探究圆锥曲线中一组斜率乘积定值

本文对一道期末椭圆试题进行探究,得到了椭圆中的几个斜率之积为定值的优美结论,并将相关结果类比到了双曲线和抛物线中.     

圆锥曲线中的几个定理

文[1]对一道教材习题的解法进行了探究,并在文末给出了有关椭圆的几个结论,但没有给出结论的证明.笔者读后深受启发,在本文中对这些结论加以了证明,并类比椭圆的结论得到了双曲线的相应结论.为书写方便,本文将得到的结论以定理的形式给出,见下文:     

探究直线和椭圆位置关系的“几何法”——由一道课本例题引发的探究

讨论直线和椭圆位置关系利用传统的"代数法"计算繁杂.课堂上,一道课本例题探究了椭圆和圆的关系,进而得出将椭圆进行伸缩变换可得到圆,由此引发学生思考,层层深入进行探究,得到了讨论直线和椭圆位置关系的一种新方法——"几何法",前后知识联系,记忆方便,运用简单.     

圆锥曲线一类斜率乘积为定值、动点轨迹为圆的优美性质

针对一道双曲线试题,首先对题目背景进行探究,得到双曲线中的结论,接着把结论类比推广到椭圆中,最后研究了这些结论的逆命题.所得结果简洁、对称、优美.     

探究一道斜率之积为定值的模考试题

本文对一道南昌市高三模拟考试中的斜率之积为定值问题进行推广探究,得到了椭圆中几个斜率乘积、比值为定值的优美结论,并类比得到了双曲线和抛物线中的相关结果.     

对一道系数和为定值试题的探究

本文对一道江苏地区高三期中测试中的向量系数和为定值问题进行了解法探究,推广得到了椭圆中的一般性结论,并将相关结果引申到了双曲线和抛物线中,最后变换视角进行了拓展探究.     

探究一道两三角形面积之比问题

本文探究了一道圆锥曲线中的两三角形面积之比问题,将试题进行推广,得到了椭圆中的几个简洁优美的一般性结论,并将相关结果引申到了双曲线中.     

圆锥曲线中一类面积为定值问题的探究

本文对一道共轴同率椭圆的面积为定值问题进行探究,借助GeoGebra软件先直观呈现再推理论证,得到了共轴同率椭圆中更多面积为定值的结论,并借助类比将这类面积为定值问题推广到了共轴同率的双曲线和共轴同距的抛物线.     

2015年山东理科第20题的多解分析及探究

2015年山东省高考理科数学第20题以椭圆为载体,重点考查椭圆的几何意义与性质、数形结合和运动变换.题目在设置上梯度分明,逐层递进,符合考生的认知规律和学习特点.笔者对题目进行了多解分析,并经过推广探究得到两个一般性的结论.     

对相似椭圆性质的深度探究

最近,笔者在阅读文[1]时,为姜坤崇老师得到的结论深深地折服,心想怎么会有这么好的结论?这么好的结论是怎么得到的?带着这样的问题笔者开始下面的探究:先定义相似椭圆:已知椭圆E 1:x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>b>0),E 2:x 2 a 2+y 2 b 2=λ(λ>0且λ≠1),则称椭圆E 1与E 2是相似椭圆.姜坤崇老师在文[1]中得到了下面两个整齐而优美的定值性质,现将它们叙述如下。     

一道解析几何问题的探究与推广

本文先将一道与抛物线有关的解析几何问题的结论推广到一般情形,得到了抛物线的一个性质,并将此性质类比推广到椭圆和双曲线中,再在此基础上作进一步探究,得到了圆锥曲线平行弦的一组性质.     

圆锥曲线,美在探究

正圆锥曲线是圆、椭圆、双曲线和抛物线的统称,它是平面解析几何研究的主要对象.童正卿老师在文[1]中对椭圆中固定长度弦的中点轨迹进行了探究,笔者读后颇受启发,在其基础上通过横向和纵向探究,一方面给出了双曲线和抛物线中固定长度弦的中点轨迹方程,另一方面将圆中的结论推广到了任意的定比分点时的轨迹方程,并通过几何画板画出了四等分点时椭圆和双曲线中的定比分点轨迹,得到了很美妙的图形.一次深入的探究让笔者深刻体会到了圆锥曲线之美,本文也可以设计成供学生探究性学习的案例.     

2022年新高考全国Ⅰ卷第21题的探究

文章对2022年新高考全国Ⅰ卷第21题进行探究，给出两种解法，并将试题推广，得到椭圆、双曲线和抛物线的一般性结论.     

探究直线和椭圆位置关系的“几何法”——由一道课本例题引发的探究

讨论直线和椭圆位置关系利用传统的“代数法”计算繁杂．课堂上,一道课本例题探究了椭圆和圆的关系,进而得出将椭圆进行伸缩变换可得到圆,由此引发学生思考,层层深入进行探究,得到了讨论直线和椭圆位置关系的一种新方法——“几何法”,前后知识联系,记忆方便,运用简单．     

一道模考试题的探究历程及教学启示

本文以一道高考模拟题为例,从题目的条件和结论出发,探究了椭圆中涉及的定点问题,获取了一般性的结论,展示了从特殊到一般的探究历程,同时对每一个结论进行了反向探究,并将椭圆中所得结论进行了推广,还将所得结论与高考真题对接,将结论应用于高考真题的解答,则解答过程自然流畅,从而提出了高考复习中对解题教学的感悟.     

对一道椭圆试题的深入探究

椭圆中有关定值的计算一直是圆锥曲线的核心问题，对椭圆试题的深入探究可以发现一些一般性的结论.     

椭圆中面积最大的内接三角形和平行四边形构造

椭圆中有关内接三角形和内接平行四边形面积的最值问题,近年在专业杂志上有过一些同行们各具匠心的研究和结论.笔者在研究2010年上海市数学高考的压轴试题时,结合过去的一些解题经验,发现了椭圆中几类相交弦斜率之积的有趣的共性结论,并由此深入,探究了有关面积最大的椭圆内接三角形和内接平行四边形的一般构造方法.本文特将笔者的探究...     

2023届河北高三联考解几问题的探究及推广

通过对一道与双曲线定值问题有关联考题的探究,发现该问题可以推广到一般情形,同时可以类比到椭圆,得到一些一般性结论;反之,当比值是定值时,直线恒过焦点.     

一道椭圆斜率之积定值问题的源与流

文章以一道椭圆定值问题为例,通过将题设条件一般化,对问题进行追根溯源,得到问题的命题背景,最后将其类比联想至其他类型的圆锥曲线中.这种由“源”到“流”的探究方式,纵向上对问题进行深入思考,探究背景,得到圆锥曲线中一系列定值结论,挖掘问题的深度;横向上将其迁移至双曲线以及抛物线中,得出一系列的结论,拓宽问题的广度.     

探究2009年北京高考第19题

本文探究2009年北京高考第19题的一般结论及一般结论的逆定理，并将其结论类比到椭圆中，得到相应的结论及几个有趣的推论．