错在哪里

1. 江西省弋阳县教研室阮剑影来稿题:如图一,△ABC内接于⊙○,H是它的垂心,在AB上取AM=AH,在AC上取AN=AO,求证MN=AO。证:设⊙○半径R,则AO=AN=R,AM=AH=2RcosA,由余弦定理MN~2=AM~2 AN~2-2AM·ANcosA     

2011年高考必做解答题——立体几何题

第1点空间的平行关系KONGJIAN DE PINGXING GUANXI()必做1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,求证:MN//平面BCE.精妙解法法1.如图1,以P,O为垂足,作MP⊥BC,NQ⊥BE,别MP//AB,NQ//AB.所以MP//NQ.又AM=FN,AC=BF,由比例关系可得MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形,所以MN//PQ.因为PQC平面BCE,MN     

有关线段上一点的最值

性质1 线段AB上一点P,当点P为线段AB的中点时,AP·PB最大. 证明1 如图1,取AB的中点M,有 AP·PB=(AM+MP)(BM-MP)=(AM+MP)(AM-MP)=AM2-MP2. 要使AP·PB最大,只要MP2=0就行了,从而MP=0,即P点与M点重合时MP=0. 所以当点P为线段AB的中点时,AP·PB最大. 证明2 设AB=l,AP=x,则PB=l-x,所以AP·PB=x(l-x)=-x2+lx.     

关于梯形中位线定理的证明

已知:梯形ABCD中,AD//BC,AM=MB,DN=NC.求证:MN//BC,MN=1/2(AD+BC).课本上的证法是连结AN并延长,交BC的延长线于E.如图1,证AN=NM,由MN是否△ABE的中位线来证明.下面介绍另外五种证法.     

用中线长定理解题(初二、初三)

中线线定理的表述是:设△ABC的三边AB=c,BC=a,AC=b,BC边上的中线长为ma,则ma2=1/2b2+1/2c2-1/4a2. 中线长定理有广泛的应用,下面举例说明. 例1 如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,MN是BC边上的点,且BM=MN=NC,如果AM=4,AN=3,则MN=____. 解设AC=b,AB=c,BM=MN=NC=a,AM,AN分别是△ABN和△ACM的中线,则有42=1/2c2+1/2·32-1/4(2a)2, 32=1/2b2+1/2·42-1/4(2a)2,     

巧用正方体解题的方法

△函数方程的方法例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知正方体的棱长为"2,M、N分别在其对角线AD1与DB上,若AM=BN=x,求MN的最小值,并求此时x的值.分析:运用函数求解,作MH⊥AD,连结NH.∵MH//AA1//DD1,∴HAHD=MADM1=NBND,∴HN//AB.又∵AA1⊥AB,∴MH⊥HN.在Rt△MHA中,∠MAH=45°,∴MH=&22AM=&22x.同理,HN=&22DN=&22(2-x).在Rt△MHN中,MN=&MH2+HN2=21x2+12(2-x)2&=&x2-2x+2,即MN=&x2-2x+2(0相似文献   

初中数学最值种种

正1.运用点到直线的距离例1(2009年陕西)如图1,在锐角三角形△ABC中,∠BAC=45°,AB=4槡2,∠BAC的平分线交BC于D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是.解延长BM交AC于点H,当BH⊥AC且MN⊥AB时BM+MN最小,此时由题意知∠BAD=∠CAD,AM=AM,∠AHM=∠ANM=90°,所以△AHM≌△ANM,所以MH=MN,BM+MN=BM+MH=BH.又由AB=槡4 2,∠BAC=45°得BH=4,即BM+MN的最小值为4.     

初中数学最值种种

1.运用点到直线的距离例1（2009年陕西）如图1,在锐角三角形△ABC中,∠BAC=45°,AB=4槡2,∠BAC的平分线交BC于D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM＋MN的最小值是.解延长BM交AC于点H,当BH⊥AC且MN⊥AB时BM＋MN最小,此时由题意知∠BAD=∠CAD,AM=AM,∠AHM=∠ANM=90°,所以△AHM≌△ANM,所以MH=MN,BM＋MN=BM＋MH=BH.又由AB=槡4 2,∠BAC=45°得BH=4,即BM＋MN的最小值为4.     

