一次函数中的常见错误

例1已知y与x-1成正比例,且当x=-5时,y=2,求y与x的函数关系式.错解:设y=kx,把x=-5,y=2,代入得2=-5k,解得k=-25,于是y与x的函数关系式是y=-52x.剖析:把y与x-1成正比例误认为y与x成正比例,所以错了.正解:设y=k(x-1),把x=-5,y=2,代入得2=k(-5-1),所以k=-31,所以y与x的函数关系式是y     

一次函数开放题例析

一次函数的解析式y=kx b由于有k和b两个待定系数,通常需要两个条件才能确定,而有些题不具备两个已知条件,表面上看缺少条件,不便求解.但实际上由于缺少条件而引起有多种结果出现,这就是所谓的结论开放题.这类题更能考查我们解决问题的能力,对培养创新思维有很大帮助.下面我们以近年来的中考题为例加以说明.一、只给出一点坐标的开放题例1写出一个图象经过点(1,-1)的一次函数解析式!"#$.解析:设这个函数解析式为y=kx b.由条件可得k b=-1.∴k=-1-b.由于k≠0,∴b≠-1,当b=0,从而y=-x;当b=1时,k=-2,∴y=-2x 1,当b=-2时,k=1,从而y=x-2…在上述函…     

一次函数与二元一次方程(组)

课时一　一次函数在某个变化过程中 ,有两个变量 x和 y,如果给定一个 x值 ,相应地就确定了一个 y值 ,我们称 y是 x的函数 ,若它们间的关系式可以表示成 y =kx + b ( k、b为常数 ,k≠ 0 )的形式 ,则称 y是 x的一次函数 .特别地 ,当 b =0是 ,y =kx,称 y是 x的正比例函数 .当式中的 k >0时 ,y随 x的增大而增大 ;当 k <0时 ,y随 x的增大而减小 .基础练习1.填空题( 1)已知 y =- 34 x + ( a + 1) ,当 a =时 ,y是 x的正比例函数 ;( 2 )已知一次函数 y =1- x,y随 x的值增大而.( 3)已知一次函数 y =kx - 1,当 x的值增大 2 ,y的值也相应地增大 3,则 k …     

求圆的切线方程的几种方法的比较

基本问题 :已知圆的方程为 x2 + y2 =r2 ,求过圆上一点 P0 (x0 ,y0 )的圆的切线方程。解法 1:若 y0 ≠ 0 ,则所求切线斜率存在 ,设所求方程为 y- y0 =k(x- x0 ) ,代入 x2 + y2 =r2 得 :(1+ k2 ) x2 + (2 ky0 - 2 k2 x0 ) x+ y0 2 + k2 x0 2 -2 kx0 y0 - r2 =0 ,由判别式△ =0得 :(r2 - x0 2 ) k2 + 2 x0 y0 k+ r2 -y0 2 =0。又 x0 2 + y0 2 =r2 ,∴ y0 2 k0 2 + 2 x0 y0 k+ x0 2 =0。即 (y0 k+ x0 ) 2 =0 ,解得 k=- x0 / y0 。故所求切线方程为 y- y0 =- x0 / y0 (x- x0 ) ,即 x0 x+ y0 y=x0 2 + y0 2 亦即 x0 x+ y0 y=r2 。 1当 y0 =0时 ,…     

一道习题的变式

习题：过圆x2＋y2=r2（r〉0）上一点P（x0,y0）的切线方程为_________．解法1（利用△）：当切线斜率存在时,设切线方程为：y-y0=k（x-x0）,联立x2＋y2=r2（r〉0）可得：（1＋k2）x2＋（2ky0-2k2x0）x-2kx0y0＋k2x02＋x02=0．     

求有条件的一次函数的最值

一般地说 ,一次函数y =kx +b不存在最大值或最小值 .但是 ,当给出了自变量x的取值范围这一特殊条件后 ,函数值y就可能有最值 .例如 ,一次函数y =kx+b ,x1≤x≤x2 .若k >0 ,如图 1 ,则y值随x的增大而增大 ,当x =x1时 ,y有最小值y1,当x =x2 时 ,y有最大值y2 ;若k <0 ,如图 2 ,则y值随x的增大而减小 ,当x =x1时 ,y有最大值y1,当x =x2 时 ,y有最小值y2 .图 1图 2例 1　已知关于x的方程x2 - 2x +k =0的实数根x1、x2 ,且y =x3 1+x3 2 .试问 :y是否有最大值或最小值 ?若有 ,试求出其值 ;若没有 ,请说明理由 .( 1 999,天津市中考题 )解 :由根与系数…     

