超级难题的简单解法（六）

例1 已知a是实数,函数f（x）=2ax^2＋2x-3=0．如果函数y=f（x）在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围． 简单解法一 依题意可知a≠0且x≠3/2,∴方程2ax^2＋2x-3-a=0可化为1/a=2x^2-1/3-2x.令3-2x=t,     

非负数性质的应用五例

应用"非负数"有关知识可解一类中考题.例1当x_<sub>时,二次根式（x-3）^1/2在实数范围内有意义.（2007福建福州市）解要使二次根式有意义,则x-3≥0得x≥3.     

高等数学例题解析1

1 填空题 （1）设 　,则解　设,则,得: （2）函数 　的定义域是_。 解 对函数的第一项,要求x-2>0且In（x-2）≠0,即x>2且x≠3;对函数的第二项,要求5-x≥0,即x≤5。取公共部分,得函数定义域为（2,3）∪（3,5]。     

第三讲 函数及其图像

函数及其图像是初中数学的核心知识,是中考的重点内容.现以2014年中考题为例,把常考的知识点归纳如下,供你复习时参考. 考点1 确定函数自变量的取值范围 例1 (2014年内江卷)在函数y=√x+2/x-1中,自变量x的取值范围是(). A.x≥-2且x≠1 B.x≤2且x≠1 C.x≠1 D.x≤-2 解析:由二次根式的被开方数非负和分式的分母不能为0,得{x+2≥0,x-1≠0. 解得x≥-2且x≠1.选A.     

一次难忘的解题历程

在数学复习时,我遇到了下面一道题目：若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1,x2,且x1≠x2,有下列结论：     

一元不等式的错解纠正

文[1]中的例7(3)的解答是一个典型错误.现摘抄原文如下: 例7 写出下列命题的否定: (3)1/x2 2x-3≥0 ① 解: (3)(」)p:1/x2 2x-3＜0 ②;因为p是1/x2 2x-3＞0或1/x2 2x-3=0,(」)p是对p的否定,即为1/x2 2x-3≤0且1/x2 2x-3≠0.     

二次根式问题八则

例1已知x、y为实数,且y= (（x²-1）^1/2+（1-x²）^1/2)/（x+1）,求xy的值.分析应用二次根式的定义,就可解决.解由已知,得x²-1≥0,且1-x²≥0,显然x²=1,x=±1.又由x+1≠0,知应舍去x=-1,故只取x=1,代入到     

一元二次方程根与系数关系题型示例

一元二次方程根与系数的关系是初中数学的重要内容之一,也是中考数学中经常考到的一个知识点.有关一元二次方程根与系数的关系的题目有很多类型,现举例说明,供大家参考. 一、讨论已知方程的根的性质、求根或根的代数式的值1.讨论方程根的性质例1 当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0只有正实数根?(2002年广东省广州市中考试题)解:(1)当a=0时,方程为4x-1=0,解得x=14.①(2)当a≠0时,Δ=42-4a(-1)=16+4a,令16+4a≥0,得a≥-4.∴当a≥-4且a≠0时,方程有两个实数根.②设方程的两个实数根为x1、x2,由根与系数的关系,得x1x2=-1a,x1+…     

《分式》错解剖析

一、忽视“且”与“或”的不同含义 例1当x为何值时，分式x^2-x/（x＋2）（x-1） 有意义。错解：当分母等于零时，分式无意义由分母（x＋2）（x-1）-0，得x=2或1所以，当x≠-2或aT≠1时．分式有意义.     

数学解题思想方法技巧（系列连载之一）——第2讲 整体换元思想

已知关于x的方程(a^2-1)(x/x-1)^2-(2a 7)(x/x-1) 1=0有实数根，（1）求a的取值范围：（2）若原方程的两个实数根为x1,x2.且x1/x1-1 x2/x2-1=3/11，求a的值     

“分式方程”典例赏析

例1已知实数x满足x2 1x2 x 1x=0,试求x 1x的值.解析:可将x 1x看作一个整体,设它为y,得y=1或-2,当x 1x=1时方程无解,则x 1x只能等于-2.此题由解分式方程演变而来,暗设陷阱,解题时,若忽视“x是实数”这个条件,将求得的值不加以检验直接写出,则前功尽弃.例2若关于x的分式方程x-1x-2-x-2x 1=2x ax2-x-2有唯一的实根,则()(A)a可为任何实数.(B)a=-7或a=-1.(C)a≠-7且a≠-1.(D)a≠-7或a≠-1.解:将分式方程化为整式方程可得x=a 52,由原方程中x≠-1,且x≠2,得a 5≠-2且a 5≠4,即a≠-7且a≠-1,故选择(C).例3当k为何值时,关于x的分式方程xx 1=4x kx2 …     

分类讨论思想的应用

分类讨论可以把一个复杂的问题拆分成若干个简单的问题,通过解决各个简单的问题,从而解决这个复杂的问题.请看下面的例子. 一、方程中的分类讨论 例1 若关于x的方程kx2-3x-9/4=0有实数根,则实数k的取值范围是() A.k=0.B.k≥-1或k≠0.C.k≥-1.D.k＞-1.     

