用“两边夹”解题的若干操作策略

<正>"两边夹"原理本是高等数学中用来判定极限存在的准则,近年在数学竞赛和高考中时有应用,需要学生有敏锐的观察力和娴熟的代数变形技巧.从解题操作的视角看,应用"两边夹"原理有两种类型:(1)"若a≤x≤a,则x=a",该类型结构简明,逻辑清晰,操作有序;(2)"已知a≤f(x)≤b,求参变量k的取值范围".本文称第一种为"夹死",即由不等式a≤x≤a,得到等式x=a,是解决"条件为不等式,结论为等式"问题的     

数学解题中“两边夹”策略

<正>所谓"两边夹"就是若a≤b≤a,则a=b.在解决某些数学问题时,可由题意建立起若干个不等式关系,依据上述结论,实现由不等关系向等量关系的转化,由运动变化状态向静止状态的转化,这是在不等中寻找相等的     

“两边夹逼＂策略助你突破思维瓶颈

在不等式中有一个显而易见的性质“若口≤x≤a则x=a”,这就是不等式的“两边夹”性质,此性质的一个应用便是数列极限‘的两边夹法则．在解决某些数学问题时,可由题意列出若干个不等式,然后运用夹逼性质“逼”出某个变量的值,从而实现由不等向相等、由变量向常量的转化,这是在不等中寻找相等关系的重要途径．本文通过典型例题浅谈“两边夹逼”策略在突破思维瓶颈成功解题的应用．     

巧用两边夹法则解题

若x≥a且x≤a,则x=a. 我们把上述结论称为两边夹法则.灵活运用此法则能给解题带来很大的方便.兹举例说明如下.     

夹逼法妙解三角题

<正>这里的所谓夹逼法，即利用a≤b≤a得出a=b的结论.从集合角度理解，若A■B,B■A,则A=B.推广到一般，若a≤f(x)≤a,则f(x)=a.这是一个朴素且自然的结论，但在高中数学的三角形问题中有不少应用，我们经常用它来解决“疑似条件不足”或者“条件是不等式结论是等式”等问题.利用夹逼法可以实现不等关系向等量关系的转化，本文借用它巧解数学题，供同仁参考.题型1 应用三角函数的有界性进行夹逼例1 在△ABC中，     

问疑答难

问题 1.已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2]及y∈[2,3]恒成立,求a的取值范围. 解:由于x∈[1,2],y∈[2,3],不等式xy≤ax2+2y2两边同除以xy,可得1≤ax/y+2y/x.分离参数a,可得a≥y/x-2·(y/x),即a≥y/x-2·(y/x).在x∈[2,3]时恒成立.     

一个简单结论的妙用

若an≤bn≤cn,且(limn→∞an)=(limn→∞cn)=A,则(limn→∞bn)=A,这是高等数学中的两边夹定理,与之相仿,在初中数学中也有一个结构相似的两边夹定理:若A≤x≤A,则x=A(*),这虽是一个显而易见的简单事实,但在初中数学竞赛中却有不少的妙用.     

数学奥林匹克问题

本期问题初149　已知二次函数f(x)=x2-2mx 1.是否存在实数x,使得对于满足0≤x≤1的任意实数a、b、c,f(a)、f(b)、f(c)能构成一个三角形的三条边的边长?(王连笑　天津市实验中学,300074)初150　试求出所有的整数n,使得70n 200n2 1是整数.(吴伟朝　广州大学数学与信息科学学院,51     

例谈a≤f（x）≤b→（f（x）-a）（f（x）-b）≤0的应用

众所周知在二次不等式解的法则中有（x-a）（x-b）≤0→a≤x≤b，（a〈6），那么以f（x）代换x，必有（f（x）-a）（f（x）-b）≤0→a≤f（x）≤b，虽然利用a≤f（x）≤b→（f（x）-an）（f（x）-b）≤0，可以将双链不等式转化为单向不等式，解题中我们若能注意利用这种转化关系，不少有关双链不等式的问题将会出奇制胜的得到解决，从而可以避免解不等式组或分向证明等复杂的运算过程，令人拍案叫绝．下面以例示明其奇效．     

要准确使用数学语言

数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言。它的特点是准确而清晰,每个符号,在同一个问题中只能有一种意义。正确地运用数学语言意义重大,一要会把概念、法则、性质等文字语言转化为符号语言,如“x,y,z都不为零”,可写成xyz≠0;“a为非正数,”可写成a≤0;“a不大于b”,可写成a≤b。     

在变换的过程中提出问题

问题 1　《数学教学》2 0 0 3年第 2期“数学问题与解答”栏目中的第 5 80题为设a、b、c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b≥ 32 .①笔者试图探索这个新颖不等式的上界 ,得出问题 1 .1　设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .②综合不等式①、②得问题 1 .2　设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :32 ≤ a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .③为了证明不等式③ ,笔者首先想到了它的类似 :问题 1 .3　设x ,y ,z为任意正实数 ,求证 :xy +z+yz +x+zx +y≥ 32 .④于是 ,联想到 :能否将不等式③转化为三…     

线性规划的应用

线性规划是教材中新增内容,应用它解某些数学问题,不仅能使问题化繁为简,还能启迪学生思维,提高灵活解题能力.一、解三角形例1三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为()(A)15(B)30(C)36(D)以上都不对解不妨设三角形的另两边为x,y,且x≤y,则011,x≤y.     

|f(x)-ax-b|问题探析

<正>绝对值问题由于是考查转化化归、数形结合与分类讨论思想的好载体,能体现学生处理函数的综合能力,因此一直是竞赛、高考和模拟题中的"压轴明星".同时由于缺乏固定的套路是不少学生头疼的"硬骨头",笔者通过对一些题目的分析,发现用最基本的绝对值不等式转化为直线"两边夹"函数(|f(x)-ax-b|≤c,则ax+b-c≤f(x)≤ax+b+c)     

最值问题的基本解法

<正> 最值问题是数学竞赛的常见题型.下面介绍几种基本的解法,供参考. 一、利用不等式求解在不等式x≤a中,x=a是最小值,在不等式x≥b中,x=b是最大值.     

