~2/a+a≥2b(a,b∈R~+)”巧解几道国际竞赛题

不等式证明是竞赛题中的重点和难点。本文针对几道国际竞赛题的特殊形式,通过添项变形利用b~2/a+a≥2b(a,b∈R~+)这一简捷不等式给出巧妙解法。     

不等式“α^2/b≥2λα-λ^2b（α,b∈R^＋）”的应用

在数学竞赛和数学杂志中，常常可以看到一些高难度的分式不等式的证明问题．我们通常用柯西不等式推论证明，然而若用“α^2/b≥2λα-λ^2b（α,b∈R^＋）”来证明，则可以得到一种统一的解法且简单易行，还能解决更多的分式不等式的试题．下面举例说明．     

不等式(a+b)/2≥(ab)~(1/2)的应用

本文提供了若干关于不等式a+b╱2≥(ab)~(1╱2)在代数、几何、三角及分析方面应用的例子,特别是介绍了由上述不等式推得的其它一些不等式的应用,这些结果对于求解某些多元函数条件极值问题是很有用的。     

利用a~2≥2a-1证明竞赛不等式(高二、高三)

证明不等式是数学竞赛中的热点,因此研究不等式的证明方法也是研究数学竞赛的重点内容之一. 本文通过利用基本不等式a2≥2n-1,当且仅当a=1时取等号,以及其推广来解决数学竞赛中一类不等式的证明问题.这种方法简捷、易于操作,且具有一般性,但运用时要注意等号成立的条件.下面举例说明. 例1 设x1,x2,…,xn∈R ,求证(x12)/x2 (x22)/x3 … (xn-12)/xn xn2/x1≥x1 x2 … xn.     

不等式“(a─b)~2≥0”在物理解题中的妙用

１不等式“（ａ—ｂ）２≥０”直接在解题中应用 ［例１］如图１所示，电阻 ｒ１≠ ｒ２，当 Ｓ断开时， ａ、 ｂ两点间的总电阻力 Ｒ１；当 Ｓ闭合时，ａ、ｂ两点间的总电阻力Ｒ２．则有： （Ａ）Ｒ１＞Ｒ２． （Ｂ）Ｒ１＜Ｒ２． （Ｃ）Ｒ１＝Ｒ２．（Ｄ）无法确定． 解：当Ｓ断开时，ｒ１与ｒ２先串联后再相互并联，Ｒ１当 Ｓ闭合时，ｒ１与ｒ２先并联后再串联， Ｒ２＝作 Ｒ１、Ｒ２的差：故有Ｒ１＞Ｒ２，答案为Ａ．２不等式“（ａ—ｂ）２≥０”经变形为ａ２＋ｂ２≥２ａｂ后再加以应用 ［例２］如图２所示，一根长４ｍ的木杆，下端用…     

不等式(a b)/2≥ab~(1/2)与函数最值

利用不等式(a b)/2≥ab~(1/2)求函数最值,必须注意等式成立的条件,否则可得出错误的结果。兹举例如下: 例过点(1,4)作一直线,使在二坐标轴上的截距为正且其和最小,求直线方程。 <错解> 设直线方程为y=k(x-1) 4,则k<0。截距a=1-4/k,b=4-k,及-k均大于0,由不等式     

基本不等式(ab)~(1/2)≤(a+b)/2

《基本不等式》这节课主要研究从代数和几何两方面探究基本不等式的证明过程,体会数形结合,提高论证能力,提升数学素养。     

(a+b)~2≠a~2+b~2,为什么

上面这个错误的等式是显而易见的.但在学习了这部分知识后,在利用乘法公式的计算中,有些同学却屡改屡犯,这是为什么呢?可能是老师在给这部分学生纠正错误时,只注重了从表面或运算结果的角度去分析,而忽略了从"学生的学习心理"方面去分析问题.同学们可能会这样想:     

浅谈(a~2+b~2)/2≥[(a+b)/2]~2的证明

(a2+b2)/2≥((a+b)/2)~2(人教版第二册第11页第1题)是一个很重要的不等式,证明它有很多方法,用它可以求某些式子的最值,并且可以证明一些不等式,下面给出几种有关它的证明方法以及它的一些应用.     

不等式((a b)/2)≥(ab)~(1/2)的推广

不等式的证明中学生一般感到较为困难,其原因是题目变化较多,技巧多样,方法灵活,难度较高。但是仔细研究可以发现众多的题目可以由少数的基本不等式引伸而出,不少题目是同出一源。如果能适当归类,就能举一反三。现仅就一类有关“平均值”的不等式的证明作一简单的讨论和推广。 在现行统编高中数学教材第三册第二章证明了定理:如果a,b是实数,那么a~2 b~2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)和它的推论:如果a,b都是正数,那么     

不等式((a b)/2)≥(ab)~(1/2)的应用及推广

在中学数学课程中讲授不等式的证明时,曾引进了一个重要的不等式:当且仅当a=b时等号成立。这个不等式在证明其他绝对不等式,特别是在解一些求最大值和最小值问题中,都有着重要的应用。使学生理解这一不等式的意义、推导方法以及灵活地应用它来解某些有关问题是教学中值得注意的一个方面。     

不等式((a b)/2)≥(ab)~(1/2)的证明和应用

不等式(a b/2)≥ab~(1/2)(a≥0,b≥0)~*的证明和应用在中学数学教材中占有一定的地位。1980年高考数学复习大纲也列入了这部份内容。对它进行系统的复习,使学生自觉的掌握和运用这个基本不等式,对于解代数、三角、以至几何等有关问题是有一定帮助的。     

用a b≥2(ab)~(1/2)(a≥0,b≥0)巧解物理题三例

同学们,在初中学习中,有一些物理题,特别是求极值问题,若用a b≥2ab~(1/2),(a≥0,6≥0)来解决,比配方法,二次函数法等更方便,更快捷,可达到事半功倍之效果。1简单证明a b≥2ab~(1/2)因为(a~(1/2)-b~(1/2))2≥0,所以a b-2ab~(1/2)≥0。即a 6≥2ab~(1/2),(a≥0,6≥0,且a=b时,     

不等式(a b)/2≥(ab)~(1/2)的几何证法种种

初中数学中的基础知识不仅包括初中代数与几何中的概念、法则、性质、公式、定理等,更重要的是由其内容所反映出来的数学思想和方法。其中数形结合思想是很重要的一条,利用数形结合思想来证明数学题目,不仅构思巧妙、直观易懂,而且能给出代数题目的