构造全等三角形解题

<正>我们知道,正方形是特殊的平行四边形,它的四边相等,四个角都是直角.如果把它的边、角分别划分到适当的两个三角形中,再构造一对边或角的关系,就可以证明这两个三角形全等,进而证明相关的问题.一、延长线段构造全等三角形例1如图1所示,在正方形ABCD中,E、F是AD、DC上的点,且∠EBF=45°,求证:EF     

构造全等三角形证题

全等三角形的对应线段相等,对应角相等．对于有些证明线段或角相等的问题,即使没有全等三角形,可以添加辅助线,构造全等三角形证题．现介绍构造全等三角形的三种方法,供你学习时参考．     

旋转中的不变关系

<正>平面图形经过旋转,产生了相等的线段、相等的角和全等三角形,这是旋转的不变性.其中,对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角;旋转前后两个图形全等.可见,在旋转中无论旋转角度如何,一定存在已有的或隐蔽的全等三角形,从而可发现和证明某些线段和角始终不变的关系(数量和位置关系).因此,添加必要的辅助线是解题的关键.本文就如何添加辅助线,找到并利用题中的不变关系解题,谈谈几点认识.例1 已知正方形ABCD与正方形CE     

巧构相似形 妙解几何题

<正>相似三角形是平面几何中的重要内容,也是各地中考热点.由于相似三角形具有许多重要性质,因此它在求解线段长度、证明两角相等、线段相等,以及在求解三角函数、探究角的大小、求面积最值、确定点的坐标等方面有着广泛的运用.下面举例说明.一、求线段长度运用对应边成比例求解线段长度是相似三角形的最常见运用.其中比较常见的是根据条件构造一线三等角相似.     

旋转变换的运用

<正> 在几何问题中,经常要证明两条线段相等或两个三角形全等,这类问题往往可以通过旋转变换来解决,现举例说明. 一、证明一条线段等于其它两条线段之和例1 如图1,已知E、F分别是正方形ABCD中BC、CD边上的     

分类例说辅助圆在解题中的妙用

<正>通过巧妙构造圆,充分利用"直径所对的圆周角为直角"来解决某些问题,可以达到事半功倍的效果.试分类例说如下.一、证相等例1如图1,四边形ABCD是正方形,点E为线段BC上任意一点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于点F,求证:AE=EF.     

利用基本图形巧作辅助线

定义 :两个全等三角形关于某点中心对称。这样的全等三角形叫中心对称型全等三角形。如 :　　　图甲　　　　图乙　　　　图丙　　　　图丁性质 :(如图乙 )①ＡＢ ∥=ＣＤ ,四边形ＡＢＣＤ是平行四边形 ,对应边与对应角位于中心对称部分。②ＡＯ =ＣＯ ,ＢＯ =ＤＯ ,一组或两组相等线段位于一组对顶角的两边且成一直线。当几何问题中出现 :(1)两条相等的线段或两个相等的角位于一个平行四边形的中心对称部分 ;(2 )一组或两组相等线段位于一组对顶角的两边组成一直线时 ,就可以应用或添加中心对称型全等三角形证之。方法是 :(1)出现在平行四…     

利用相似三角形，巧解图形计算题

<正>在平面几何中，有关求线段长、面积和最值等问题，常常需要运用相似三角形的知识来解决.本期，让我们走近相似三角形，在一题多解、变式拓展中，感悟方法，灵活解题.金题展示考点一、利用相似三角形求线段比例1如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，DF交BC于点F，且∠EDF=45°.求(CF)/(BC)的值.     

构造全等三角形解竞赛题

利用三角形全等证明线段相等、角相等是最常用、最基本的方法 .而有些竞赛题的图形中 ,没有已知的三角形全等 ,而是要利用已知和图形所提供的信息 ,构造一个或几个三角形与原有的三角形全等 ,从而使原来不明显的线段 (或角 )关系凸现出来 .现举例说明 .一、证明线段相等例 1　 ( 1999年天津市初中数学竞赛题 )如图 1,已知在△ ABC中 ,AD是 BC边上的中线 ,E是 AD上的一点 ,且 BE =AC,延长 BE交 AC于 F.求证 :AF =EF.简析 :已知条件 BE =A C是分散的 ,在原图中难以利用 ,因此考虑添加适当的辅助线 .因为 AD是 BC边上的中线 ,往往…     

