三角问题中解题避错策略

策略一挖掘隐含条件例1已知tanα,tanβ是方程x~2+3(3~(1/2))x+4=0的两根,且-π/2<α<π/2,-π/2<β<π/2,求α+β的值.     

辨清题目的细微差别

解题中需要类比,但若忽视类似题目的细微差别,却容易导致谬误,兹举例对比说明。例1 (1)α∈R,α、β是方程x~2+2x+α=0的二实根,求|α|+|β|的值。 (2)α∈R,α、β是方程x~2+2x+α=0的二根,求|α|+|β|的值。解:(1)α+β=-2。αβ=α,(|α|+|β|)~2=α~2+β~2+2|αβ|=(α+β)~2-2αβ+2|αβ|=4-2α+2|α|,Δ=4-4α≥0,     

P、O、O不是等比数列

最近我们对流传甚广的一道数学题进行了研究,现将原题及常用证法抄录如下: 设p~2x~2十q~2x+r~2=0……①的两根为px~2+qx+r=0……②的两根的平方,求证p、q、r成等比数列(在实数范围内)。证设方程②的两根为α、β,则方程①的两根分别为α~2、β~2。     

逆用方程概念巧解题

我们有这样的体会,如果方程x~2+x+1=0的两个根是α~(-1)、β~2,则很容易知道等式α~(-2)+α~(-1)+1=0和β~4+β~2+1=0成立。但是,由等式α~(-2)+a~(-1)+1=0和β~4+β~2+1=0成立,就不容易想到α~(-1)、β~(2)是方程x~2+x+1=0的两个根。是因为人们在考虑问题时,常常习惯于按正向展开思维,而不习惯于按逆向展开思维的缘故。这种倾向影响解题,不利于思维的发展,在教学中要注意克服,要有目的地对学生进行逆向思维的训练。例如,在复习方程的有关解的定义、公式、法则的正向应用时,强调它们的逆向应用,这不仅可以使为数不少的数学问题得到简捷而巧妙的解法,而且对提高学生灵活应用知识的能力,培养良好     

两角和与差三角公式的应用技巧

一、不可忽视求值的特殊性例1已知tanα,tanβ是方程x~2-5x+6=0的两个实数根,求2sin~2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)+cos~2(α+β)的值.分析:由韦达定理可得到tanα+tanβ及tanα·tanβ的值,进而可以求出tan(α+β)的值,再将所求     

引入增元思想培养学生解题能力

他山之石 ,可以攻玉 .在教学中 ,如果注意应用增元思想 ,往往能起到化难为易 .出奇制胜的作用 ,有助于培养学生创新思维 ,提高学生解题能力 .1　巧配对　化难为易例 1　已知α、β是方程ｘ2 +ｘ- 1=0的两根 ,求 α2β 的值 .解　由韦达定理知α +β=- 1,αβ=- 1.设Ｍ =α2β,Ｎ =β2α(配对 ) ,则Ｍ+Ｎ =β2α +α2β =α3 +β3αβ(α +β) [(α+β) 2 - 3αβ]αβ =4 ,ＭＮ =α2β· β2α =αβ =- 1,所以Ｍ、Ｎ是一元二次方程ｘ2 - 4ｘ- 1=0的两根 .解方程得Ｍ =2± 5 ,∴ α2β =2 ± 5 .例 2　若α、β是方程 ｙ2 - 2ｙ- 1=0的两根 …     

对高中《代数》一题解意见

高中《代数》第一册P181例3: 例3 设tgα、tgβ是一元二次方程ax~2+bx+c=0(b≠0)的两个根,求ctg(α+β)的值。解:在ax~2+bx+c=0中,a≠0,由一元二次方程根与系数之关系,得tgα+tgβ=-b/a,tgα·tgβ=c/a。而ctg(α+β)=1/tg(α+β)=(1-tgα·tgβ)/(tgα+tgβ)(＊)由题设b≠0。故tgα+tgβ≠0,代入     

