一个分式不等式的别证

<数学通报>2004年第2期"数学问题解答"栏第1472题是: 已知a,b∈(0, ∞),a b=1,求证:     

一道2007北方数学奥林匹克试题的推广

2007第三届北方数学奥林匹克第8题为设ΔABC的内切圆半径为1,三边长BC =a,CA=6,AB=c.若a、6、c都是整数,求证:ΔABC为直角三角形.文[1]中刘康宁先生指出,该题曾刊登于《数学教学》2000年第1期"数学问题"栏.其实     

创设教学情境 提高教学效率

一、创设问题情境在三年级下册口算除法的配套练习中,第8页第10题提升能力题中"三二班有40名同学到海边游玩,他们每人想吃1支冰淇淋蛋筒,只需付多少支冰淇淋蛋筒的钱?(冰淇淋买4送1)因为工作调整,好几年没带过数学课,猛一拿到这道题,我想的算式是"4+1=5,40÷5=8"。开动脑筋后又想,这"8"的单位是什么呢?     

对一道高考题的深度探究

<正>2011年高考数学安徽卷理科第10题,题目新颖,内涵丰富,引起了我们的思考.题目如下:函数f(x)=ax m(1-x)n在区间0[,1]上的图像如图1所示,则m,n的值可能是().A.m=1,n=1B.m=1,n=2C.m=2,n=1D.m=3,n=1一、试题分析本题是个函数图像题,此类题目在高考中已不新鲜,但本题的出现却令人耳目一新,有着高等数学的背景.所给函数是一元多项式函数,图像中渗透着函数的增减性和驻点问题.体现了高考试题的"常考常新,推陈出新"的理念,可以看出命题者对初、高等数     

一道错题的错因剖析

题如图1,正方形ABCD有一内接△AEF,若∠EAF=45°,AB=8,EF=6,求△CEF的而积, 这是某市的一道初中竞赛试题.显然是从第四届"祖冲之杯"初中数学邀请赛第四题的解答过程中受启发编拟而成的.原编拟者提供的答案如下:     

对一道西部数学竞赛试题的深入研究

2008年中国西部数学奥林匹克竞赛试题第6题为:问题1设x、y、z、E(0,1),满足√1-x/yz+√1-y/zx+√1-z/xy=2,求xyz的最大值.文[1]、[2]均给出问题1的初等解答,所用的方法是:①利用二元均值不等式,但需要"凑"系数;②利用柯西不等式,并注意等号成立的条件.     

用科学记数法如何表示100000

人教版义务教育教科书2012年6月第1版《数学》七年级上册,第45页"1.5.2科学记数法"一节,有一道例题如下:例5用科学记数法表示下列各数:1000 000,57 000 000,-123 000 000 000.解:1000000=10⁶,57000000=5.7×10⁷,-123000000000=-1.23×10¹¹.笔者认为,此处的"1000000=10⁶"是不妥的,用科学计数法表示应该是1000000=1×10⁶.原因有以下几点:1.书中科学记数法的定义:像上面这样,把一个     

初学数学归纳法易犯的通病

1　数学归纳法所谓“数学归纳法”是证明一个与自然数ｎ有关的数学命题时 ,所采取的一种证明方法。其具体步骤 :( 1)验证ｎ取第一个值ｎ0 时 (如ｎ0 =1、2或 3)命题成立 ;( 2 )假设ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,并且在此假设条件下 ,当ｎ =ｋ +1时结论也正确。则原命题正确。这种方法我们称之为数学归纳法。如证明等差数列的通项公式ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄ证明 :( 1)当ｎ =1时左边 =ａ1右边 =ａ1+( 1- 1)ｄ =ａ1等式成立( 2 )假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ 1)时ａｎ=ａ1+(ｋ - 1)ｄ则当ｎ =ｋ +1时ａｋ +1=ａｋ+ｄ =ａ1+(ｋ - 1)ｄ +ｄ=…     

摭谈“耐克函数”教学的三个层次与几个细节

众所周知,函数y=x+a/x(a>0)的图像形似"耐克"商标,因而被人们形象地称为"耐克函数",有时也叫做"双钩函数".因其在求函数的值域、最值及不等式中的广泛应用,特别是多次以不同形式呈现在全国及各地高考试卷中,所以它越来越受到人们的重视——苏教版高中数学教材[1](必修1)习题中有3处涉及该模型(第43页练习第6题、第45页习题第10题、第55页本章测试第14题).但在实际教学中,老师们往往在高一年级的函     

浅谈数学归纳法证题中的分离与整体代入

在应用数学归纳法证题时,关键的一点是第二步证明当"n=k 1"命题成立时,必须用上"n=k"时命题成立的归纳假设.这就需要从"n=k 1"的形式中合理地分离出"n=k"的形式,或者合理地直接达到分离、代入归纳假设的目的,这是证题中的重点和难点.这里浅谈几种较为简捷的证法.     