证明两条线段相等的基本思路

证明两条线段相等是平面几何证明题中很重要的一类题型，也是几何证题的基础．在《三角形》这一章中，我们学习了几种证明两条线段相等的方法，本文对此进行归纳总结，供同学们参考．1．通过证明三角形全等来证明两条线直相等是《基本的方法．可证两米线段是全等三角形的对应边、对应高、对应中线、对应角平分线及与之有关的线段等．若无现成的三角形可以利用，可添加适当的辅助线构造出全等三角形．例1如图1，在凸ABC中，AB—AC，在AB上取点D，在AC的延长线上取点E，使BD—CE，DE交BC于点G．求证：DG—EG．分析欲证DG—EG，因…     

证明线段相等的方法与思路

初中几何证明两条线段相等,不但是几何证明题中经常遇到的问题,而且也是证明有关线段的和、差倍数关系等问题的基础。下面介绍初二同学可用的几种方法与思路。方法一:应用全等三角形 1.如果所要求证的两条相等线段分别是两个三角形的边,那么可用方法一。 例1 如图1,已知:正方形ABCD、P为对角线BD上一点,BQ⊥AP于Q交AC于R.求证:BP=CR。 (提示:只要证明△ABP≌△BCR即可)     

用转化法解平面几何中的非基本题

本文谈到的基本题,有证明角相等、线段相等、等积式或比例式.在证明一些非基本题时,有时可转化为基本题求解.1 线段的和差关系 证明a±b=c类题,往往可通过“截长补短”转化成证明线段相等. 例1 如图1,△ABC是等边三角形,P为BC上任一点.求证:PA=PB PC. 分析:采取“截长”法,可在PA上截取PD=PB,转化成证明DA=PC.这可通过证明△PCB和△DAB全等来实现.     

由一道中考题探索线段长度问题的求解策略

<正>本文从一道中考几何压轴题的解法中,提炼总结出解决线段长度问题的基本思路和常规方法,供大家参考.原题(2016年宁波市初中毕业生学业考试说明)如图1,正方形ABCD的边长为4,点O为对角线AC,BD的交点,点E在CD的中点,连结BE,交BE于点G,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连结OF,则OF的长为____.评析这是一道经典题目,它蕴含着求解线段长度的常规思考方向,从不同层次的视角可以得到一些线段长度问题的求解策略.一、巧借特殊角,构造所求线段与已知线段之间数量关系     

例谈三角形中的“倍中线”法

解三角形题目时,我们常需要延长中线的一倍,构成全等三角形或平行四边形,使某些角或者线段的位置得到转移,从而使问题得到解决。一、证明线段相等例1 在△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,     

全等三角形在解题中的应用

全等三角形有一条基本性质：它们的对应边、对应角都相等，生活中，人们利用这条性质，构造全等三角形来测量矩离，在解题中，我们也可以利用这条性质来说明线段相等或角相等。     

平行四边形的认识全章检测题

一、选择题1.有命题①对角线相等的四边形是矩形,②三个角对应相等的两个三角形全等,③同角的补角相等,④全等三角形对应边相等,其中正确命题的个数是().A.1B.2C.3D.42.如图1,在"ABCD中,点E、F分别是AD、AB边的中点,EF交AC于点G,那么AG∶GC的值为().A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶33.     

让学生的思维“荡起双桨”——一道条件不充分习题的变式探讨

<正>原题已知:如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是等腰梯形.新题已知:如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是等腰梯形.简析因为四边形ABCD是梯形,要证明它是等腰梯形,就是证明两腰相等,也就是要证两条线段相等,可以利用全等三角形来解决.证明因为点M是AD的中点,所以AM=BM.又因     

相似三角形在解题中的应用

<正>对应角相等,对应边成比例的三角形叫相似三角形.判定两个三角形相似的方法有三种:两角对应相等的两个三角形相似;三边对应成比例的两个三角形相似;两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.在平面几何中,常常会碰到以下一些问题:计算线段的长度、角度,证明角相等、线段相等或成比例,计算三角形的周长、面积等,解决这些问题的方法多种多样,其中通过先     

五步法构造全等三角形

构造全等三角形是证明两条线段相等的常用方法,也是初中数学教学的一个重点和难点．构造全等三角形的依据是什么,如何构造全等三角形,学生往往知其然而不知其所以然．基于此,笔者给出构造全等三角形证明两条线段相等的辅助线的思考方法,它主要有五个步骤：找出线段所在三角形、确定第三个顶点、列出对应关系、作出辅助线、证明三角形全等．     

构造全等三角形求解几何题

<正>在解决几何问题时,如果我们能够根据图形特征,通过添加辅助线构造全等三角形,并利用全等图形的性质,不仅可使问题迎刃而解,而且有助于创新思维的培养,提高数学思维能力和分析能力,现举几例供大家参考.一、有角平分线时常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形例1如图1,ABC中,AD是∠A的平分线,且∠C=2∠B,求证:AB=AC+CD.A B E C D图1