解三角函数问题要注意隐含条件

例1已知tanα,tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两根,且α,β(-π2,2π),则α+β的值为A.π3B.-23π或3πC.-π3或23πD.-23π错解∵tanα+tanβ=-3√3,tanαtanβ=4,∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-13√-43=√3.又α,β(-π2,2π),∴α+β(-π,π).因此,α+β=-2π3或π3.选B.辨析错在忽视了tanα,tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两个负根这一隐含条件.正解∵tanα+tanβ=-3√3<0,tanαtanβ=4>0,∴tanα,tanβ为方程x2+3√3x+4=0的两个负根,即tanα<0,tanβ<0.又α,β(-π2,2π),∴α,β(-π2,0),α+β(-π,0).又tan(α+β)=tanα+tanβ1-t…     

活用一元二次方程根的定义解题

我们知道:若x1是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则ax12+bx1+c=0,反之若ax12+bx1+c=0(a≠0),则x1是方程ax2+bx+c=0的一个根,活用方程根的定义的正、反两方面知识,进行解题是一种重要的方法,现举例说明·一、正用方程根的定义例1(“祖冲之杯”数学邀请赛题)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根平方和是n,求3an2+c3bm的值·解:设方程的二根是α、β,则aα2+bα+c=0,aβ2+bβ+c=0·两式相加,得a(α2+β2)+b(α+β)+2c=0,即an+bm+2c=0,所以2c=-(an+bm),所以3an2+c3bm=-31·例2(河北省初中数学竞赛题)求作一元二次方程,使它的根是方程x…     

这个待定值该怎么求?

题:方程8x~2+6kx+2k+1=0的两个根是直角三角形两锐角的正弦,求k的值。解设直角三角形两锐角为α、β、根据一元二次方程根与系数的关系得: sinα+sinβ=-6k/8 ① sinα·sinβ=(2k+1)/8 ②∵α+β=90°∴sinβ=cosα∴①、②两式可变为:sinα+sinα=-3k/4 ③sinα·cosα=(2k+1)/8 ④③式平方,得 1+2sinαcosα=9k~2/16,     

恒等式α~2 β~2=(α β)~2-2αβ在解题中的应用

设α、β为一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的二根,利用韦达定理和恒等式α~2 β~2=(α β)~2-2αβ可求得α~2 β~2的值,进而解决一些问题。类似的恒等式还有(α-β)~2=(α β)~2-4αβ,α~3 β~3=(α β)[(α β)~2-3αβ]等。一、求代数式的值例1 a为实数,方程x~2 2x a=0的两根为α,β,求|α| |β|的值解:α β=-2,α·β=a,当△=4-4a≥0,即a≤1时,α,β为实数,     

错在哪里?

一、广西东兰中学宋全宁来稿题:设方程x~2-2mx+m+2=0有两个实根,且分别为某直角三角形两锐角正弦的四倍,求m的值。解设直角三角形两锐角分别认α、β,则方程之二根为4sinα和4sinβ=4sin(90°-α)=4cosα,分别代入方程,得 16sin~2α-8msinα+m+2=0和16cosα~2-8mcosα+m+2=0 ∴m=(16sin~2α+2)/(8sinα-1)和m=(16cos~2α+2)/(8cosα-1) 即(16sin~2α+2)/(8sinα-1)=(16cos~2α+2)/(8cosα-1)解得锐角α=45°     

联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题

解数学题,学生是多么期盼掌握一些“战无不胜”的技法。本文联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题,其构思别致,变换灵巧,可谓学生所盼的“阳春白雪”。二维柯西不等式是:ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)·(c~2+d~2)~(1/2),a、b、c、d∈R当且仅当a/c=b/d时,等式成立。(现行高中《代数》课本下册P.14)。一求值(或证明条件不等式) 例1 若α、β∈(0,π),且cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2,求α、β。解:已知即为(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ+cosα=3/2,于是:(cos~2β+sin~2;xx2)[1-cosα)~2+sin~α]≥[(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ]~2=(3/2-cosα)~2即(2cosα-1)~2≤0,cosα=1/2,α=π/3,同理知β=π/3。(α、β∈(0,π)) 例2 已知msinθ-ncosθ=(m~2+n~2)~(1/2) (1)sin~2θ/α~2+cos~2θ/b~2=1/(m~2+n~2) (2)     

