例谈递推数列中不等关系的证明

在近年的高考数学试题中 ,常以数列递推式中不等式的证明作为能力型试题 .这类问题综合性强、思维容量大、能力要求高 ,是同学们感到很棘手的一类问题本文通过具体的例子说明解这类问题的几种常用方法 .一、数学归纳法例 1　已知数列 an ,对任意n∈N ,均有an >0 ,且a2 n ≤an-an + 1 ,求证 :当n≥ 2时 ,an <1n +1.证明　 ( 1)当n =2时 ,a2 ≤a1 ( 1-a1 )≤ a1 +( 1-a1 )22=14 <13 =12 +1.命题成立 .( 2 )假设当n =k(k≥ 2 )时 ,命题成立 ,即有　　　ak <1k+1≤ 13 (k≥ 2 ) .当n =k +1时 ,由题设有ak+ 1 ≤ak-a2 k.令 f(x) =x-x2 ,则f(x) =…     

按“四基”的要求编写数学教材——以“抽屉原理”为例

正随着时代的进步,一些现代数学内容,逐渐进入了小学数学课程。在六年级的小学数学教材里,出现了组合数学中常用的"抽屉原理"。这是一个与时俱进的数学教学改革成果,值得肯定。但是,在如何呈现这类新内容的途径上,可以有更多的不同选择。《义务教育数学课程标准(2011年版)》突出地强调"四基"教学,即注重基本数学知识、基本数学技能、基本数学思想方法、基本数学活动经验的教学。     

盘点二次函数图象与系数关系问题

正近年来,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系问题活跃在中考数学选择题中,成为了一个考查热点.这类问题往往将函数、方程、不等式等知识结合在一起,常涉及转化和数形结合等数学思想方法,具     

应用阿贝尔变换解竞赛题

(本讲适合高中 )1　阿贝尔变换定理　对数列 {an}和 {bn},记Sk =∑ki=1ai,k =1,2 ,… ,n ,并记S0 =0 ,则有∑nk=1akbk=Snbn+∑n -1k =1Sk(bk-bk+ 1 ) .上式称为阿贝尔变换或阿贝尔分部求和公式 .证明 :由ak =Sk -Sk -1 ,k =1,2 ,… ,n ,知∑nk=1akbk=∑nk=1(Sk-Sk-1 )bk=∑nk=1Skbk-∑nk=1Sk-1 bk=∑nk=1Skbk-∑n -1k =1Skbk + 1=Snbn+∑n -1k =1Sk(bk-bk + 1 ) .应用阿贝尔变换及其证明方法 ,可较好地解决一些较复杂的、带约束条件的、涉及两个数列的对应项之积的和的上下界估计问题 .这类问题在近年的数学竞赛中已成为热点 .2　应用…     

一道全国初中数学竞赛题的多种解法

在数学竞赛中 ,我们常碰到根据条件确定代数式取值范围的问题 .解这类问题 ,除了运用一元二次方程、不等式等方面的知识 ,还要用到一些解题技巧 ,现结合一道竞赛题的多种解法 ,谈谈求解此类问题的一些常用的数学思想方法 .题目　已知实数 a,b满足 a2 + ab+ b2 =1 ,且 t=ab- a2 - b2 ,那么 t的取值范围是.( 2 0 0 1年全国初中数学竞赛题第 1 2题 )1　利用二元代换解题分析 1　利用二元代换将已知条件转化为二元二次齐次方程 ,再设法运用不等式的有关知识求取值范围 .解法 1　设 a=x+ y,b=x- y,则由已知得 ( x+ y) 2 + ( x+ y) ( x- y) + ( x-…     

巧用求和式中的“0”

<正> 数学竞赛中,常有带省略号“……”的求和问题.这类问题项数多,数据大,计算时需要一定的技巧.本文介绍如何巧用题中的“0”来解答这类试题. 一、活用已知条件中“0”例1 已知x3+x2+x+1=0,那么1+x+x2+x3+…+x1995= .(第八届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)     

恒成立不等式中参数取值范围的求法

含参数不等式恒成立时 ,参数的取值范围问题是中学数学的难点之一 ,也是高考数学复习的一个热点 ,由于这类问题的条件均以“恒成立”的方式给出 ,多数学生对此只能作出表面理解 ,又由于在教材中找不到解决这类问题的理论依据 ,因此在解答这类问题时觉得困难。本文介绍几种常见方法 ,对这类问题进行实质性的分析、解答 ,供参考。1、利用一次函数的性质(1)一次函数 ｙ =ｆ(ｘ) =ｋｘ +ｂ ,在ｘ∈ [ｍ ,ｎ]上ｆ(ｘ) >0恒成立的充要条件是 :ｋ >0ｆ(ｍ) >0 或 ｋ <0ｆ(ｎ) >0 或 ｆ(ｍ) >0ｆ(ｎ) >0(2 )一次函数 ｙ =ｆ(ｘ) =ｋｘ +ｂ在ｘ∈ [ｍ…     

对线性交叉递推数列问题的探究

满足{a_n+1=pa_n+qb_n+c,b_n+1=ra_n+sb_n+d,(其中p、q不全为0,r、s不全为0)的两个数列{a_n}和{b_n},它们的递推关系呈现线性交叉,彼此相互关联,我们称这类问题为“线性交叉递推数列”问题.由于这类问题中的两个数列“你中有我,我中有你”,盘根错节,情形复杂、多样,且解答时常用到消元、配凑、转化、联想、构造等数学意识,需渗透和运用数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模等数学核心素养,因而具有较高的考查意义和选拔功能,是近年出现在高考或各地模拟考试中的热点题型.     

例谈可重复组合模型的简单应用

<中学数学月刊>2003年第10期<可重复组合总数>一文给出了公式:(RC)mn=Cmn m-1.其中(RC)mn表示:从n个不同元素中不管顺序可重复地取出m个元素,不同结果的总数.笔者觉得可重复组合数公式特别是其数学模型对学生解决某些数学问题很有益处,本文举例浅谈如下.     

恒成立问题的常见解法

在数学解题中经常碰到有关恒成立问题 ,解决这类问题的方法尽管很多 ,但都离不开一些基本的数学思想 ,如化归思想、函数思想、方程思想等等 .笔者在平时的教学过程中对这类问题的解法作了一点归纳 ,供大家参考 .一、利用一次函数的性质对于一次函数 f(x) =kx +b,x∈ [m ,n] ,有f(x) >0恒成立 f(m) >0 ,f(n) >0 ;f(x) <0恒成立 f(m) <0 ,f(n) <0 .例 1　 ｜p｜ <2 ,p∈R ,欲使不等式(log2 x) 2 +(p-2 )log2 x+1-p >0恒成立 ,求x的取值范围 .分析　若直接解关于log2 x的不等式 ,再由 p的取值范围求出x的取值范围 ,不仅化简过程十分繁杂 ,而…