运用均值不等式错解剖析

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等号不成立时的处理方法

利用不等式中等号成立条件求最值是解决最值问题的常用方法,学生在利用这种方法求最值时,常常会发现等号不能成立而导致错解.但此时往往束手无策,一筹莫展,那么出现这种情况后,又该如何走出困境呢?本文介绍几种常用的处理方法,供参考.1拆项例1(1989年广东省高考题)求y=2sinx si     

利用均值不等式求最值致错种种

在应用均值不等式的有关定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项都是正数；二定——积或和是定值；三等——等号能否取得．”若忽略了某个条件，就会出现各种似是而非的错误．     

等号成立条件的探究

C是BD边上的一点,艺BAC于是由几ABD=S△ABc 一告·。51·60。 告,一,·60 1占一Z 1一X在文【l]中提到了一道不等式证明题:已知x>0,V>0,z>0,求证:了护一却 沪十仰2一尹 护>了xZ xz 沙.原文作者可能在这里丢了一个“=”号,也就是说,“>”应改为“)”.而这个“=”成立的     

巧用均值不等式及其等号成立条件求最值

最值问题一直是高中数学中常见的题型,其解法也是五花八门,同学们在学习了均值不等式后,对最值问题又多了一把解答的工具,本文将和同学们一起探讨如何巧用均值不等式求解最值问题.     

例谈等号成立的条件

大家知道均值不等式是中学重要的常用的基本不等式,认真思考等号成立的条件,坚持变换方向与条件不矛盾,借助一定的变换技巧,能解决范围广泛的一类难题.本文试图以一例及其变形加以说明,以求抛砖引玉.     

均值不等式等号成立的构造技巧

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点.运用时必须具备三个必要条件--即一正(各项的值为正)、二定(各项的和或积为定值)、三相等(取等号的条件).但在题设中未给出和(积)为定值的条件下,如何凑出定值使等号成立,却深感困难,为此,本文举例说明构造均值不等式等号成立的常用技巧.     

运用均值定理解题的错解剖析与常用技巧

著名的均值不等式"若α1,α2,…,αn∈R ,则α1 α2 …αn/n≥(n√α1α2…αn),仅当α1=α2=…=an(n≥2,n∈N)时等号成立"是一个应用广泛的不等式,许多外形与它截然相异的函数式,常常也能利用它巧妙地求出最值,且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容.因此必须掌握利用重要不等式求函数的最值的方法和技巧.     

均值不等式在竞赛数学中的应用——均值不等式等号成立的构造

均值不等式是高中数学中的一个重要不等式,它有着广泛的应用,本文主要就它在求函数最值中的应用举例说明．我们知道使各因式之和（或积）为定值是利用平均值不等式求最值的关键点．其次,还要使各因式相等才能实现,即等号成立的条件必须满足,否则将导致错误,这也是使用均值不等式求最值的难点．     

例说利用等号成立的条件证明不等式

在证明含有“≥，≤”的不等式时，如果能够关注其中等号成立的条件，并结合“均值不等式”、“柯西不等式”等号成立的条件，那么往往能够很快找到问题的突破口，从而收到事半功倍的效果．下面简单举例说明．     

均值不等式等号成立条件的导向作用示例

对于均值不等式n(a1a2…an)~(1/2)≤(a1 a2 … an)/n,当且仅当a1=a1=a3=…=an时等号成立,这是一个大家都很熟悉的条件,大多数人在解或证明不等式即将完成时,用它来完善不等式的解答,鲜有人注意到它对不等式问题的解答有启发和导向作用,下面我们就举例来说明．     

Carutz不等式等号成立的条件

据文记载，1964年，L.Carlitz在《美国数学月刊》上提出了如下一个关于三角形的内点到三角形的三边的距离与该三角形的三条高之间的不等式．     

注意，等号成立的条件

我们知道,求解最值问题的方法很多,如利用函数的性质、方程的判别式、平均值不等式、复数模的性质等.值得注意的是,无论使用哪种方法,都必须确保等号成立,才可肯定是最值.然而在实际的解题中,学生对等号能否成立,常常不作深入的研究,并由此产生一些错误.本文试图举出几例,以示提醒. 例1 已知a、b、x、y都是正数,且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值. 错解:因为a、b、x、y都是正数,     

平均值不等式求最值错解剖析

一、在使用均值不等式时 ,容易忽略各项均为正数的前提条件例 1　求函数 ｙ =ｘ + 1ｘ(ｘ∈Ｒ且ｘ≠ 0 )的值域 .错解 :∵　ｙ =ｘ + 1ｘ≥ 2ｘ·1ｘ =2 ,∴　函数的值域为 [2 ,+∞ ) .剖析 :令ｘ =- 1,则 ｙ =- 2 .显然 ｙ =2不是最小值 .错误原因是忽视了变数应为正数的条件 .正解 :因ｘ≠ 0 ,故 |ｘ| >0 ,又ｘ与 1ｘ同号 ,∴　 | ｙ| =ｘ + 1ｘ =|ｘ| + 1|ｘ| ≥ 2 |ｘ|· 1|ｘ| =2 .ｙ≤ - 2或 ｙ≥ 2 .∴　函数的值域为 ( -∞ ,- 2 ]∪ [2 ,+∞ ) .二、在使用均值不等式时 ,容易忽略等号成立的条件例 2　已知ｘ∈ - π2 ,π2 ,求 ｙ=ｃ…     

利用基本不等式求最值

“若a〉0，b〉0，则a＋b/2≥√ab，当珊且仅当a=b时等号成立”被称为基本不等式，它是不等式的重要组成部分，在不等式及其他章节中都有极其广泛的应用，特别是利用它求最值，非常方便、简捷．     

均值不等式等号成立的配凑技巧

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点．在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式,或者不便于利用题设条件,此时需要对题中的式子适当进行配凑变形．均值不等式等号成立的条件具有潜在的应用功能．以均值不等式的取等条件为出发点,为解题提供信息,可以引发出种种配凑技巧．笔者通过实践,把运用均值不等式的配凑技巧概括为六类,下面对此作些论述．     

等号何时能带上

纵观近几年的高考试题,关于含参数的不等式成立与恒成立问题屡见不鲜.实际上,解这类问题的常用方法与技巧——构造函数求其最值或值域、分离变量——已经被很多同学熟练掌握了,但在最后结果(参数的取值范围)是否带等号这一细节上,许多同学常犯错误.     

拆项法在“等号不成立”型最值问题中的应用

我们知道,在运用二元均值不等式(a+b)/2≥(ab)～1/2(或a+b≥(ab)～1/2求解最值问题时,常常出现等号不成立的情况,这时必须另外探寻变形的方法.拆项法就是破解这类问题的快速通道,拆项的目的还是使不等式中的等号成立,以便求出最值.大家从以下示例中能够学到一些拆项的方法。