高考“函数问题”的六大热点

热点1———以集合为载体的函数问题例1、若A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},且C哿B,求a的取值范围.点拔:联想图象,由形定数.解:B={y|-1≤y≤2a+3}.如图,抛物线z=x2与直线x=-2,x=a的交点分别是(-2,4),(a,a2),直线y=2x+3与x=-2,x=a的交点分别是(-2,-1),(a,2a+3).要使C哿B,当且仅当2a+3≥a2,2a+3≥4 .∴12≤a≤3.点评:从B、C条件中的函数联想到它的图象,则集合间的包含关系立即得到直观化,相应的代数关系式随之确定,避免了对a的分类讨论.由于每一个函数总对应一个图象,因此,对于以集合为载体的函数问题常常利用函数的…     

初中数学竞赛中的几类“有界性”问题

初中数学竞赛中,不少问题都涉及函数的有界性,所谓函数y=f(x)在定义域D上有界,是指存在常数M,使得对D内的任意变量x,都有|f(x)|≤M。比如任一实数x的小数部分{x}满足0≤{x}<1,整数数码a为整数且0≤a≤9。这类问题通常是根据其自身的有界性,将问题框定在有界的范围内,再根据条件缩小包围圈,求出解答,现将初中数学竞赛中利用“有界性”性质解题举例说明如下。 1.三角函数sins、cosx的有界性,即-1≤sinx,cosx≤1。例1 设a为某非直角三角形的内角,又x=     

“直线与圆的方程”中体现的数学思想方法

数学思想方法,是数学的本质与灵魂.借助于具体教学内容,有目的、有计划、系统地引导学生从数学思想方法的角度与高度去思考问题,不仅可以有效地帮助学生掌握数学的基本知识和基本技能,而且可以引导学生逐步掌握数学的本质,从而提高其数学素养.现就《直线与圆的方程》这一部分内容中体现的数学思想方法,作此分析与探讨,供同行参与,恳请专家指正.1运动、变化思想马克思主义的辩证唯物论认为,运动、变化,是客观物质世界的根本属性与存在方式;物质世界的运动、变化,在各学科中均有充分的体现.比如,在这一章的相关内容中,体现运动、变化思想的素材十分丰富.(1)“到原点的距离等于定长a(a>0)的点的轨迹,是以原点为圆心,a为半径的圆”;从圆的形成过程看,运动、变化,十分自然;同时,从x2+y2=a2这个方程看,在-a≤x≤a的范围内,x变化,y也相应地变化;同样,在-a≤y≤a的范围内,y变化,x也相应地变化.从数量关系看,数值大小在变化,而从形的特征来分析,点的位置在变化;(2)教材中安排了一个基本问题:“已知线段AB,其长度为2a(a>0),当A,B同时在两轴上滑动时,求线段AB的中点的轨迹”.为了帮助同学们顺利解决该问题,我们适宜多...     

对一道三角题的分析(高一、高二、高三)

题在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,若6≤a+c/2.求证:B≤A+C/2. 这道题的条件、结论表达简明扼要,体现了数学语言的简洁美.尤其是其边的不等量关系与对应角的不等量关系竟然形式相同,显示了数学的和谐美.因而不由得使人产生探索的欲望.这是一道难得的好题,所以它频频出现于近几年全国各地的高考模拟试题中也就不足为奇了。本文从三角和几何两个不同的角度各给出两种证法,供读者思索.     

巧用对称性解题两例

在高考要求中没有明确提到对称问题,但是用对称性解题是最近些年高考的热点内容之一.有些数学问题用对称的观点去观察,通过形象补形,生成对称,容易找到简捷的解题途径.现举两例说明. 例1 二次函数f(x)满足f(x 2)=f(2-x),又f(x)在[0,2]上是增函数,且f(z)≥f(0),那么实数a的取值范围是( ). A.a≥0 B.a≤0 C.0≤a≤4 D.a≤0或a≥4 分析.f(x)满足f(2 x)=f(2-x)∴f(x)关于直线x=2对称,且f(0)=f(4).又f(x)在[0,2]上是增函数,则f(x)在[2,4]上是减函数.由f(a)≥f(0)得a的取值范围应选     

线性规划的应用

线性规划是教材中新增内容,应用它解某些数学问题,不仅能使问题化繁为简,还能启迪学生思维,提高灵活解题能力.1有关三角形问题例1三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为()(A)15(B)30(C)36(D)以上都不对解不妨设三角形的另两边为x,y,且x≤??≤点(x,y)应在如图所示的阴影区域内,由上图易知阴影区域内(包括实边界)整点个数点占正方形内(包括边界)整点个数的1/4.所以满足题意的整点个数为122/4=36(个),选C.例2已知△ABC的三边长为a,b,c满足b+c≤2a,c+a≤2b,则c/a的取值范围是.解设b/a=x>0,c/a=…