数学单元测试题（一）（反比例函数的图象和性质）

一、填空题1.若点A(7,y1),B(5,y2)在双曲线y=2x上,则y1与y2的大小关系是.2.反比例函数y=kx的图象经过点P(m、n),其中m、n是一元二次方程x2 kx 4=0的两个根,那么点P的坐标是.3.如果一次函数y=mx n与反比例函数y=3n-mx的图象相交于点(12,2),那么该直线与双曲线的另一个交点.4.已知y与x-1成反比例,当x=12时,y=-13;那么当x=2时,y的值为.5.对于函数y=3x,当x<0时,y0(填“>”或“<”),这部分图象在第象限.6.反比例函数y=kx1-2k,当x>0时,y随x的而增大.7.已知点P(1,a)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上,其中a=m2 2m 3(m为实数),则这个函数的图象在限.…     

圆锥曲线题常见错解类型及剖析

一、概念不清及思考问题不全面导致错误。例1 求过点(0,1)的直线,使它与抛物线 y~2= 2x 仅有一个交点。错误解法设所求的过点(0,1)的直线为 y= kx 1,则它与抛物线的交点为{y=kx 1 y~2=2x,消去 y 得： (kx 1)~2-2x=0．整理得：k~2x~2 (2k-2)x 1=0．     

圆锥曲线部分典型错误解析

一、忽视特殊情况【例1】过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有A.1条B.2条C.3条D.0条错解:设直线的方程为y=kx 1,联立y2=4x,y=kx 得(kx 1)2=4x,即:k2x2 (2k-4)x 1=0,再由Δ=0,得k=1,得答案A.剖析:本题的解法有两个问题:一是将斜率不存在的情况漏掉了,二是将斜率k=0的情形丢掉了.故本题应有三解,即直线有三条.小结:直线与抛物线只有一解时,并不一定相切,因为直线与抛物线的对称轴平行时,也只有一解.二、忽视焦点位置【例2】设双曲线的渐近线为:y=±32x,求其离心率.错解:由双曲线的渐近线为:y=±23x,可得:ba=23,从…     

例析构造方程的两种方法

众所周知 ,“根与系数的关系”的应用之一是构造方程 ,但它不是构造方程的惟一方法 ,本文举例介绍构造方程的另两种方法 ,供同学们参考。例 1　求作一方程 ,使它的各根分别是方程x2 - 3x + 2 =0的各根的 3倍。解法一 :设所求方程的未知数为 y。由题意 ,得 y =3x ,即x =y3,代入原方程 ,得 ( y3) 2 - 3·y3+ 2 =0整理 ,得 y2 - 9y + 1 8=0 .解法二 :设所求方程为 y2 + py + q =0 ,由题意 ,得 y =3x ,∴ ( 3x) 2 + 3px + q =0 ,即 9x2 + 3px + q =0 .此方程与原方程是同解方程 ,∴19=- 33p =2q,∴p =- 9,q =1 8.则所求作方程为 y2 - 9y + 1 8=0…     

函数

内容讲解 1．一次函数：形如y=kx＋b（k≠0，k，b为常数）的函数。 注意：（1）k≠0，否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx,y叫x的正比例函数。 2．图象：一次函数的图象是一条直线。     

反比例函数y=k/x(k≠0)中k的意义

一、比例系数k的几何意义 如图1,过双曲线上任一点A作x轴、y轴的垂线AB、AC,则S矩形ABOC=AB·AC=|y|·|xy|=k.S△ABO=1/2|k|. 证明:∵y=k/x,∴xy=k,∴S=|k|. ∴S△ABO=1/2|k|. 二、应用举例 1.求面积 (1)直接利用k的几何意义求面积 例1一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(-1,-4),B(2,2)两点,P为反比例函数y=kb/x图象上一动点,O为坐标原点,过点P作y轴的垂线,垂足为C,则△PCO的面积为() A.2.B.4.C.8.D.不确定.     

“小题”必须“大做”

有些同学在做不等式的习题时,曾因一道题目的两种不同解法而争论不休,现把他们的解法原原本本地写下,仔细分析一下,以防再犯类似错误.题目:设x、yR+且x+2y=1,求1x+1y的最小值.解法一:∵x,yR+且x+2y=1∴1=x+2y叟22xy姨穴1雪即xy燮18,从而1xy姨叟8姨=22姨(2)∴1x+1y叟21xy姨=21xy姨∴1x+1y叟2×22姨=42姨,∴1x+1y的最小值为42姨.解法二:∵x,yR+且x+2y=1∴1x+1y=x+2yx+x+2yy=3+2yx+xy叟3+22yxxy姨=3+22姨∴1x+1y的最小值为3+22姨.以上两种解法看似都正确,其实不然.解法一是错的,而解法二是对的.那么解法一究竟错在哪里呢?还是让我们回…     

第二部分 热点题型习题精练

探索型1.解 :( 1)依题意可得 :x1+ x2 =2 ,x1· x2 =k由 y=( x1+ x2 ) ( x12 + x2 2 -x1x2 ) =( x1+ x2 ) [( x1+ x2 ) 2-3 x1x2 ] =2 ( 4 -3 k) =8-6k　即 y=8-6k.( 2 )∵方程有两实数根∴ Δ=b2 -4ac=4-4k≥ 0 .∴ k≤ 1.由此得 -6k≥ -6.　∴y=8-6k≥ 8-6=2 .即当 k=1时 ,y有最小值 2 ,没有最大值 .2 .( 1)解 :∵∠ BAC=∠ BCO,∠ BOC=∠ COA=90°,∴△ BCO∽△ CAO,∴ AOCO=COOB.∴ CO2 =AO· OB.由已知可得 :AO=| x1| =-x1,OB=| x2 | =x2 .∵ x1x2 =-m<0 ,∴ m>0 .∴ CO=m,AO· OB=m.∴ m2 =m,∴ m=1,m=0 (舍去 ) .∴…     

