对一道高考题的思考和探究

题2019年全国II卷理科数学第20题.已知f(x)=ln x-x+1 x-1,(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x 0是f(x)的零点,证明曲线y=ln x在点A(x 0,ln x 0)处的切线也是曲线y=e x的切线.该试题中,函数y=ln x在函数f(x)的零点处的切线为曲线y=ln x与y=e x的公切线,那么,函数y=ln x和y=e x的图象分别与函数y=x+1 x-1的图象交点与它们的公切线有何关系?一般地,指数函数y=a x和对数函数y=log ax(a>0且a≠1)图象的公切线又有何相应的结论?本文对此加以探索.     

辅助函数法及其在高中数学解题中的应用

<正>构造适当的函数并利用函数的单调性等有关知识辅助解决问题的方法称之为辅助函数法,辅助函数法可以使一些棘手的问题得到异常奇妙、干净利落地解决。一、比较大小例1比较ln2/2,ln3/3,ln4/4,ln5/5的大小。     

1995年与2000年普通高中规模比较

毕业生数招生数在校生数2 0 0 0年 (人 ) 比 1995年增减 (% ) 2 0 0 0年 (人 ) 比 1995年增减 (% ) 2 0 0 0年 (人 ) 比 1995年增减 (% )合计 30 15 0 89　　 4 9 5 34 72 6861　　 72 74 12 0 12 643　　 68 4 4北京 4 75 6910 3 70 65 890 61 4 81790 0 2 74 60天津 335 84 80 10 4 5 11673 2 812 4 14 7 81 14河北 18162 610 5 35 2 62 2 2 678 8670 0 39696 84山西 7862 2 11 10 137662 97 30 33716377 0 9内蒙古 674 74 34 5 0 10 932 2 5 5 35 2 66394 43 88辽宁 118892 4 5 32 15 2 35 435 734 2 93934 7 2 3吉林 70 2 2 5 3…     

利用取对数方法求导应注意的问题

对一个可导函数进行求导的方法多种多样 ,但当函数的解析式形如 y=f1 (x)f2 (x)……fm (x)时 ,一般教材都是采用了两侧取对数的方法 ,比如求函数 y=(2 x-1 ) 3 3 x 2(5x 4) 2 3 1 -x的一阶导数 ,就是如此 .解 :取所求函数的对数得 :lny=3 ln(2 x-1 ) 12 ln(3 x 2 ) -2 ln (5x 4) -13 ln (1 -x) .两边分别对 x进行求导知 :y′y=32 x-1 · 2 12 · 33 x 2 -2· 55x 4 13 (1 -x) ,从而可得 :y′=(2 x-1 ) 3 3 x 2(5x 4) 2 3 1 -x 〔 62 x-1 32 (3 x 2 ) -1 05x 4 13 (1 -x) 〕 .这是一道从任何教材都可以看到的例子和解法 ,显…     

高一数学专题复习月考卷(五)——函数(二)

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.函数f(x)=log2(-x12 4x-3)的定义域为()A.(1,2)∪(2,3)B.(-∞,1)∪(3, ∞)C.(1,3)D.[1,3]2.若a=ln22,b=ln33,c=ln55,则()A.a相似文献   

浅谈不等式a

张世镕 《数学教学通讯》1989,(2)

问疑答难

与方程根的个数有关的参数问题设函数f（x）=（x＋2）^2-2ln（2＋x）.若关于x的方程f（x）=x^2＋3x＋a在区间[-1,1]上只有一个实数根,求实数a的取值范围.解：方程f（x）=x^2＋3x＋a可化为x-a＋4-2ln（2＋x）=0.令g（x）=x-a＋4-2ln（2＋x）,则g′（x）=x/（2＋x）.     

奥氏体不锈钢焊缝金属氢致滞后断裂门槛值研究

3 0 8 L和 3 4 7L奥氏体不锈钢焊缝金属能发生氢致滞后断裂 ,而且比 3 0 4L母材更敏感 .用单边缺口试样动态充氢测出的氢致滞后断裂门槛应力强度因子 K H随可扩散氢浓度 C0 的对数而线性下降 ,即 K H=85 .2 -10 .7ln C0 (3 0 8L ) ,K H=76.1-9.3 ln C0 (3 4 7L ) ,K H=91.7-10 .1ln C0 (3 0 4L ) .三种材料氢致滞后断口形貌与 K 以及 C0 有关 ,当K 较高或 C0 较小时是韧窝断口 ,当 K 较低或 C0 较高时是脆性断口     

一个问题的妙解

题目 :ｘ1 ,ｘ2 ,ｘ3均为正数 ,且ｘ1 + 2ｘ2 +3ｘ3=4,求 5ｘ1 + 6ｘ2 + 7ｘ3的最小值 .解法 1　 1 =14 ｘ1 + 12 ｘ2 + 34ｘ3,①①× 5,得 5=54ｘ1 + 52 ｘ2 + 1 54ｘ3,②①× 6,得 6=32 ｘ1 + 3ｘ2 + 92 ｘ3,③① × 7,得 7=74ｘ1 + 72 ｘ2 + 2 14 ｘ3,④故　 5ｘ1 =5ｘ1 + 1 0ｘ2 + 1 5ｘ34ｘ1,6ｘ2 =6ｘ1 + 1 2ｘ2 + 1 8ｘ34ｘ2,7ｘ3=7ｘ1 + 1 4ｘ2 + 2 1ｘ34ｘ35ｘ1 + 6ｘ2 + 7ｘ3=54+ 3 + 2 14 + 5ｘ22ｘ1 + 3ｘ1 2ｘ2　 + 1 5ｘ34ｘ1 + 7ｘ1 4ｘ3 + 9ｘ32ｘ2 + 7ｘ22ｘ3≥ 1 92 + 1 0 52 + 1 5+ 3 7.此法看上去很繁 ,下面给出一个巧…     

2007年第2期问题解答

79.已知a、b、c∈R ,且abc=8,求aabbcc的最小值.解:因为函数(f x)=lnx在(0, ∞)上是增函数,所以对于任意a,b∈R ,恒有(a-b)[f(a)-f(b)]≥0成立,即a ln a b ln b≥a ln b b ln a.①同理,b ln b c ln c≥b ln c c ln b.②c ln c a ln a≥c ln a a ln c.③由① ② ③得2ln(aabbcc)≥(b c)ln a (a c)ln b (a b)ln c.所以有3ln(aabbcc)≥(a b c)ln(abc),即aabbcc≥(abc)a b c3.又因为abc=8,所以a b c≥3#3abc=6,即aabbcc≥82=64.当且仅当a=b=c=2时取等号,所以aabbcc的最小值为64.80.设a,b>0,求证:当λ>2时,有!a aλb$ !b bλa$≤λ$!λ2-1.证明:…