与“费马点”相关问题的处理策略

<正>费马点的定义:如图1,在任意ABC中,点P是三角形内任意点,当PA+PB+PC的和最小时,点P即为ABC的费马点.此时,∠APC=∠BPC=∠APB=120°.本文着重研究与"费马点"相关的"三线碰头"问题的处理方法.     

费马点及其在中考中的应用

一、费马点的由来 费马(Pierre de Fermat,1601-1665)是法国数学家、物理学家.费马一生从未受过专门的数学教育,数学研究也不过是业余爱好.然而,在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌.他是解析几何的发明者之一;概率论的主要创始人;以及独承17世纪数论天地的人.一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家.尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年.费马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在△ABC内求一点P,使PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为"费马点".     

加权费马点及其性质

加权费马点与费马点既有相似点也有不同点.相似点是确定加权费马点的方法,以三角形的每一条边为底边,向外作以三边比为权重比的相似三角形,对应点连线交于一点,就是加权费马点;不同点是加权费马点在三角形内的条件,当原三角形的某个内角与权重比三角形对应的内角之和(共有三对)都小于180°时,加权费马点在三角形内,当其中一对角的和大于180°时,加权费马点在相应角的顶点上.     

"费马点"数学模型在中考中的应用

法国数学家费马曾提出一个历史名题:在三角形所在平面上求一点,使该点到三角形三个顶点的距离之和最小,人们称这个点为"费马点",它有如下结论: 结论1 三角形的三个角都小于120°时,费马点是三角形内与三个顶点的连线两两夹角为120°的点.     

最经济的路线(高一、高二、高三)

有这样一个问题: 三个乡村合办一所小学,大家共同出资.为了节约经费,希望修筑的从三个乡村到小学的道路的总长最短,那么这所小学的地址应选在哪里呢? 据历史考证,真正解决这个问题的人是数学家施坦纳.设三个乡村分别用A、B、C三点表示, 所求的点P称为△ABC的费马点.费马点的确定分两种情况: (1)若三角形的最大内角小于120°,则费马点P位于三角形内部,且该点与三角形三个顶点     

“费马点”模型及其应用

<正>线段的最值问题是指在给定条件下,求线段长度的最大值或最小值.近年来求线段的最值问题频繁出现于各地中考中,成为中考的热点,也是学生解决问题的难点.本文介绍通过"费马点"模型来解决有关最值问题.一、费马点模型如图1,以△ABC(三内角都小于120°)的     

“费马点”数学模型在中考中的应用

<正>法国数学家费马曾提出一个历史名题:在三角形所在平面上求一点,使该点到三角形三个顶点的距离之和最小,人们称这个点为"费马点",它有如下结论:结论1三角形的三个角都小于120°时,费马点是三角形内与三个顶点的连线两两夹角为120°的点.结论2三角形有一个角大于或等于120°时,费马点是钝角的顶点.中考主要考查结论1的应用,一般不涉及结论2.     

再探费马点

费马点这个几何名点和其它许多几何经典问题一样 ,结构优美 ,性质精致 ,既引人入胜又发人深省 .利用费马点解题 ,其视角较独特 ,其作用更是非同一般 .费马点到三角形三顶点的距离之和是一个重要的极值不等式 ,但却不宜计算 ,本文给出了“距离和”与三角形三边的平方和及面积之间的一种全新的、优美的关系 ,从而使“距离和”的计算更具一般性和优越性     

换个角度看费马点

费马定理是指:在一个三角形中,到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点.(1)若△ABC的3个内角均小于120°,则这个三角形的费马点与三个顶点的连线正好平分其所在的周角.(2)若△ABC有一内角不小于120°,则此钝角的顶点就是这个三角形的费马点.     

费马点

数学上称到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点．它是这样确定的:如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点;如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对三边张角均为120°的点,是三角形的费马点．     

费马点

在数学上,到三角形三个顶点距离之和最小的点称为费马点(也称费尔马点)．它是这样确定的:如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点;如果三个内角均小于120°,则在三角形内部对三边张角均为120°的点,是三角形的费马点．     

解析几何中求最值的常用策略

一、利用对称点转化利用对称点求最值是解析几何中最常见的题型之一,经过转化之后利用两点之间线段最短或三角形的三边关系求解.     

线段最值问题的求解策略

<正>动态几何中的最值问题是中考的热点问题.动中求静、变中寻求联系是解决此类问题有效的办法.在探求最值时,通常可以利用两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边等知识确定动点的位置,然后运用直角三角形中边、角关系或相似三角形对应边成比例实现最值问题的求解.下面举例说明此类问题常用的方法与技巧.一、旋转、对称转移法确定线段和的最值,可利用轴对称、旋转等几何变换将其中的一条或几条线段进行位置上的转移.如"将军饮马型"问题,利用     

解三角形特殊最值问题的举例探究

以解三角形为核心的最值问题在高考中十分常见,问题突破需要经历模型构建、定理转化、最值分析等过程.依托三角形构建模型,利用正余弦定理转化、不等式或函数性质分析是问题突破的常规策略.本文以解三角形中的特殊最值问题为例,开展探究突破.     

费马点的数学文化意蕴——浙教版“寻找并验证费马点”的设计思考与实践

正一、教学立意中国画论有"意在画先"一说,课堂教学的设计也是一个意在教先、以意统教的过程.费马点是2006年版浙江课程实验教材数学八下4.2.3课后的设计题,它是以实际问题为背景呈现出来的.假设点A,B,C表示三个村庄,要选一处建车站,使车站到三个村庄的公路路程的和最短,若不考虑其他因素,那么车站应建在费马点上.这个问题的实质是以三角形内一点与各顶点组成的夹角都是120°为条件,证明三条线段之和     

“费马点”与中考试题

费尔马,法国业余数学家,拥有业余数学之王的称号,他是解析几何的发明者之一．费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形,费马点是对各边的张角都是120°的点,对于有一个角超过120°的三角形,费马点就是这个内角的顶点．     

三角函数最值问题的几种常见解法

三角函数最值问题是三角函数中的基本内容,也是高考数学的常见题型.三角函数最值问题的常见解法有引入辅助角法、利用三角形的有界性、换元法、基本不等式法等.     

三角形中三角函数问题的高考常见题型及求解策略

三角形中三角函数问题的高考常见题型主要有求角的值、求三角函数式的值或最值、判断三角形的形状及三角函数综合问题等.求解策略是利用三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理、三角形的面积和三角函数的变换等知识进行边与角的转化才能顺利解决问题.     

输油管的优化铺设模型

研究了在不同情况下铺设输油管道的费用问题。在非共用与共用管道耗费相同时,把三角形两边之和大于第三边的原理与函数方程相结合,用函数最小值的思想分类讨论求出线路最短时的最小费用;在非共用与共用管道耗费不同时,利用费马点与势能最小原理找出最合理的车站位置和最节约的耗费。     

用尺规作图方法寻找三角形的加权费马点

<正>1 问题导引(1)已知锐角△ABC,请你用尺规作图的方法确定一点P,使得PA+PB+PC最短.即:确定一点使得该点到三角形的三个顶点的距离之和最短.满足上述条件的点P,我们称之为三角形的费马点.(2)该点的寻找步骤:①以BC为边构造一个△BCQ,使得BC∶CQ∶BQ=1∶1∶1(即△BCQ是等边三角形);②作△BCQ的外接圆;③连接QA,AQ与△BCQ外接圆有一个交点P;④由于△ABC是锐角三角形,所以该点就是符合条