最新辗转相除法

<正>辗转相除法又名欧几里德算法,最早出现在公元前300年古希腊著名数学家欧几里德的《几何原本》,它与我国早期《九章算术》中的更相减损术都是一种求两个正整数的最大公因数的算法。现教材普遍推广的是用两个数同时除以它们公有的质因数,直到商是互质数为止,再把所有的除数乘起来,便得到最大公因数;如果再把商乘起来,就得到最小公倍数。而我在教学中通过研究发现,     

《辗转相除法与更相减损术》教学设计

1 内容和内容解析辗转相除法与更相减损术都是求2个正整数最大公约数的数学方法,分别是古希腊数学和中国古代数学留下的优秀成果。对两者的学习可以感受数学文化,认识算法的悠久历史,体会算法在当代不可替代的作用。2种数学方法都可以形成算法,对辗转相除法,教材采用"从特殊到一般"的逻辑方法,即:借助解决特殊问题,从而得出一般问题的解法,在此基础上,运用所学的算法知识,分析解法中的基本逻辑结构,     

辗转相除法及其应用

辗转相除法(或欧几里得除法)是整数和多项式论的一个重要的方法。本文试图说明辗转相除法的理论依据及其应用。辗转相除法的理论依据整数论(或多项式论)的中心论题是因子分解的理论。设a,b是整数,如果有一个整数c,它使得a=bc。则b叫做a的因数,a叫做b的倍数。这时也就说b能整除a,或者     

余数周期表和辗转相除法

运用余数方程axn=cn（mod b）的周期表递变规律推导出该方程的多种解法，与传统的辗转相陈法相比，解题领域更广阔，计算方法更简便．     

辗转相除法的矩阵表示

本文受解线性方程组中的初等变换方法的启发,根据辗转相除法的基本思想,通过对任意有限多个不全为零的多项式的系数所成的矩阵施行二种不改变多项式的最大公因式的变换,给出了一种求任意有限个不全为零的多项式的最大公因式的易行实用的方法。     

利用辗转相除法求最大公约数

本文介绍的是用辗转相除求两个数的最大公约数的方法,并对辗转相除的习惯写法作了改进。读者可以看到,当已知的两数不容易分解质因数时,用这种方法去求它们的最大公约数是很方便的,甚至学生也不难掌握具体的方法。     

展转相除法与展转相减法

要求两数的最大公约数 ,那一般就要用展转相除法 .举例说明这一个方法 :求 51 1 7和 692 3的最大公约数 ,算式如下 :1 692 3 51 1 7251 1 7361 21 1 80 61 50 551 50 51 50 530 1　 0　　则有ＧＣＤ( 51 1 7,692 3) =30 1 (ＧＣＤ :ＧｒｅａｔｅｓｔＣｏｍ ｍｏｎＤｉｖｉｓｏｒ ,最大公约数 ) .教科书中有代数证明和几何解释 ,一般可这样解释求最大公约数的过程 :ＧＣＤ( 51 1 7,692 3)=ＧＣＤ( 1 80 6,51 1 7)=ＧＣＤ( 1 50 5,1 80 6)=ＧＣＤ( 30 1 ,1 50 5)=ＧＣＤ( 0 ,30 1 )=30 1 .展转相除法在代数学中被称为“欧几里得算法” ,被认为…     

余数周期表和辗转相除法

运用余数方程axn≡cn(mod b)的周期表递变规律推导出该方程的多种解法,与传统的辗转相陈法相比,解题领域更广阔,计算方法更简便.     

用辗转相减法求最大公约数

求两个数的最大公约数,一般可采用分解质因数的办法。不过,有一些数的质因数一时难于看出,常给这种办法带来一些困难。为解决这一问题,我们可采用辗转相减的方法,去求两个数的最大公约数。它的方法是:将要求最大公约数的这两个数及它们的差,辗转相减(谁大谁就作被减数),最后所得的差与减数的最大公约数(最大公约数一般就是最后所得差),便是原来那两个数的最大公约数。例如,求209和133的最大公约数,其过程是:209-133=76,133-76=57,76-57=19;因为57和19的最大公约数就是这最后的差19,所以209和133的最大公约数也就是这个19。又如,求667和899的最大公约数:899-667=232,667-232=435,435-232=203(这两步可以一次完成为667-232×2=203),232-203=29;667和889的最大公约数为29。为什么可以这样去求最大公约数?我们可用前一     