高频考点突破之空间平行、垂直证明与求体积

<正>考点一:直线、平面平行的判定及其性质与几何体的体积例1[2016年·课标卷Ⅲ,文19]如图1所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面AB CD, AD//BC, AB= AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点。(Ⅰ)证明MN//平面PAB;(Ⅱ)求四面体N-BCM的体积。证明:(Ⅰ)由已知可得:AM=2/3AD=2,     

分析反思 探究新解

1分析解法首先看一位教师对2012年高考数学浙江卷理科第15题的讲评:在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则AB·AC=____.解∵AB=AM-1/2BC,AC=AM+1/2BC,∴AB·AC=(AM-1/2BC)·(AM+1/2BC)=AM2-1/4BC2=9-1/4×100=-16.老师讲完以上解法马上转入下一道题,没有分     

中考数学折叠问题例析

点P的位置 ,折痕为BQ ,连结PQ .( 1 )求MP的长 ;( 2 )求证 :以PQ为边长的正方形的面积等于13.( 1 996 ,宁夏回族自治区中考题 )分析 :( 1 )连结BP、PC .MN是正方形对折的折痕 ,BP =PC .又点C和点P关于BQ折痕成轴对称 ,则BQ垂直平分PC ,有BP =BC ,∠ 1 =∠ 2 .故BP =PC =BC =1 ,△PBC是等边三角形 ,即∠ 1 =∠ 2 =30°.在Rt△BNP中 ,PN =BP2 -BN2=1 - 122 =32 .故MP =MN -PN =1 - 32 .( 2 )通过折叠不难得到PQ =QC ,∠ 1 =∠ 2 .图 4在Rt△QCB中 ,QC =BC·tan 30° =33.故以PQ为边长的正方形面积是 332=13.4　两…     

圆中常用辅助线作法例谈

“圆”是初中平面几何的难点,也是中考的重点内容之一.在解圆的相关题目时,一般都需要添加辅助线,因此,掌握圆中辅助线的作法是解这类问题的关键.下面介绍几种圆中常用辅助线的作法,以帮助同学们更轻松地攻克这一难关.一、有直径,作圆周角若题目中有直径这一条件,可作直径上的圆周角,以利用直径上的圆周角是直角这一特点解题.例1已知:如图1,AB是⊙O的直径,MN切⊙O于点C,AM⊥MN,垂足为M,BN⊥MN,垂足为N,CD⊥AB,垂足为D.求证:①∠NCD=∠A;②CD2=AM·BN.证明:①因为∠A ∠DCM=360°-(∠AMC ∠ADC)=360°-180°=180°,∠NCD …     

2006年第8期问题解答

43.设△ABC的边BC、CA、AB上分别有点K、L、M,求证:在△LAM、△MBK和△KCL中,至少有一个面积不大于△ABC面积的四分之一.证明:用SA、SB、SC和S分别表示△LAM、△MBK、△KCL和△ABC的面积.因为SA=21AM·AL·sinA,S=12AB·AC·sinA,所以SSA=AAMB··AACL.同理SSB=BBMA··BBCK,SCS=CCBK··CCAL.于是SA·SSB3·SC=AMA·BM2B·BKB·CK2C·CLC·AL2A.因为AM·MB≤14(AM MB)2=41AB2.所以AMA·BM2B≤14.同理BKB·CK2C≤14,CLC·AL2A≤14.即SA·SSB3·SC≤41"#3.所以SSA,SSB,SSC…     

2019年全国高中数学联赛新疆赛区预赛第9题推广

1.原题呈现(2019年全国高中数学联赛新疆赛区预赛第9题)设F为椭圆E:x^2/3+y^2=1的左焦点,过点F斜率为正的直线l与椭圆E交于A,B两点,过点A,B分别作直线AM,BN,满足AM⊥l,BN⊥l,且直线AM,BN分别与x轴交于点M,N.求|MN|的最小值.     