圆的切线方程求法比较

人教版全日制普高教材《数学》第二册(上),求圆的切线方程,就出现一道例题,一道练习题,一道复习参考题.下面笔者就经过点(x,y),求圆的切线方程给出几种解法,并比较最佳求法.已知圆的方程(x?a)2+(y?b)2=r2,求经过点M(x0,y0)的切线方程.分析根据圆的切线性质,过圆上一点有且只有一条直线和圆相切,过圆外一点有且只有两条直线和圆相切.解法一不妨设切线的斜率为k(若k无解,则表示相应切线斜率不存在,以下同),则切线方程为y?y0=k(x?x0),把y=kx?(kx0?y0)代入(x?a)2+(y?b)2=r2,得222(x?a)+[kx?(kx0?y0+b)]=r,整理得22(1+k)x?2[k(kx0?y0+b)+a]x+222…     

例谈直线与曲线“相切”问题的求解

<正>类型一、根据直线与曲线"相切",巧求参数的值例1(2016年全国Ⅱ卷理科第16题)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=。解析:设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2相切于点(x1,y1),则1/x1=k,kx_1+b=ln x_1+2,由此可得b=-ln _k+1 1。设直线y=kx+b与曲线y=ln(x+1)     

《反比例函数》单元测试题

一、填空题1.有一面积为60的梯形,其上底长是下底长的13.若设下底长为x,高为y,则y与x的函数关系是.2.若反比例函数y=kx的图象过点(1,6),则k=.3.y与(x-1)成反比例,且x=2时,y=2,则x=3时,y=.4.若正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x的图象没有交点,则k1和k2的关系是.5.如图,P点是反比例函数y=kx上一点,且图中阴影部分的矩形面积是2,则反比例函数的解析式为y=.第5题第6题6.在某一电路中,电源电压V保持不变,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数图象如图所示.(1)I与R的函数关系式为.(2)当电路中的电流不得超过12A时,电路中电阻R的取值范围是.7.写出具…     

高考三角函数的综合题

一、与函数结合的试题例1(2003年上海高考题)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体.存在非零常数T,对任意x缀R,有f(x+T)=Tf(x)成立,若函数f(x)=sinkx缀M,求实数k的取值范围.解当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0缀M;当k≠0时,∵f(x)=sinkx缀M,∴存在非零常数T,对任意x缀R,有f(x+T)=Tf(x)成立,即sin(kx+kT)=Tsinkx.∵k≠0,且x缀R,∴kx缀R,(kx+kT)缀R,∴sinkx缀[-1,1],sin(kx+kT)缀[-1,1].故要使sin(kx+kT)=Tsinkx成立,只有T=±1.当T=1时,sin(kx+k)=sinkx成立,则k=2mπ,m缀Z.当T=-1时,sin(kx-k)=-sinkx成立,即sin(kx-k+π)=sinkx成立,则…     

函数的定义域会“空”吗?

函数的定义域可能是空集吗?先让我们来看看这样的事实:在期中考试时,我们出了这样一道题“设函数y=lg(kx~2 4x k 3)的定义域为B,当B(?){x|-2≤x≤3}时,求实数k的取值范围。”在进行试卷分析时,我们发现全校高三年级八个班438名学生中竟有231人作出了这样的错误解答。解∵kx~2 4x k 3＞0,设f(x):kx~2 4x k 3,∴讨论:(1)当k=0时,原不等式为4x 3＞0 ∴B={x|x＞-3/4}显然不合题意,故舍去。(2)当k＞0时,注意到y=f(x)的图象开口向上,且B为f(x)＞0解集,显然B(?){x|-2≤x≤-3},故舍去。(3)当k＜0时,∵△=16-4k(k 3)∴①当△≤0即k≤-4时,原不等式的解为(?),即B=(?),显然(?)(?){x|-2≤x≤3},∴k≤-4。②当△＞0,即-4＜k＜0时,要使B(?){x|当且仅当     

谈一道题的解法

初中《代数》课本第四册第68页有这样一道习题:“已知y+b与x+a(其中a,b是常数)成正比例,求征y是x的一次函数。如果x=3时y=5,x=2时y=2,把y表示成x的函数。”前一问题学生容易解决,但在求解第二个问题时,不少学生犯了愁:在y+b=k(x+a)中,有三个待定系数a、b、k,可题目中只给出了两个条件,怎么办?其实可以这样来求y与x的函数解析式:将y+b=k(x+a)变形为y=kx+(ka-b)。