二次根式错解四则

例1 x是什么实数时,(（x-2）^1/2)/（x-3）在实数范围内有意义?错解由x-3≠0,得x≠3.分析只注意分母不为零,而忽略被开方数x-2应为非负数.正解由题意{x-3≠0,x-2≥0,得x≥2且x≠3.     

目标分析法

根据控制论的“反馈——控制”原理,解题机制为:首先按照问题的要求建立一个解题目标,然后比较初始条件、中间状态与解题目标之间的差异,以此确定和调整解题方向,使差异逐步缩小,最终达到解题目标,实现解题。 例1 解方程 (2x-3)/3-(5x 4)/6=(x-10)/2(1)将方程(1)与解题目标x=a作比较,要想缩小它们之间的差异,应将分母去掉,于是得2(2x-3)一(5x 4)=3(x-10) (2)     

一元一次方程

1．下列方程中：x-2=3；a^2＋2a＋1=0；3x-2y=-1，3＋2=5，是一元一次方程的是__．     

忽视特例引出的失误

例1 a~2是怎样的数?-a~2呢? 错解:a~2是正数,-a~2是负数。 剖析:忽视零的特例。正确答案为a~2≥0为非负数,-a~2≤0为非正数。 例2 解不等式x(x-3)~2>2(x-3)~2。 错解:x>2 剖析:忽视特例x-3≠0。正确答案为x>2且x≠3。 例3 如果(y z)/x=(z x)/y=(x y)/z=k,求k值。     

解方程创新思维例谈

例1解方程：3（x＋1）-1/3（x-1）=2（x-1）-1/2（x＋1）.     

构造等差数列巧解方程

例1解方程3x-2^1/2+x+3^1/2=3.解由3x-2^1/2+x+3^1/2=3,得3x-2^1/2+x+3^1/2=2×3/2,所以3x-2^1/2,3/2,x+3^1/2成等差数列,不妨设公差为d,于是有     

利用换元法解无理方程

换元法是一种重要的数学方法,在解无理方程中也常常应用.这里举数例,观其运用规律.一、形如(ax+b)~(1/2)=cx+d 的方程,可作y=(ax+b)~(1/2)代换例1 解方程(3x-8)~(1/2)=x-4.解令 y=(3x-8)~(1/2),则 y~2=3x-8,即 x=((y~2+8)/3),     

代入法求分式值的几种途径

分式的学习中,经常遇到含条件的求分式值的问题,们,要注意根据题式和求式的特点,灵活利用代入法. 一、整体代入 1 例1 若x2+x-2=0,那么x2+x- =摇摇摇 摇. x2+x 解:视x2+x为一个整体. 1 1 ∵x2+x-2=0,∴x2+x=2, = . x2+x 2 3 则求式= . 2 二、公式代入 1 1 例2 设x- =1,则x2+ =摇摇摇 摇摇. x x2 1 1 解:由x- =1,得 (x- )2=1. x x 则求式=( x- )2+2·x·1 1 x x =3. 三、倒数代入 1 1 2 ab 例3 已知 - = ,…     

从一节数学课谈对新课改的几点认识

本文通过对一节数学课例的剖析,从实践层面探讨如何落实“以学生发展为本”的课改理念。一、课例简述授课内容：“可化为一元一次方程的分式方程及其应用”第一课时。上课开始,我板书几道方程题让学生解：(1)x 1=5；(2)(3x-1)/2=(x-5)/3；(3)6/x=3；(4)3x/(x-2)=5。前两题是已经学过的一元一次方程,学生很快解了出来。做到(3)时,学生感到陌生,     

用一元一次方程解决实际问题四例

例1小明在做家庭作业时,不小心把墨水滴到了练习册一道解方程题上,题目中一个数字被墨水污染了.这个方程是:(x+1)/2- (5x-)/3=-1/2.""是被污染的数字,""是哪个数字呢?他很着急,想了想,便翻看了书后答案,得知此方程的解是x=2,你能帮他补上被污染""的数字吗?     

一个探索性问题的探索

贵刊1994年第3期P.36《条件探索性问题》的例3一题解答有误,正确的解答如下: ∵.A={(x,y)|(y-3)/x-2=a 1}, 集合A表示直线y-3=(a 1)(x-2)除去点(2,3),又     

解一元一次不等式的技巧

怎样才能正确而迅速地解一元一次 不等式?现结合实例介绍一些技巧,供同 学们参考. 一、巧用乘法 例1解不等式0.25x>10.5. 分析 因为0.25×4=1, 所以两边同乘以4要比两边 同除以0.25来得简便. 解两边同乘以4,得 x>42. 二、巧用对消法 例2 解不等式2x/3-(x-3)/5>16+(6-2x)/10. 分析 因为(6-2x)/10=-(x-3)/5,所以两边     