异面直线的两个结论(高二)

1.定理 设P、Q、M、N是空向任意四点,则PM2-PN2=QM2-QN2(?)PQ⊥MN. 证明 如图1,设 (PM|→)=a,(PN|→)=b,(PQ|→)=c,由PM2-PN2=QM2-QN2,得 a2-b2=(a-c)2-(b-c)2,即 a·c-b·c=0, (a-b)·c=0,所以 PQ⊥MN. 反之,若PQ⊥MN,则可逆推过去得出 PM2-PN2=QM2-QN2.于是定理得证.这个定理给出了异面直线垂直的一个充要     

由“勾股分割点”说起

<正>新定义类试题是近年中考的一个热点.2015年浙江省台州市数学中考压轴题中提出了线段的勾股分割点的定义:点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.若记MN为最长边,其特征是AM²+BN2+BN²=MN2=MN².在该试题的压轴一问中利用该性质,转化为三个正三角形面积间的关系,文[1]中呈现了多种解法,甚是精彩.但笔者在解决此题后,不免引起思考:如果此新定义中能引入相似三角形的面积与勾股定理间关系的性质,那该多妙啊!笔者缘起于此,一念成文与读者交流.     

代数在几何上的应用

众所周知,代数是研究几何的有力工具.可是,初学几何的人往往注意到用几何定理解题,而忘记代数的方法.为此,笔者从几个方面,用典型例题阐明代数在几何上的应用。 (一)方程、方程组的应用 [例一]:⊙O和⊙OO′相交于A、B.⊙O′的弦PM延长切⊙O于N,又交AB延长线于G,且PM=MN,求,MG:GN:MP:PG 解:设 MP=MN=2a。 NG=x由切割线定理知, NG~2=GB·GA =GM·GP     

从一道习题想开去

在几何复习课中,若从一道典型的题目变化或引伸出去,便能收到举一反三与温故知新的功效。下面就第二册课本P.155第6题展开讨论。题目如下: 已知:如图1,MN是⊙O的切线,C为切点,AB是⊙O的直径,AM⊥MN,BN⊥MN。求证:AM BN=AB。分析:本题的证明多为连结OC,利用梯形中位线定理证之,但如果注意到所证结论为线段的和形式,也会想到利用“截长法”,在AB上截取AD=AM,并连结AC、BC,如图1,通过△AMC≌△ADC和△BNC≌△BDC证出。     

一道几何题的多种证法

在△ ABC中 ,∠ C=90°,CD⊥ AB于 D,AM是∠ BAC的平分线 ,交 CD于 E,交 BC于 M,过E作 EF∥ AB交 BC于 F。求证 :CM=BF。证法一 :(运用三角形知识 )证明 :过 M作 MN⊥ AB于点 N。∵∠ 1=∠ 2 ,易证△ ACM≌△ ANM,∴CM=MN。　 ( 1)又 CD⊥ ABMN⊥ AB CD∥ MN, ∠ 3=∠ 5∠ 4 =∠ 5 ∠ 3=∠ 4 CE=CM。　 ( 2 )由 ( 1)、( 2 )得 CE=MN。在 Rt△ EFC和 Rt△ NBM中 ,EF∥ AB ∠ B=∠ CFE,∠ CEF=∠ MNB,CE=MN Rt△ EFC≌ Rt△ NBM,∴ CF=BM,∴ CM=BF。　　证法二 :(运用四边形知识 )证明 :过 M…     

分类思想在相似三角形中的应用例

分类讨论是一种很重要的数学思想方法,渗透在整个初中数学结构体系之中,作为体现分类思想的一个绝好的载体,相似三角形常常因为对应边或对应角的不确定而需要加以分类讨论,本文就此略举几例说明如下.一、对应边不确定例1如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,点M在AB上且AM=3,点N在AC上,如果连结MN,使得△AMN与原三角形相似,则AN=.分析:△AMN相似于△ABC,但由题意AM的对应边是不确定的,可分两种情形讨论:解:1AM对应AB时,则ANAC=AMAB,∴AN=6×39=2;2AM对应AC时,则AMAC=ANAB,∴AN=3×96=92=4.5.故AN=2或4.5.例2如图,在直角梯形A…