再谈因式分解的降元法

作者曾在本刊1980年4期介绍过因式分解的降元法.该法可把多元多项式的因式分解化归为一元多项式的因式分解.原介绍的降元法有一个缺点,就是没有平等对待各个变元,在操作上较为复杂.下面介绍平等对待各个变元的降元法.     

用主元法解竞赛题

主元法,即在解多变元问题时,选择其中某个变元为主要元素,视其他变元为常量,将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的形式,这样能排除字母间的干扰,简化问题的结构。在解题时,运用"主元法"可以将一个非基本问题,化归为一个简单的、易于解决的基本问题。例1 (2010年全国初中数学联赛题)若实数a、b、c,满足等式     

变更与甄选主元

<正>主元法,是指在含有两个或两个以上变元的问题的解决过程中,选择其中一个变元作为研究的主要对象,视为主元,而将其余各变元视为参数或常量的一种思想方法.主元法将问题转化为关于该主元的式子、方程或函数,可将问题难度大大降低,使问题获得巧解,化难为易.在多变量问题的解题中,一旦选对了主元,等于在战斗中选择了正确的方向.笔者认为高考中主元法的应用主要分为以下两种:变更主元法与甄选主元法.     

因式分解在数学中的应用

在数学运算中 ,利用因式分解的方法 ,往往使运算由繁化简 ,化难为易 :一、解决计算问题例 1　计算 32 0 0 2 - 5× 32 0 0 1+ 6× 32 0 0 0 + 2 0 0 2 .分析 :前三项含公式 32 0 0 0 ,因此先提公因式后 ,变为简单的计算。解 :原式 =32 0 0 0 ( 32 - 5× 3+ 6) + 2 0 0 0 =32 0 0 0 × 0 + 2 0 0 2 =2 0 0 2 .二、解决求值问题例 2　已知 (ａ +ｂ) =15 ,ａ·ｂ =2 ,求代数式ａ2 ｂ + 2ａ2 ｂ2 +ａｂ2 的值 .分析 :本题关键是通过因式分解把代数式变形为只含 (ａ +ｂ)、ａ·ｂ的代数式 ,从而求出代数式的值。解 :ａ2 ｂ + 2ａ2 ｂ2 +ａｂ2 =ａ…     

浅议高中物理中用微元法求变力做功

正高中物理中常会遇到一些变力做功的问题,尤其在高校自主招生的问题中时常遇到,此类问题通常不能按常规的恒力做功方法进行求解,但可以利用微元法巧妙地解决.一、认知微元思想,了解微元法求变力功的思路(一)认知微元法微元法是分析、解决物理问题中的常用方法,也是从部分到整体的思维方法.它将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分,从其中抽取某一微小单元即"元过程"进行讨论,每个"元过程"所遵循的规律是相同的.对这些"元过程"进行必要     

例说双换元法分解因式

换元法是分解因式时常用的一种重要思想方法．而所谓双换元法，就是根据多项式的特征用两个字母(元)分别代换原多项式中的代数式，以使因式分解简单化，以下举例说明．     

导数与主元法的整合

在解答多元问题时,如果把它们不分主次来研究,问题很难解决,这时可视某一个变元作为研究的主要对象,视为"主元",其他变元暂时视为参数,这种用主元去分析、研究、解决问题的方法叫主元法.函数与不等式有着千丝     

“主元法”在初中数学中的应用

所谓“主元法”,就是在处理含有多个变量的数学问题时,把某个“元”看得特别重些,给以特殊的地位,不妨称这个“元”叫“主元”。在解题时,运用“主元法”’可以将一个非基本问题,化归为一个简单的、易于解决的普通问题。请看下面的例子: 1.在因式分解中的应用 例1 分解因式 x~2y~2-5x~2y-3xy~2 15xy-14x~2 5y~2 42x-25y-70.     

巧用换元法解数学题

换元法是数学计算中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法.我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式.本文就是通过对部分三角换元的实例分析来阐述换元法在解题中的巧妙运用,以培养学生换元的思想.     