两根非对称式求值问题的转化技巧

一元二次方程两根对称式的求值问题,一直为同学们所重视.然而近年来,两根非对称式的求值问题,频频出现于各地的中考数学试题中,使不少同学感到困难.这类试题的解法,说到底就是要转化为对称式的求值问题.本文拟就近年来相关中考试题分析其转化技巧,供同学们学习时参考.例1(辽宁省2000年中考试题)已知α、β是方程x2+2x-5=0的两个实数根,则α2+αβ+2α的值为.解析:∵α是方程的根,∴由方程根的定义知α2+2α-5=0,即α2+2α=5.又由根与系数的关系知αβ=-5.故α2+αβ+2α=(α2+2α)+αβ=5+αβ=0.例2(苏州市2001年中考试题)已知关于x的一元…     

注意二次根式中的隐含条件

忽视隐含条件是初中生解题失误的一个重要原因,请看下例.例已知α、β是方程 x~2+5x+2=0的两根.     

中考数学试题解答中的常见错误分析

在中考复习中,注意某些公式、法则的适用范围以及它们的限制条件,是很有必要的.在本文中,我们一起探讨数学中考中容易失分的几个问题,希望能引起同学们的重视.一、忽视应用根的判别式例1已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0的两个实数根α、β满足α1+β1=1,求m的值.(2004年重庆市中考数学试题)错解:∵1α+β1=1,∴αα+ββ=1,即α+β=αβ.又∵α+β=-(2m-3),αβ=m2,∴3-2m=m2.解之,得m1=-3,m2=1.∴m的值是-3或1.分析:应用一元二次方程的根与系数的关系时,首先要判别方程有无实数根,只有符合Δ≥0的条件,方能确保公式的应用.∵α,β…     

浅谈妙用根的定义求代数式的值

在初中代数中 ,求关于已知一元二次方程的两根的代数式的值 ,是常见的一类问题。在解决这类问题时 ,一般情况下 ,利用一元二次方程根与系数的关系来求解 ,但在不少情况下 ,题中所给的代数式与方程两根的和与积并没有明显的联系 ,单独利用根与系数的关系不易求解 ,甚至无法求解。此时就可以先利用一元二次方程根的定义把所给的代数式进行变形 ,使之与方程两根的和与积产生联系 ,再利用根与系数的关系求解。例一 :已知α,β是关于 x的方程 :x2 + ( m- 2 ) x+ 1=0的两个根 ,求 ( 1+ mα+ α2 ) ( 1+ mβ+ β2 )的值。分析一 :考虑用根与系数的…     

利用韦达定理解竞赛题

<正>韦达定理可谓是初中数学教学的"重头戏",因其是解决一元二次方程及相关问题的"杀手锏",在中考升学尤其是初中各类竞赛中都颇受命题人的青睐,其重要性不言而喻.下面,通过近几年的几道竞赛题体会如何利用韦达定理巧解竞赛题.例1(第23届希望杯全国数学邀请赛初三试题)已知关于x的一元二次方程x²-2(m-1)x+m2-2(m-1)x+m²-1=0有两个不相等的实数根α,β,若α2-1=0有两个不相等的实数根α,β,若α²+β2+β²=4,则m=____.     

公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)的变用和借用

公式tan(α+β)=tanα+tanβ/1-tanαtanβ可以变形为: 1．tanα+tanβ+tan(α+β)tanαtanβ=tan(α+β); 2．当α+β+γ=κπ(k∈Z)时,还可得到tan(α+β)=tan(κπ-γ)=-tanγ,变形即:tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ．上述两个变式有着重要的应用．例1 tan20°+tan 40°+3~(1/2)tan 20°tan 40°的值是__．(1996·全国高考)     

韦达定理的逆定理在解析几何证题中的应用举例

如果两个数α和β满足如下关系:α+β=-b/a,α·β=c/a,那么这两个数α,β是方程ax~2+bx+c=0(a(?)0)的根.我们知道,这便是韦达定理的逆定理.下面举例说明它在解析几何证题中的应用.