“辗转相除法”和“更相减损术”溯源——兼谈教师如何解读教科书

人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学③》(必修)第一章"算法初步"中的1.3节"算法案例"中引入了"辗转相除法"与"更相减损术"的算法案例,教科书主要通过举例集中呈现"辗转相除法"与"更相减损术"的算法过程和递归的算法思想,但没有细致揭露其中蕴含的算理,回答了是什么的问题,没有回答为什么的问题.作为教师,需要超越教科书的视野限制,懂得知识的来龙去脉,特别是教科书中涉及到的古代数学史部分,需要     

用辗转相减法求解探微

在求解最大公约数时,一般采用分解质因数法(短除法)。但这种方法的使用范围具有一定的局限性,如果在数字较大或不容易试除时,用此法就很麻烦了。为了解决这一问题,在教学时,除了让学生掌握“辗转相除法”外,我还教给了学生一种新方法——“辗转相减法”。这种方法除能同样收到辗转相除求解的效果外,更易被学生接受和掌握。学生只要运用简单的减法运算便可以准确、迅速地求解最大公约数。如求(1105,1547)。∵1547-1105=442,1105-442=668,668-442=221,442-221=221,∴(1105,1547)=221。实践表明,实践表明,辗转相减法的使用率要远远高于其他诸法。下面具体谈谈辗转相减法的产生及应用。     

强化辗转相除法原理的教学

本文讨论高等代数课程一元多项式部分辗转相除法内容的教学,给出了以辗转相除法原理为核心的教法.     

辗转相除法求解二元一次不定方程

本文旨在用辗转相除法求出二元一次不定方程的一个整数解,进而写出其一切整数解.     

用辗转相除法求最大公因式中的技巧

辗转相除法是求多项式的最大公因式的一般方法,本文给出了两个计算技巧,其一是将被除式或除式乘以非零常数,以避免分数运算;其二是将被除式减去除式的一个倍式,以减小运算数字。     

辗转相除法的统一公式及其应用

辗转相除法是求最大公因式最重要的方法,但过程比较复杂,将辗转相除法总结成统一公式,并通过列表法予以标识,简化了用辗转相除法求最大公因式过程中相关多项式的求解过程.     

证明自然数互质一法——介绍辗转相除法

证明两个自然数互质,通常是用反证法,本文介绍另一种重要方法——辗转相除法。下面通过几个例子说明。例1,求证:相邻两个自然数必定互质。证明:设相邻的两自然数为n、n+1, 用n除n+1得余数r_1=1,再用1除n得余数r_2=0,∴(n,n+1)=r_1=1故相邻故相邻两个自然数必定互质。例2,求证:相邻两个自然数的平方和与这两个数的和互质(杭州大学编,《中学数     

用辗转相减法求最大公约数例说

求两个整数的最大公约数,我们常用辗转相除法或分解质因数法.这里我们介绍一个在原理上与辗转相除法类似的辗转相减法,利用它来求两个或多个整数的最大公约数. 通常把整数a、b的最大公约数用记号(a,b)来表示,于是我们有如下的性质.     

辗转相除法在计算机程序设计上的实际应用

对辗转相除法在计算机程序设计上的实际应用进行归纳：求最大公约数,求最小公倍数,如何判定二元一次不定方程有无整数解,如何把十进制整数部分转化为R进制。     

从问题6.1谈起——用辗转相减法求解

贵刊2000年6月刊登了一则有趣的征解问题6.1:分数6/7的分子、分母分别加上5a、8a后便可以约分,求满足条件的所有的两位正整数a。该题在2000年9月杂志上作了解答,很有启发性。本文目的是利用辗转相减法求解。     

用辗转相除法解二元一次不定方程的技巧

众所周知,二元一次不定方程ax by=c(ab≠0)有整数解的充要条件是(a,b)|c。故,当(a,b)|c时,这个方程有解;当(a,b)(?)c时,方程无解。解这种方程通常的步骤是: (1)求(a,b),判断方程是否有解; (2)用辗转相除法求出特解(x_0,y_0); (3)用公式写出通解。其中步骤(2)要在辗转相除后,将最后的余数逐