变化中寻不变 探究中求推广

2011年北京大学自主招生考试试题中有这样一道题:题目已知（x₁,y₁）、（x₂,y₂）、（x₃,y₃）是圆x²+y²=1上的三点,且满足x₁+x₂+x₃=0,y₁+y₂+y₃=0.证明:x₁²+x₂²+x₃²=y₁²+y₂²+y₃²=3/2.文[1]通过转化思想将本题转化为三角等     

反比例函数易错点剖析

反比例函数是一种重要的函数,由于某些同学对反比例函数概念、性质及图象的特征理解不到位,在解题过程中常会出现一些错误,现将易犯错误剖析如下,望同学引以为戒.一、忽视性质成立的条件而出错例1反比例函数y=2/x图象上的两上点为（x₁,y₁）,（x₂,y₂）,且x₁2,则下列关系成立的是（）.     

2014年高考数学必做解答题——导数及其应用

第1点导数与函数（）必做1已知函数f（x）=eax·（a/x+a+a）,其中a≥-1.（1）求f（x）的单调递减区间;（2）若存在x₁>0,x₂<0,使得f（x₁）2）,求a的取值范围.牛刀小试破解思路第（1）问求出导数后,分a=-1,-10求出单调递减区间.第（2）问注意理解条件是存在x₁>0,x₂<0,使得f（x₁）2）,可以直接论证或者构造反例求解.     

平面曲线的中心对称与轴对称问题

对称问题是函数和解析几何中的重要考点,如何有效解决?本文将以向量为工具给出对称问题的有效解决方法,供读者参考.一、点关于点对称问题结论1点P（x₀,y₀）关于点M（a,b）的对称点为Q（2a-x₀,2b-y₀）.证明:设Q（x₁,y₁）,则必有（?）,即（a-x₀,b-y₀）=（x₁-a,y₁-b）,得到a-x₀=x₁-a,b-y₀=y₁-b,即     

圆锥曲线与中点弦有关的一个性质

本文介绍圆锥曲线与中点弦有关的一个性质.性质1如图1,已知点P是椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的弦MN的中点,与MN平行的直线交椭圆于A,B两点,AP与椭圆交于点C,BP与椭圆交于点D,则CD∥AB.证明:设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,C（x₃,y₃）,D(x₄,     

一道有用的中考题

题目（2011年贵州省贵阳市中考第24题）[阅读]在平面直角坐标系中,以任意两点P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）为端点的线段中点坐标为（（x₁+x₂）/2,（y₁+y₂）/2）.     

从高考答卷的错误反思教学的缺失

1问题背景先看看近两年关于"曲线与方程"的两道高考试题,了解学生答卷情况.第一题（2010年高考广东卷理科第20题）已知一条双曲线（x²）/1-y²=1的左、右顶点分别为A₁,A₂,点P（x₁,y₁）,Q（x₁,-y₁）是双曲线上不同的两个动点.（1）求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方     

一道中考试题的分析与启示

题目:如图直线y=kx+b与x轴交于D点,与y轴交于C点,连结CD,△COD的面积为S,且ks+32=0.抛物线y=x²/8与直线y=kx+b交于A（x₁,y₁）、B（x₂、y₂）两点,连接AO、BO.（1）求b的值;（2）求证:点（y₁,y₂）在反比例函数y=64/x上;（3）求证:x₁·BO+y₂·AO=0.一、试题的质量分析1.这是一道比较好的试题,它把知识的基础性与运用的灵活性很好好的融合在一起.第（1）问求字母b的值,用常规的方法设横坐标为0,求出C的坐标（0,b）;设纵坐标为0,求出D的坐标（-b/k,0）,通过面积S_△COD=DO·CO/2=-b²/2k,再代入ks+32=0中就能求出b=8.这比较基础,绝大部分学生都能把基本分拿到手.第（2）问中验证一个点在已知函数的图象上,这个     

由一道文科高考压轴题引出三次函数的一个性质

2010年高考湖北卷文科压轴题第21题:设函数f（x）=1/3x³-a/2x²+bx+c,其中a>0.曲线y=f（x）在点P（0,f0）)处的切线方程为y=1.（1）确定b,c的值;（2）设曲线y=f（x）在点（x₁,f（x₁））及（x₂,f（x₂））处的切线都过点（0,2）.证明:当x₁≠x₂时,f’（x₁）≠f’（x₂）;（3）略.本题第（2）问命题组提供的答案是:     

注重数学“四基”的协同发展教学——评析2013南通市中考数学卷第28题

本文就2013年南通市中考数学卷第28题进行评价,谈谈"四基"的协同教学问题.如图1,直线（b>0）与抛物线y=kx+b（b>0）与抛物线y=x²/8_相交于A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）两点,与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,设△OCD的面积为S,且kS     

