梅涅劳斯定理及其应用

1　基础知识梅涅劳斯定理　设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点 .若A′、B′、C′三点共线 ,则 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=1 .①证明 :如图 1 ,过A作AD∥C′A′交BC延长线于D ,则　 CB′B′A=CA′A′D,AC′C′B =DA′A′B ,故　 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B =BA′A′C·CA′A′D·DA′A′B=1 .梅涅劳斯定理的逆定理　设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC ,CA ,AB或其延长线上的点 ,若BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B =1 ,②则A′、B′、C′三点共线 .证明 :设直线A…     

构造单位圆,巧解三角题

有些三角问题 ,若根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,巧妙地构造单位圆 ,化数为形 ,利用单位圆的直观性 ,便可简捷地求得问题的解 .例 1　已知sinA +sin 3A+sin 5A =a ,cosA +cos 3A +cos 5A =b ,求证 :当b≠ 0时 ,tan 3A =ab.证明　如图 1,因点A′(cosA ,sinA)、B′(cos 3A ,sin 3A)、C′(cos 5A ,sin 5A)均在单位圆上 ,连结OA′、OB′、OC′ ,则有∠A′OB′ =∠B′OC′=2A ,于是｜B′A′｜ =｜B′C′｜ , A′B′C′为等腰三角形 ,其重心必在B′O上 .又 A′B′C′的重心坐标x =13 (cosA +cos 3A +cos 5A) =13 b ,y…     

塞瓦定理及应用

1　基础知识塞瓦定理　设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点 .若AA′、BB′、CC′三线平行或共点 ,则 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=1 .①证明 :若AA′、BB′、CC′交于一点P ,如图 1 (b) ,过A作BC的平行线 ,分别交BB′、CC′的延长线于D、E ,得 CB′B′A=BCAD,AC′C′B=EABC .又由 BA′AD =A′PPA =A′CEA ,有 BA′A′C=ADEA .从而 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=ADEA·BCAD·EABC =1 .若AA′、BB′、CC′三线平行 ,可类似证明 (略 ) .注 :对于图 1 (b)也有如下面…     

九年级第一学期期中数学质量检测题

一、选择题(每小题3分,共30分)图11.如图1,△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=1,将△ABC绕顶点A旋转180°,点C落在C′处.则CC′的长为().(A)42(B)4(C)23(D)25图22.如图2,在四边形ABCD中,∠B ∠D=180°,AB=AD,AC=1,∠ACD=60°.则四边形ABCD的面积为().(A)3(B)23(C)43(D)33图33.如图3     

这样的两个三角形全等吗?

初中《几何》第二册(人教版)第49页有一道例题:已知,如图1,在△ABC 和△A′B′C′中,CD、C′D′分别是高,并且 AC=A′C′、CD= C′D′、∠ACB=∠A′C′B′,求证:△ABC≌△A′B′C′.证明过程详见课本.若把例题中条件∠ACB=∠A′C′B′换成 BC=B′C′,那么     

八年级数学单元测试题（课标人教版）

一、填空题(每空2分,共18分)1.两个能够完全重合的图形称为____________,全等图形的__________和大小完全相同.2.如图1,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠C=20°则∠OAD=_____________.3.如图2,已知AB=AD,∠1=∠2,要使△ABC≌△ADE,还需添加的条件是(只需填一个)____________.4.如图3,P是∠AOB的平分线上一点,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,则图中相等的线段有__________________.5.在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,∠A=∠B′,AB=A′B′,则下列结论①AC=A′C′,②BC=B′C′,③AC=B′C′,④∠A=∠A′中,正确的是____…     

锐角三角函数常见错误例析

正在锐角三角函数中,涉及的概念较多,同学们要避免以下错误.一、概念不清例1把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′,那么锐角A,A′的余弦值的关系为().A.cosA=cosA′B.cosA=3cosA′C.3cosA=cosA′D.不能确定     

巧用圆的特性求解综合题

<正>圆,是到定点等于定长的点的轨迹.圆的这一特性,使得圆在求解很多看似与圆毫无关系的综合题中起到了巧妙的作用.一、解决丢解问题例1 如图1(1),在Rt△ABC中,∠C=90°.将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C,旋转角为α,在旋转过程中,点B′可以恰好落在AB的中点处,如图1(2).(1)求∠A的度数;(2)当点C到AA′的距离等于AC的一半时,求α的度数.分析与解 (1)∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△A     

逆平行的应用

定义1[1]与△ABC外接圆在顶点C处的切线l平行直线A′B′称为AB的逆平行线.如图1,若A′B′逆平行于AB且交CA、CB分别为点A′、B′,则△A′B′C逆向相似于△ABC.莫要看它有点古怪,有时将起到出奇制胜的功效.     

