数之12(初一、初二、初三)

(8)无理数e,牛顿和欧拉前面讲到π是一个非常重要的无理数,和π同样非常重要并且更奇妙的另一个无理数就是e.首先发现这个无理数的是18世纪伟大的瑞士数学家列昂纳德·欧拉(1707～1783),他用自己的名字Euler的头一个字母命名这个无理数.这个数,通常被称为自然对数的底.这里,简单介绍一下对数. 世界上研究对数的第一个人是英国数学家纳     

e与理想稀释(高二、高三)

在对数函数和指数函数中经常出现一个无理数P,瑞士数学家欧拉(Euler,1707-1783)首先发现此数并称之为e(Euler的头一个字母).e应称为“自然对数logea的底数”.后来有人发现,e与无理数也不同类,因为e不能表示为有理系数代数方程的解,e和π一样,是无理数中的超越数.在高等数学中,e可用极限lim(1+1/x)x 或lim(1+x)1/x表示,其精确值为N+),据此可求出e的近似值为2.71828.     

1234567890数之10 (初一、初二、初三)

(5)无理数的近似值无理数的近似值是和无理数近似相等的有理数。例如 3,3.1,3.14,3.141,3.1415都是圆周率π的近似值.可以看出它们都是有理数; 它们都比π小,所以叫做π的不足近似值;     

一个特殊数列的单调性

在《高等数学》或《数学分析》课程中,有一个重要数列,其极限是无理数e.利用导数和级数这两个工具,讨论了与上述数列有着密切关系的一个特殊数列的单调性,以及这个特殊数列中的每一项与数e之间的大小关系.     

中学数学与思维

第八讲数学推理(上) 什么是推理人们在实践中,形成了概念和判断以后,就可以根据已有的知识,通过推理获取新的知识。例1 角平分线上的任意一点,到这个角的两边的距离相等。所以,到一个角的两边距离不等的点,不在这个角的平分线上, 例2 无限不循环小数是无理数;π是无限不循环小数,所以,π是无理数。     

无理数e的一个近似作法

对于有名的无理数如2~(1/2),3~(1/2)、π等,都可用几何作图求出它们的精确值或近似值。本文就打算给出数e的一个近似作法。     

论无理数——对本学报2007年第6期同名论文的修订和补充

将完全k方数的概念由N推广到R^＋,从而得到一个引理,由之推出一系列有关无理数的命题．此外,关于√2^√2,2^√2,α^β为≠0,1的代数数,而β乃不为有理数的代数数）,e＋π,e·π,e^π,π^e,2^e与2^π的无理性的简单证明也分别在此给出．     

一种奇妙的联系：e^iπ＋1=0

文 [1 ]论述了ｅ,π和Φ三个著名的无理数 ,那么人类最初碰到的这些具有极其特殊地位的超越数之间有什么联系呢 ?数学家欧拉曾进行了深入的研究 .他认为还有两个数字也像π一样对数学有重要价值 ,那就是自然对数的底数ｅ和虚数ｉ———等同于 -1 .这两个数都没有立即引起我们的注意 (尽管虚数ｉ这一概念的引入是一个数学发明的极好的例子———一个理想化的事物———结果证明它在真实事物中也有着非常重要的价值 ) .在我们接受这两个奇异的数字的时候 ,有必要考虑一下π与ｅ的一种奇妙联系 :π4 +π5=ｅ6欧拉则提出一个更奇妙的被视为数学…     

e与π的超越性的新证明

大家都知道自然对数的底e与圆周率π这两个数无理数．并且已被证明它们都不适合任何整系数代数方程,因而被称为“超越数”。1873年,C．Hermite证明了e是超越数．1882年,F．von Lindmann证明了π是超越数．但他们的证明都长达几十页．     

圆周率计算简史

圆周率（现在用希腊字母π表示）是一个非常独特的数：它是一个“存在于”自然界之中（因而在某种程度上可以说是“客观存在”）的无理数,其他无理数都是人为创造出来的．由于这一点,人们很早就开始了认识圆周率的过程,而认识其他无理数尤其是超越数则是相当晚近的事了...     