一道高考压轴题的思维过程

2014年高考江苏卷第20题为:设数列{an}的前n项和为若对任意正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是"H"数列.(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n,证明:{an}是等差数列,首项a1=1,公差d<0,     

两道数学联赛题的另解

题1:(2007年高中数学联赛江西省预赛第12题)将各位数码不大于3的全体正整数n按自小到大的顺序排成一个数列{a_n},则a_(2007)=解:简称这种数为"好数",则一位好数有3个;两位好数有3×4=12个;三位好数有3×4~2=48个;…,k位好数有3×4~(k-1)个,k=1,2,….记S_n=3∑_(k=1)~n 4~(k-1),因S_5<2007相似文献   

孰对? 孰错?——一道课本习题的解答研究

1问题苏教版数学选修2?1第23页,本章测试第11题:写出命题"若a=b,则lg a=lg b"的逆命题,否命题,逆否命题;并判断它们的真假性.解原命题:若a=b,则lg a=lg b.逆命题:若lg a=lg b,则a=b.逆否命题:若lg a≠lg b,则a≠b.否命题:若a≠b,则lg a≠lg b.其中,逆命题与否命题是真命题.一般认为     

巧求面积与底长

如图1所示,若梯形ABCD的上底AD长16厘米,高BD长21厘米,并且BD=3DE,则三角形ADE的面积是——平方厘米,梯形的下底BC长厘米。(第十一届小学"希望杯"全国数学邀请赛五年级第1试第12题)     

巧用数学思想解答数列问题

1.归纳思想归纳思想是数列学习过程中的重要思想方法之一,教师要重视学生观察、发现、猜想、归纳等学习过程的体验,强调归纳思想的具体运用.例1写出数列13+2,13+6,13+12,13+20,13+30……的一个通项公式,并验证2563是否为该数列中的一项.解:数列每项由两个数的和组成,第1个数都是13,第2个数分别为2,6,12,20,30,……,都是两个连续自然数的乘积:1×2,2×3,3×4,4×5,5×6…….∴该数列的通项公式为an=13+n(n+1)(n∈N+).令13+n(n+1)=2563,即n2+n-2550=0,解得n=50或n=-51(舍去).     

一道调研测试题的解法赏析及复习启示

<正>武汉市2014届高三2月调研测试理科数学第7题是:设a、b∈R,则"a(1-b2)(1/2)+b(1-a2)/(1/2)=1"是"a2+b2=1"的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件该题的正确答案是A,必要性不成立,只需取特值如a=-1,b=0即可说明.关于条件充分性的证明,可以联系相关数学知识站在不同角度审视,得到风格迥异的解法.试题虽小但背景丰富,难度不大但深刻隽永.该题不仅是一道漂亮的调研试题,更是我们开展二轮复习的绝好素材.     

一道第49届IMO赛题的类比

正第49届国际数学奥林匹克数学竞赛第2题是:设实数x,y,z都不等于1,满足xyz=1,则x~2/(1-x)~2+y~2/(1-y)~2+z~2/(1-z)~2≥1.本文给出上述不等式的一个类比:命题1设实数x,y,z都不等于-1,且xyz=1,则x~2/(1+x)~2+y~2/(1+y)~2+z~2/(1+z)~2≥3/4.     

错在哪里

《高中导学大课堂(配新课程苏教版数学·必修Ⅱ)》第25页类题演练2如下:题如图1,已知E和F分别是正方体ABCD-A1B1C1D2的棱AA1和CC1上的点,且AE=C1F,求证:四边形EBFD1是平行四边形.在该书的教师用书第29页的解答是:图1证明∵AE=C1F,∴A1E=FC.∵BC=A1D1,且∠D1A1E=∠BCF=90°,∴△     

高中数学基础训练题（2）

函数1 .对于任意函数 y=f ( x) ,在同一坐标系里y=f( x- 1 )与 y=f( 1 - x)的图象(　　 ) .( A)关于 x轴对称( B)关于直线 x+ 1 =0对称( C)关于 y轴对称( D)关于直线 x- 1 =0对称2 .从盛满 2 0升纯酒精的容器里倒出 1升 ,然后用水填满 ,再倒出 1升混合溶液 ,又用水填满 ,这样继续进行 ,如果倒第 k次 ( k≥ 1 )时共倒出纯酒精 x升 ,倒第 k+ 1次时共倒出纯酒精 f( x)升 ,则函数 f( x)的表达式是 (　　 ) .( A) f ( x) =1 92 0 x( B) f( x) =1 92 0 x+ 1( C) f ( x) =12 0 x( D) f( x) =12 0 x+ 13.设 f( x) =lg( 1 0 x + 1 ) + ax 是偶函…     

数学问答

63.问:数列1,1,2,3,5,8,13,21,……从第三项起,它的每一项都是前两项之和,求其前n项和. (重庆市钢城中学高一(2)班唐大君)答:由递推关系a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3)所确定的数列称为斐波那契数列,通过特征方程可求出其通 .现在,你