论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

初中数学总复习自测题

一.选择题: 1 设a≠0,则下列运算中正确的是 (A)a~2·a~3=a~6; (B)(a~3)~2=a~9; (C)(a-1)~0=1; (D)a~2÷a~3=1/a 2 函数y=(x 1)~(1/2)/(x-1)中,自变量x的取值范围是 (A)x≥0; (B)x≠1; (C)x≥-1且x≠1; (D)x≥-1. 3 一无二次方程1/2x~2-4x 6=0的根的情况是     

集合的观点及其应用

一、集合的观点我们把具有某种属性的一些对象的全体看成一个集合.运用集合的知识去解决有关的问题,这样的思维观点被称为集合的观点.二、集合观点的应用1.在代数方面例1,求函数y=(2x-1)~(1/2) (1/(x~2-x-2))的定义域分析:用集合的观点,定义域就是自变量x的所有允许值的集合,而此函数在2x-1 ≥0且x~2-X-2≠0时才有意义.所以函数的定义域实际是集合{x|2x-1≥0}和{x|x~2-x-2 ≠0}的交集.解:解不等式2x-1≥0得到解集{x|x≥(1/2)}     

再探“根的判别式”的应用

<正>一元二次方程中,判别式可以用来判断相应一元二次方程实数根的个数情况;二次函数中,判别式可用来判断相应二次函数图象与直线交点的个数情况．下面我们列举判别式的应用．1.由方程根的情况求待定系数取值范围例1若关于x的方程kx²-3x-9/4=0有实数根,则实数k的取值范围是()(A)k=0(B)k≥-1且k≠0(C)k≥-1 (D)k>-1     

江苏卷部分选择题、填空题的解法

7．若对于任意的实数x,有x^3=a0＋a1（x-2）＋a2（x-2）^2＋a3（x-2）^3,则a2的值为（ ）. A.3 B.6 C.9 D.12 解法1 由x^3＋a0＋a1（x-2）＋a2（x-2）^2＋a3（x-2）^3，比较两边x^3项的系数，得a3＋1，比较两边x^2项的系数，得a2＋1·3·（-2）=0，故a2=6，故选B.[第一段]     

确定方程中参系数的方法

一、由方程的定义确定参数例1若(m2-m-2)x2+mx+3=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是().(A)m≠-1;(B)m≠2;(C)m≠-1且m≠2;(D)一切实数.解:由一元二次方程的定义,得m2-m-2≠0,∴(m-2)(m+1)≠0,∴m≠2且m≠-1.故选(C).二、由方程根的定义确定参数例2方程x2-12x-m=0的一个根是2,那么m的值是.解:由方程根的定义,把x=2代入方程,得22-12×2-m=0,解得m=-20.三、由方程根的情况确定参数例3已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2k+1√x-1=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.解:∵方程有两个不相等的实数根,∴△=(-2k+1√)2-4(1-2k)×(-1)=-4k…     

容易忽视的隐含条件

数学问题中有很多问题是含有隐含条件的,在解题时容易忽视,甚至有的教师在出题时也易忽视.在初中阶段有相当这一部分题目,现举例如下,仅供参考.1 分母不为零的隐含条件问题例1 函数y=(x+2)~(1/2)/(x-1)中自变量x的取值范围是_____(1996年连云港市中考题).错解:由被开方数为非负数,即x+2≥0得x≥-2.这里忽视了x-1≠0的情况,正确答案应为:x≥-2但x≠1.例2 方程(x~2-4)/(2-x=0)的根是_(1996年甘肃省中考题).     

一元二次方程根与系数的关系探微

在实数范围内,一元二次方程ax2 bx c=0 (a≠0)有两个实根x1、x2,则x1 x2=-b/a,x1x2=c/a. 注意在实数范围内应用根与系数关系的前提条件是a≠0且△≥0.它的应用主要体现在不解方程或无法解方程的情况下,直接沟通方程系数与根之间的关系.现举例如下: 一、由根的性质求方程中未知数的值例1 已知关于x的方程2x2-mx-2m 1=0的两实根的平方和等于29/4,求m的值. 解:设方程的两实根为x1、x2则得x1 x2=m/2,