一道课本习题的五种换元解法

题 用换元法解方程((x 2)/(x-1))~(1/2) ((x-1)/(x 2))~(1/2)=5/2。 (人教版初中代数第三册第57页第3题) 解法一 (运用倒数关系换元) 设((x 2)/(x-1))~(1/2)=y,则((x-1)/(x 2))~(1/2)=1/y, ∴原方程化为y (1/y)=5/2, 解这个方程,得y_1=2,y_2=1/2。 当y=2时,((x 2)/(x-1))~(1/2)=2, 解之,得x_1=2;     

例谈解分式方程中的拆项意识

解分式方程的基本思想是去分母转化为整式方程,常用的转化途径是在方程的两边都乘以最简公分母.对于某些问题,利用拆项方法,可使解分式方程的过程巧妙、简捷.例1.解方程xx-5=xx--62解:不难发现,xx-5=(x-x-5)5 5=1 x-55,x-2x-6=(x-x6-)6 4=1 x-46∴1 5x-5=1 x-46∴x-55=x-46∴5(x-6)=4(x-5)解之,得x=10经检验,x=10是已知方程的解.例2.解方程x-4x-5-xx--65=xx--87-xx--98解:已知方程化为(1 1x-5)-(1 x-16)=(1 x-18)-(1 x-19)∴1x-5-x-16=x-18-x-19∴-1x2-11x 30=x2-1-71x 72∴x2-11x 30=x2-17x 72解之,得x=7.经检验,x=7是已知方程的解.例3.解…     

求直线方程常见错解剖析

一、忽略斜率不存在若将直线方程设为点斜式或斜截式,则应针对斜率是否存在进行分类讨论,否则极易漏解.【例1】　求过(2,1)且与直线y=3x-1夹角为30°的直线方程.错解:设所求斜率为k,因为直线y=3x-1的斜率为k1=3,由3-k1+3k=tan30°=33,得k=33.故所求直线方程为y-1=33(x-2),即x-3y+3-2=0.剖析:这里忽略了斜率不存在的情况.事实上,还有一条直线x=2也满足.【例2】　已知直线l经过点(4,8),且到原点的距离是4,求直线l的方程.错解:设所求直线l的方程为y-8=k(x-4),可化为kx-y+(8-4k)=0,由点线距离公式可得|8-4k|k2+1=4,解得k=34.所求直线方程为y-8=3…     

分析特点巧解分式方程

一、巧用倒数关系 例1 解方程:(2x+10)/x+x/(2x+10)=145/12。 分析 观察方程,左边两个分式互为倒数,右边145/12=12+1/12,12与1/12也互为倒数。由此特点可巧解方程。 解 原方程变形为(2x+10)/x+x/(2x+10)=12+1/12。∴(2x+10)/x=12,或(2x+10)/x=1/12。 解得x_1=1,x_2=-120/23。     

解方程病例剖析

1.忽视方程的同解 例1 解方程:(x-1)(x-2)=x-1. 错解:两边除以(x-1),得 x-2=1,x=3. 评注:忽视了方程的同解,方程两边除以(x-1)就可能导致丢根x=1.为此,把原式整理成(x-1)(x-2-1)=0. ∴x_1=1,x_2=3为所求. 例2 解方程:(x a)/(x-b) (x b)/(x-a)=2. 错解:两边同乘以(x-b)(x-a),有 (x a)(x-a) (x b)(x-b) =2(x-a)(x-b), 即2(x-a)x=(a b)~2. ∴当a b≠0时,x=(a b)/2.     

不等式应用难点探索

<正>难点之一:讨论主要是涉及绝对值不等式及含参数的不等式问题,需讨论。例1解关于x的不等式a(x-1)/x-2>1(a≠1)。分析:对于a的不同取值会影响到不等式的解集,应对a进行分类讨论。解:化简得(a-1)x+(2-a)/x-2>0。     

分式方程的增根及其应用

首先让我们来看一道例题:例:解分式方程2x 1 x-31=x26-1①.解:方程两边都乘以(x 1)(x-1),得2(x-1) 3(x 1)=6.解这个整式方程,得x=1.检验:当x=1时,(x 1)(x-1)=0,∴x=1是增根,故原分式方程无解.从解方程的过程可以看到:为解分式方程,需要在①的两边都乘以最简公分母(x 1)(x-1),达     

例谈几种无理方程的求解策略

解无理方程,是初中教学的难点.为了帮助广大中学生解好此类方程,现提出如下策略,供参考.1利用基本不等式对具有倒数关系的无理方程,应用基本不等式“a b≥2ab,(a>b,b>0),等号当且仅当a=b时成立”来解,方法巧妙,简便易行.例1解方程36x-2 y4-1 4x-2 y-1=28解:注意到1x-2与x-2以及