椭圆曲线中“非对称”韦达定理的处理技巧

<正>在以下解答题第(2)问证明椭圆曲线中某一个量为定值时,同学们比较熟悉的解决策略是:联立直线与椭圆曲线的方程,消元得到ax~2+bx+c=0(或ay~2+by+c=0),再运用韦达定理进行“整体代换”,就能够把该量化简为由x₁,x₂(或y₁,y₂)组成的一切对称式,如:x₁+x₂,x₁x₂,x₁~2+x₂~2,|x₁-x₂|,1/x₁+1/x₂等,代换后表达式中不再出现x₁,x₂(或y₁,y₂)的其他形式,则利用韦达定理可求得该量的值.     

例谈知识点交汇问题的解题策略

一、与向量、方程、函数知识点的交汇例1,若抛物线C:y²=4x,F是抛物线C的焦点,过F的直线l与抛物线C相交于A、B两点,l的斜率为1,求OA,OB的夹角.解:∵F（1,0）,l的斜率K_l=1,∴l的方程为:y=x-1.设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,l与C相交将l:y=x-1代入C:y²=4x中得:x²-6x+1=0,x₁,x₂为其两根,则x₁+x₂=6,x₁·x₂=1,     

从仿射变换角度看2011年高考山东理科第22题

题目（2011年高考山东省理科第22题）已知动直线l与椭圆C:x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）两个不同点,且△OPQ的面积S△OpQ=(6^1/2/2),其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明:x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;     

一道椭圆考题的反思与探究

2011年山东理科卷第22题的第（1）问:直线l与椭圆x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂）两点,△OPQ的面积是6^1/2,证明:x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值.本题从两个动点出发,基于三角形面积的不变性,证明与动点有关的两个定值.行文简洁,引入深思.常规解法主要涉及直线方程、弦     

探析弦长公式在“共线‘弦长’比”问题中的“另类”应用——兼谈弦长公式中弦长的本质和误区

我们知道,公式|AB|=1+k²（1/1+k²）|x₂-x₁|（或|AB|=1+1/k²（1/1+k²/1）|y₂-y₁|（k≠0））是是解析几何中,当斜率为k的直线与圆锥曲线相交时,用来求弦长的公式（其中x₁,x₂（或y₁,y₂）分别是两交点的横（纵）坐标）.然而,弦长公式只能用来求弦长吗?笔者在高三复习教学中发现,大多数学生只有在求直     

2006美国国家队选拔考试

1.一个通讯网络由若干个终端组成.若任三个终端中至少有两个终端是直接相连的,则称此通讯网络是"三连通的".将满足下列条件的通讯网络称为一个具有"n个叶片的风车".n对终端{x₁,y₁},{x₂,y₂},…,{x_n,y_n}中x_i与y_i（i=1,2,…,n）直接相连,并存在一个中心终端与2n个终端x₁,y₁,x₂,y₂,…,x_n,y_n均相连.记任意一个三连通的通讯网络包含着一个具有n个叶片的风车时所具有的最少终端数为f（n）,求f（n）的值.     

过不共线三点的圆锥曲线

我们知道,过不共线三点确定唯一一个圆.那么自然会想到,过不共线的三点有多少个椭圆、双曲线和抛物线?本文试图给这个问题做出解答.我们首先来解决抛物线的问题.结论1:设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）、C（x₃,y₃）是直角坐标系xOy中不共线的三点,且它们的横坐标互不相同,则有唯一的抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点.     

多条妙计智取解几压轴题

题目已知曲线C_n:x²-2nx+y²=0（n=1,2,…）.从点P（-1,0）向曲线C_n引斜率为k_n（k_n>0）的切线l_n,切点为P_n（x_n,y_n）.（1）求数列{x_n}与{y_n}的通项公式;（2）证明:x₁·x₃·x₅·…·x_2n-1<（（1-x_n）/（1+x_n））^1/2<2^1/2sinx_n/y_n.     

对2011年高考山东卷理科22(Ⅰ)题的研究

题目已知直线l与椭圆C:x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=(6^1/2/2),其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明:x₁²+₂²和y₁²+y₂²为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D、E、G使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=(6^1/2/2)?若存     

一道高考压轴题的解法赏析

<正>2012全国卷理科第22题已知函数f（x）=x²-2x-3,定义数列{xn}如下:x₁=2,x_n+1是过两点P（4,5）,Q_n（x_n,f（x_n））的直线PQ_n与x轴的交点的横坐标.（1）证明:2≤x_nn+1<3;（2）求数列{x_n}的通项公式.