改进与转化演示实验提高实验功效

一、改进演示实验1 .关于平面镜实验的改进方案将同桌的两位同学编成一组 ,发一块厚度为 3毫米、长约 1 5厘米、宽 1 0厘米的玻璃片 ,在桌子上放一张信纸 ,一位同学让玻璃片靠着物理课本立在纸上 ,保持玻璃与纸面垂直 ,且让玻璃片与信纸某一直线重合 ,这条直线用 GH来表示。在玻璃片前的白纸上画一任意三角形 ,在顶点分别标出 A、B、C,此时 ,可以在玻璃板前面看到△ ABC在玻璃片后的虚像 ,用笔把三角形虚像的对应顶点标出并写上 A′、B′、C′,用虚线连接 A′B′、A′C′、B′C′,得出△ ABC的虚像位置△ A′B′C′,沿着 GH线对折…     

再谈蚂蚁怎样走最近

北师大版八年级(上)第13页《蚂蚁怎样走最近》一节中,有一引例:如图1所示,一个圆柱它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米.在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物,问蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?(π的取值为3)分析:蚂蚁怎样走最近,指的是蚂蚁走的路线最短问题,解决此问题的思路是将圆柱侧面剪开成一个长方形.即把空间中曲面上的路程问题转化为平面上两点之间的距离问题.假设圆柱有上、下底面,我们来做如下的解析、思考与探究.再谈蚂蚁怎样走最近!山东@孟坤     

一道中考题结论的拓展

<正>中考题是命题者智慧的结晶.教师在平常的教学中,若能创造性地利用中考题,是化解"题海战术"的重要方法.本文将2019年广西贵港一道中考题的结论作如下拓展,与同行们作一交流.一、原题呈现已知:△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C,记旋转角为α,当90°<α<180°时,作A′D⊥AC,垂足为D,A′D与B′C交于点E,(1)如图1,当∠CA′D=15°时,     

正弦定理的联想及其它

由正弦定理出发,我们可以得到如下定理:△ABC中,以sinA、SinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。且△ABC∽A′B′C′,△A′B′C′外接圆直径为1。证明:设△ABC外接圆半径为R, sinA+sinB=1/2R (a+b)>1/2R·C=sinC。同理可证 sinA+sinC>sinB,sinB+sinC>sinA。因此以sinA、sinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC,因此△ABC∽△A′B′C′,则A=A′,B=B′,C=C′。设△A′B′C′外接圆半径为R′,对△A′B′C′施行正弦定理,则sinA/sinA′=2R′=1。由这个定理出发,有下面的二个应用。一、关于三角形中一些恒等式和不等式的互证     

三角中一个代换公式

定理:已知△ABC中,必存在一个锐角三角形△A′B′C′,使满足2A′ A=π,2B′ B=π, 2C′ C=π.     

另类转化

<正>转化是一种重要的解题策略,通过转化达到"化难为易"、"化繁为简"、"化未知为已知"的目的.例如:如图1,有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米.在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?(选自北师大版八年级数学上册P13例题)解决这类问题的策略是将空间的曲线问题转化为平面的线段问题,利用"两点之间,线段最短"及"勾股定理"     

联想·猜想·证明

初中几何教材在讲完两个三角形全等的判定方法后强调指出,有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.不一定全等,就是说可能全等,也可能不全等.例如,如图1,在△ABC 和△ABD 中,已知AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,显然它们不全等;如图2,在△ABC 和△A′B′C′中,已知 AB=A′B′,AC=A′C′,∠ACB=∠A′C′B′=Rt∠,则△ABC ≌△A′B′C′(即“斜边、直角边”定理).     

问题2．10参考答案

图1如图1,连结CD,将△ACD以D为旋转中心顺时针旋转60°到△BC′D,连接CC′则∠C′DB=∠CDA,CD=C′D,BC′=AC=b,∴∠C′DC=∠BDA=60°.∴△CDC′是等边三角形,∴CC′=CD.∴在△CBC′中,CC′≤CB+C′B=a+b.∴CD≤a+b.当C′,B,C在同一条直线上时,CD取最大值a+b.这时∠DBC′+∠DBC=180°.又∠D B C′=∠D A C,∠D B A=∠DAB=60°,∠BCA+∠CBA+∠CAB=180°,∴∠DAC+∠DBC=180°,∴∠CBA+∠CAB=60°,∴∠ACB=120°.故当∠ACB为120°时,CD取最大值,最大值为a+b.问题2.10参考答案…     

一道高考数学试题值得商榷

今年高考数学试题(理工农医类)第二大题第七小题:“一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30厘米和12厘米,而侧面积等于两底面积之差,求斜高。”依题目条件虽然可以解得斜高h′=3~(1/2),但满足该题条件的正三棱台实际是不存在的。如图1,设正三棱台A′B′C′—ABC的上底、下底的周长分别为12厘米和30厘米,正△A′B′C′和正△ABC的中心分别是O′和O,A′B′和AB的中点分别是M和N连结O′O、MN、O′M、ON,则     

利用物理量倒数函数图像解题两例

正例题1:蚂蚁离开蚁巢沿直线爬行,它的速度与它到蚁巢中心的距离成反比。当蚂蚁爬到距蚁巢中心L_A=1m处的A点时,速度是V_A=2cm/s。求:蚂蚁继续由A点爬到距蚁巢中心L_B=2 m的B点时需要多长的时间?解析:设蚂蚁爬行速度v=k/T,其中k为常数。由题意有V_A=2cm/s,求得k=O.02m~2/s。     

构造直角三角形,求解最短距离

我们利用轴对称可将实际生活中的最短路线化归为两点间的线段.那么怎样求解这样的最短距离呢?这里关键是将问题中的已知线段通过平移与两点间的线段构成直角三角形,由此利用勾股定理求解.例1如图1,两个村子位于河流CD的同侧,它们到河流CD的距离分别为AC=1km,BD=3km,量得CD=3km;现在要在河岸CD上建一座水厂向两村输水,问最少要用多长的水管?图1图2解如图2,①作点A关于CD的对称点A′,连接A′B交CD于P,由轴对称性质知,最短水管长AP+BP=A′P+BP=A′B.②过点A′作A′H⊥BD于H,则A′H=CD=3km,DH=A′C=AC=1,所以BH=BD+DH=3+1…