构造平行四边形证题例析

平行四边形具有对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质.证明某些几何题时,若能巧妙地构造出平行四边形,就会化难为易、化繁为简,证明过程简捷. 现举例说明. 一、证两线段相等例1 已知:如图1,在四边形ABCD中,AB=DC, AD=BC,E、F在对角线AC上,且AE=CF. 求证:BE=DP.(河北省中考题) 证明:连结BD交AC于O,连结DE、BF. ∵AB=DC,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形.     

构造平行四边形解题

平行四边形是一种特殊的四边形,它具有很多独特的性质.在解答一些与线段有关的证明问题时,从构造平行四边形入手,常可化难为易.例1　如图1,△ABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,BE=CF,EF交BC于D.试说明DE=DF.　解　过E作EG∥AC交BC于G,连结CE,FG,则∠EGB=图1∠ACB.因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=∠EGB,所以EG=BE.　因为BE=CF,所以EG=CF.又EG∥CF,所以四边形EGFC为平行四边形.因此DE=DF.例2　如图2,△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点.说明:DE∥BC.图2解　延长DE到F,使FE=DE,连结AF,CF,CD.因为…     

中点四边形

A BCDEFGH图1中点四边形是指顺次连结四边形各边中点所得的四边形.中点四边形的形状与原四边形的两条对角线有着十分密切的联系.为了说明这一点,请看下面的几个例题.例1如图1,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.试判断四边形EFGH的形状.解析:因为点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点,所以为了能充分利用这一条件,可以连结AC.于是在△ABC中,EF是中位线,则EF∥AC,且EF=12AC;在△ADC中,HG是中位线,则HG∥AC,且HG=12AC.所以ABCDEF GH图2ABCDEFGH图3EF∥HG,且EF=HG.所以四边形EF…     

是平行四边形吗?(初二、初三)

一组对边相等,一组对角也相等的四边形是平行四边形吗?不少同学回答:“是平行四边形”,并且还给出了如下“证明”.如图1,四边形ABCD中,AB=DC,∠B=∠D,当∠B、∠D是锐角时,连结AC,作AE⊥BC于E,CF⊥AD于F,     

一题两解的启示

九年级数学练习题中有一道题为:如图,△ABC中,∠C=90.,AB=c,A C=b,BC=a,求其内切圆⊙O的半径r. 解法一:根据三角形面积求连结AO、BO、CO. ∵SΔAOC=1/2AC·r SΔBOC=1/2 BC·r S△AOB=1/2AB·r ∴SΔABC=1/2AC·r+1/2BC·r+1/2AB·r=1/2r(a+b+c) 又S△ABC=1/2BC·AC=1/2ab ∴1/2r( a+b+c)=1/2ab ∴r=ab/a+b+c 解法二:利用切线长性质求 作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,则四边形DCEO为正方形.     

浅谈一般四边形的解题策略

一、通过添加辅助线转化为有关三角形的问题来解决． 1．添对角线例1 如图1,在四边形 ABCD中,AE、AF分别是 BC、CD的中垂线,∠EAF= 80°,∠CBD=30°．求:∠ABC和∠ADC的度数．析解:如图1,连结AC．因为AE、AF分别是 BC、CD的中垂线, 所以AB=AC=AD,     

一道中考压轴题的优化解法

<正>题目(2016年湖州中考题)如图1,在等腰△ABC中,BC=7,AB=AC=4,在底边BC上取一点D,连结AD,使得∠DAC=∠ACD.将△ACD沿着AD所在直线折叠,使得点C落在点E处,AE与BC交于点M,连结BE,得到四边形ABED,则BE的长是()     

构造平行四边形解题

平行四边形有许多重要的性质 ,灵活地应用这些性质 ,可以解决许多问题。因此 ,解题时应根据题目的特征 ,巧妙地将原图形进行加工 ,使之构成平行四边形 ,从而打开解题的思路。下面举例说明。例 1 .如图 1 ,在△ ABC中 ,AB= AC,在 AB上取D点 ,在 AC延长线上取 E点 ,使CE=DB,连结 DE交 BC于 G点 ,求证 :DG=GE。分析 :过 D点作 DF∥ AE,连结 CD、FE,得到四边形 DFEC,若四边形 DFEC为平行四边形 ,则命题得证。从 DF∥ AE,知∠ACB=∠ DFB,∵∠ B=∠ ACB,∴∠B=∠DFB,∴ DB=DF,再由已知 DB= CE,推知 DF=CE,∴四边形 …     

全国部分省市1999年中考数学试题选讲

1．(徐州市)如图1，已知四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC．求证四边形ABCD是等腰梯形。     

折出来的学问

【题目】如图1,ABCD 是矩形,AB=4 cm,AD=3 cm. 把矩形沿直线 AC 折叠,点 B 落在 E 处,连结 DE.四边形 ACED 是什么图形?为什么?它的面积是多少?周长呢?     