π还是个超越数

正笔者在《π是除出来的吗?》一文(详见本刊2014年第2期)中,指出π是不可能通过两个整数相除得到的,因为它是个无理数。说起无理数,大家一定会想到另外一个著名的无理数:2=1.414……那么,同为无理数,π和2,有没有区别呢?区别大着呢!2是"代数数",而π是"超越数"。什么是代数数?如果某个数能成为一个整系数整式方程anxn+an-1xn-1…+a1x+a0=0(其中,an,an-1,…,a1,a0是整数)的解,我们就把它叫做"代数数"。整数3是代数数,因为它可以看作     

无理数e和银行业

无理数e的实质其实是一个极限问题,它是数学家欧拉命名的,用来代表一个无理数,其值为2.71828182846.在今天的银行业里,e是对银行家最有帮助的一个数.假如没有e的发现,银行家要计算今天的利息就要花费大量的时间,无论是逐日地算复利,还是持续地复利都无法避免复杂的运算.有幸的是,e的出现为银行家助了一臂之力.     

π的几种无限表达式

圆周率π数学中的一个重要常数,自古以来就有学者对其进行研究.兰伯特(Lambert)于1767年证明π是无理数之前,众多数学家试图求出π的准确值,有的甚至耗费了毕生的精力.目前,借助计算机计算π值,已求得近三千万位数.利用代数方法计算π值时,都需依据π的某种表达式.本文结合有关π的发展史,介绍其几种无限表达式并给出证明.为叙述方便,我们给所举表达式前均冠以相应的人名.     

从高等数学看数“π”

从高等数学看初等数学中的π,π的概念,π的计算,π是无理数,π是数学中最重要的无理数,也是中学中经常遇到的常数。计算圆的面积是πr~2,圆的周长是2πr。在高等数学中如何去看π,如何解释中学中所遇到的π,这里将利用高等数学的理论方法阐述π的概念,π的计算方法及π是无理数的证明。     

无理数的大小比较及估算

自从“第一次数学危机”,即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来,人们对无理数的探究就从来没有停止过.而比较两个无理数的大小,则是其中重要内容之一.无理数是无限不循环小数,所以无法直接写出某个无理数,人们想到了用符号准确地表示一个无理数,如:π,2等等,但这给比较它们的大小带来了一定的困难.那么,究竟如何比较两个无理数的大小呢?要比较两个无理数的大小,首先应明确以前学过的有理数大小比较方法对于实数也适用,即:(1)借助数轴:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;(2)根据数的符号性质:①正数大于零和一切负数,零大于一切负…     

漫谈两个著名的超越数

一、什么是超越数 1744年，瑞士数学家欧拉首先提出超越数的概念并给出了它的定义；1794年，法国数学家勒让德猜测π可能不是有理数方程的根。这就导致超越数从无理数中分裂出来：凡是能满足某个整系数代数方程的实数叫代数数，如√2，5；不是代数数的实数叫超越数，如π，e。超越数必然是无理数，但无理数不一定是超越数。法国数学家刘维尔1844年在一篇论文中首先证明了超越数的存在。     

最精确的园周率

园周长与直径的比,叫做园周率.园周率π是一个常数,也是一个无理数,我们只能根据需要取它的近似值.我国古代很早就得出了比较精确的近似值.魏晋时期的数学家刘徽于·公元263年利用园内接正多边形求得π=3.4(或化为157/50)。南北朝的科学家祖冲之于公元460年又进一步推算出π的真值在3.1415926与3.1415927之间,准确到七位小数,近似分数是355/113.而一千多年后德国人安托尼兹才重新发现这个值.以后由于     

数系的第二次发展（二）

学无理数，要注意以下几个问题。一、课本中所出现的无理数，大都是带有根号的数，如（3）平方根、-（5.7）平方根等，这样容易使同学们产生一种片面的认识：无理数就是带根号的数．事实上，无理数不一定是带根号的数．例如大家熟悉的圆周率π，它的值是π=3．141592653589793238462643383280…这是一个无限不循环小数，它是一个无理数．以后，我们还将学习大量其他不带根号的无理数．     

从高等数学看数“π”

从高等数学看初等数学中的π，π的概念，π的计算，π是无理数，π是数学是最重要的无理数，也是中学中经常遇到的常数，计算圆的面积是πr^2，圆的周长是2πr。在高等数学中如何去看π，如何解释中学中所遇到的π，这里将利用高等数学的理论方法阐述π的概念，π的计算方法及π是无理数的证明。     

“老大难”可以转化为“短平快”

数,不管它是正整数、有理数、无理数,甚至虚数、复数、四元数、超复数……永远都是诱人的.话说0.618这个数目,来头实在不小,它的名气虽然比不上圆周率π、自然对数的底e,却也半斤八两,相差无几.人们发现在兔子繁殖、植物生长、梯级爬升……乃至保密通信等方面,0.618所起的作用非同小可.但为了看出眉目,进行统计推断与假设检验,一般需要研究0.618的高次方,