关于几类因式分解问题的方法初探

因式分解是一种重要的恒等变形。它不仅用于分式的通分、约分,而且是化简代数式、超越式以及解二次或高于二次的方程(组)和不等式(组)的重要手段。因此,掌握和熟练的运用各种方法进行因式分解是学好数学的关键之一。在实数范围内的因式分解我们常用的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法、配方法、求根公式法、添拆项的辅助项法、换元法、待定系数法和综合除法等。尽管方法多种多样,但对于有些问题想要直接应用上述方法还是难以凑效。本文针对某些因式分解问题给出了通过变形而转化为直接应用     

代数式的恒等变形

把一个代数式变换成和它恒等的代数式,称为代数式的恒等变形(或恒等变换).整式、分式、无理式的运算、因式分解等都是恒等变形.代数式的恒等变形在中学数学中有着极为广泛的应用,可以认为是解决初等乃至高等数学必不可少的基础知识和基本技能.由于代数式的恒等变形蕴含十分丰富的技能、技巧和方法,因而常在各类竞赛试题中出现.     

例说代数换元法中变元的选取策略

对于一些结构复杂的数学问题,根据题设条件的关系和目标式的结构特点,巧设某些代数式为新的变元,进而简化题目的结构,使问题得到解决,这种方法叫做换元法.     

换元法在解题中的灵活运用

换元法的基本思想是引进新的变量,把一个复杂的数学问题转化成若干个简单的数学问题,只要把这些简单的问题一一加以解决,就可以使原来复杂的问题得到解决. 使用换元法,能化高次式为低次式,化分式为整式,化无理式为有理式,化超越式为代数式,化代数式为方程等.使用换元法的关键在于如何灵活选择辅助元,这里介绍几种换元法. 1 整体换元法 把整个数学问题看做为一个整体,用一个变量来代替,然后通过等量代换或解方程,使原来问题的求解过程得到简化,这种换元法称之整体换元法. 例1 设242610aa- =,求32848aa-- 245a 的值. 分析 如果从已知条件2426…     

构造恒等式巧解多项式因式分解与除法问题

在有关多项式的因式分解或除法问题中,求多项式中的待定字母,或关于待定字母的代数式的值,其常见类型与求解方法有以下几类,现结合初中"希望杯"赛题介绍如下.一、利用或构造恒等式,由局部系数对比法列方程(组)求解1.已知多项式的因式分解形式型     

谈谈用主元法解题

所谓主元法,即是在众多变元中根据解题需要,灵活选用一个变元为主变元,而把其余的变元暂时看成常数的解题策略.常见的“判别式法”“反函数法”是其典型的运用.本文拟通过典型例题的分析求解,阐述主元法的解题思想和常见技巧,供考生参考, 一、抓住特征,巧设主元 例1 若α、b、c、d是整数,b是正整数,且满足α b=c,b c=d,c d=α,那么α b c d的最大值是 (A)-1(B)-5(C)0(D)1     

主元法及其应用

转化是中学数学解题的基本思想。在含有多个变元的问题中,可以选取某个变元做为主要变元,不妨称之为主元。将问题转化为关于该主元的式子、方程或函数,使问题获得巧解。这种转化的方法,称为主元法。下面举例说明这种方法在解题中的应用。 一、分解因式 例1 分解因式: (1+y)~2-2x~2(1+y~2)+x~4(1-y)~2。 (1986年江苏省扬州市初一数学竞赛试题)     

一类因式分解题的基本解法

形如ax~2-bxy+cy~2+dx+ey+f的代数式分解因式,学生往往无从下手.本文以江苏教育出版社出版的《初中练习与测试·代数》(二年级上学期用)上的习题为例,介绍两种基本方法. 一、主元法     

中学数学最值问题的求解方法

中学数学中的最值问题类型多样,覆盖面较广,它涉及到函数的性质、不等式性质及不等式定理、代数式恒等变形、解方程(组)、解不等式等多种知识,现仅归纳三种方法供参考.一、换元法求解在数学解题的过程中,将一个数学式子或者其中的一部分看作一个整体,用一个中间变量去代换,从而简化式子的结构,使问题易于解决,这种解题方法叫做换元法,又叫做变量代换法.这是数学解题中的一种重要方法.     

分类例析因式分解在解题中的运用

<正>因式分解是代数中一种重要的恒等变形,在许多代数式问题中有着广泛的应用.我们在求解某些代数问题时,若能依据其特点进行因式分解后,或整体代入求值,或局部约分化简等,则往往使问题得以巧妙解决.本文以"希望杯"全国数学邀请赛试题为例,试分类例析因式分解在解题中的运用.     

换元法的灵活应用

一、分部换元 例1.解方程:(6x+7)~2(3x+4)(x+1)=6 分析:此题如用因式分解法,则难度较大,不易解出。用换元法也不很明显,因三个因式无共同处。我们设想用t替换(6x+7),根据t=6x+