四边形中考探索题二例

例1(宜昌市)如图1,已知△ABC的高AE=5,BC=(40)/3,∠ABC=45°,F是AE上的点,G是点E关于F的对称点,过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于l,连结IF并延长交BC于J,连接HF并延长交BC于K.(1)请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形?并对你得到的结论予以证明.     

借助三角形的垂心解题

<正>如图1,CF,BE是ABC的高,其交点H是ABC的垂心,则AD必定垂直于BC.证明如图1,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连结AH并延长交BC于点D.∵CF⊥AB,BE⊥AC,∴四边形BFEC为圆内接四边形,四边形AFHE为圆内接四边形.     

初中数学几何模型之“对角互补模型”的探索

<正>本文从例题中探寻“对角互补模型”,然后总结模型,再以例题做拓展研究．对“对角互补模型”做深入探索,旨在帮助同学们能够灵活运用此模型解答数学几何问题．一、例题中探寻模型例1在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD.(1)如图1(1),若∠BAD=120°,∠ABC=∠ADC=90°．求证:AD+AB=AC;(2)如图1(2),若∠BAD=120°,∠ABC+∠ADC=180°．(1)猜想AB,AD,AC三条线段的数量关系,并说明理由;(2)若AC=10,求四边形ABCD的面积．     

折出来的学问

【题目】 如图1，ABCD是矩形，AB=4cm，AD=3cm．把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连结DE．四边形ACED是什么图形？为什么？它的面积是多少？周长呢？     

一道美国数学竞赛题的巧证

贵刊81年第五期刊登了《一道美国数学竞赛题的简证》.在教学活动中.发现我的学生对这个题目的原命题有更巧妙的证明,现介绍如下: 已知:空间四边形ABCD中(A、B、C、D不共面)AD=BC,AB=DC,AM=MC,DN=NB 求证:MN⊥AC, MN⊥BD 证明:连结AN,NC,把△ABD绕BD平放到△BCD所在的平面内(注意,AB,AD、AN的长度未变).这时以ABCD是一个平面四边形.∵ AD=BC,AB=DC ∴ABCD是一个平行     

应用平行四边形的性质证题

应用平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质,可以证明许多几何命题,现分类举例如下．一、证明线段相等例1ΔABC中,AB＝AC,在AB上取D点,在AC的延长线上取E点,使CE＝BD,连结DE交BC于C．求证：DC＝CE．证明作DF人AC交BC于F,连结DC、EF,则／DFB＝／ACB＝／B．DF＝IJB＝CE．故DF其DE．DFl《为平行四边形…．DG＝cy．Dn回＊且〔二、证明两角相等例2如图2,四边形ABCD中,AB＝DC,ADJBC,且AB＄t：D．求证：／B＝／C．证明作ACVDC．ADffBC,四边形ACCD是平行四边形．DC＝AC．而AB＝DC,、…     

对一道高考第一轮复习题解答的修正及补充——浅谈不规则多面体体积的求法

正在2013届学生使用的《全国100所名校单元测试示范卷》高考第一轮总复习用卷文科数学的第二十一单元《高中数学综合测试》第18题的题目和解答是这样的:题目如图所示,已知在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,EF∥AC,且AC=2EF,AB=2AE.(1)求证:平面BDF⊥平面ABCD;(2)若正方形边长为2,求该多面体的体积解:(1)设AC交BD于H,连结FH,易知H为AC中点     

与四边形有关的“三段式”探究题的解题策略

<正>与四边形中有关的"三段式"探究题,其特点是将四边形有关的问题分成循序渐进的三个部分.解答这类问题应依次进行,密切注意后一部分与前一部分的联系,现举例如下.例1(达州市中考题)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连结CF.     

作辅助线的几种常用方法

一、延长根据已知条件 ,延长一条或几条线段 ,构成所需图形。例 1.已知 :四边形 ABCD中 ,∠ BAD=60°,∠ B=∠ D=90°,BC=11,CD=2。求 :对角线 AC的长。分析 :在 Rt△ ABC中 ,BC是已知的 ,若求出 AB的值 ,问题即可解决。设法把 AB放到另一个直角三角形中 ,延长 AD交 BC的延长线于点 E。这样 ,在 Rt△ CDE中 ,求出 CE值 ,然后得出BE值 ;在 Rt△ ABE中 ,得出 AB值 ;最后 ,在 Rt△ ABC中 ,求出AC的值。二、连结如连结多边形的对角线、三角形的中位线和梯形的中位线 ,从而可以利用它们的定理来解决问题。例 2 .在△ ABC中…     

一个结论的证明及应用

已知:如图1,正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A,连结DE、BG,试证明S△ADE=S△ABG.解过G作GH∥AB,过B作BH∥AG,连结AH,则四边形AGHB是平行四边形.因为四边形AGHB是平行四边形,所以HG=AB.因为在正方形ABCD和正方形AEFG中,有AB=AD,AG=AE,HG=AD,因为AB∥HG,所以∠AGH ∠BAG=180°.