探索反比例函数图象上到原点的距离为定值的点的个数

问题1已知函数y=2x.(1)在已知函数的图象上,是否存在点P,使点P到原点的距离为5,若有,这样的点有几个,并求出点P坐标.(2)在已知函数的图象上,是否存在点P,使点P到原点的距离为3,若有,这样的点有几个,并求出点P坐标.解:(1)设点P坐标为(m,n),根据勾股定理有m2+n2=5.假设P在双曲线y=2x上,所以m=2n,所以m2+n2=5n=2m①②②代入①得m2+4m2=5.令m2=a,则a+4a=5,所以a2-5a+4=0,所以(a-4)(a-1)=0,所以a1=4,a2=1,所以m2=4,m2=1,所以m1,2=±2,m3,4=±1.当m=2时,n=1;当m=-2时,n=-1;当m=1时,n=2;当m=-1时,n=-2.所以符合条件P的点有(2,1),(-2,-1),(1,2),…     

在数学学科训练体系中提高教师的能力与素质

一、试题的评价与分析例1:(哈尔滨市香坊区期末测试第28题)在平面直角坐标系中,Rt△AOB的位置(如图1),∠ABO=90°,∠OAB=30°,点A坐标为(1,#3),点P为x轴上一个动点,点P不与点O重合,连接AP.(1)当点P运动到什么位置时,△OAP为等腰三角形,求点P的坐标.     

数学单元测试题（一）（反比例函数的图象和性质）

一、填空题1.若点A(7,y1),B(5,y2)在双曲线y=2x上,则y1与y2的大小关系是.2.反比例函数y=kx的图象经过点P(m、n),其中m、n是一元二次方程x2 kx 4=0的两个根,那么点P的坐标是.3.如果一次函数y=mx n与反比例函数y=3n-mx的图象相交于点(12,2),那么该直线与双曲线的另一个交点.4.已知y与x-1成反比例,当x=12时,y=-13;那么当x=2时,y的值为.5.对于函数y=3x,当x<0时,y0(填“>”或“<”),这部分图象在第象限.6.反比例函数y=kx1-2k,当x>0时,y随x的而增大.7.已知点P(1,a)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上,其中a=m2 2m 3(m为实数),则这个函数的图象在限.…     

一个不等式结论的再推广

题1:设a>1,b>1,求证:a2/b-1+b2/a-1≥8.(第26届独联体数学奥林匹克竞赛题) 题2:已知实数a>1,b>1,c>1.求证:a3/b2-1+b3/c2-1+c3/a2-1≥9(√3)/2.当且仅当a=b=c时,等号成立(<数学通报>2000年第11期数学问题解答1284).     

数学单元测试题（二）——二次函数

一、选择题1.抛物线y=x2-4x-4上的一个点是( ) A.(2,-8) B.(2,-2) C.(2,0) D.(-2,-8) 2.y=ax2 bx c(a≠0)的图象如图1所示,则点M(a,bc)在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知一次函数y=ax c与二次函数y=ax2 bx c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( )     

初三数学结课质量检测题

A卷 检测范围:九年义务教材三年制初级中学教科书代数第三册;几何第三册 一、填空题(第题3分,共45分) 1.方程2x~2=1的解为___。 2.在实数范围内分解因式4x~2-5 3.当k___时,方程k~2x~2 2x 3=0有两个相等的实数根。 4.点P(-2,-5)关于y轴的对称点的坐     

一道解几题解法的引申(高二)

题设P为圆C:(x-3)2 y2=1上的动点,Q为抛物线y2=x上的动点,求|PQ|的最小值. 解由条件可知C(3,0),设Q(a2,a),则|QC|2=(a2-3)2 a2=(a2-(5/2))2 11/4,即当a2=5/2时,| QC |min=(√11/2),此时,| PQ |的最小值为(√11/2)-1. 此题的解法可作以下类比,引申. 引申1 一个酒杯的横截面是抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,今在杯内放入一个     

从一道高考题看对学生的能力要求

高考的一个内容是考查学生的数学能力.数学能力是一种特殊的能力它是在学习数学过程中发展起来的.数学能力通常包括逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力.我们平时对高三学生的辅导过程中,除了进一步复习巩固大纲要求中的基础知识和基本技能,适当拓宽一些知识面外,重点应着眼于对数学思维能力的培养和提高.今年高考上海试题的第25题是:在直角坐标系中,设知形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1,t)、Q(1-2t,2 t)、R(-2t,2),其中t∈(0, ∞).(1)求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t);(2)确定函数S(t)的单调区间,并加以证明.本题重点是分析题意,寻找解题思路.矩形OPQR的四个顶点中只有O点是固定的,它在坐标原点,其他三点的坐标依赖于参数t而不定,而这三点中,P点肯定在第一象限,R点肯定在第二象限,那么Q点落在何处呢?当1-2t>0时即0相似文献   

对两道高考题的思考

1.(2010年高考数学全国课标文科第21题)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.(Ⅰ)若a=12,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.2.(2012年高考数学湖南卷文科第22题)已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.     

能力小题训练7——直线与圆的方程

一、选择题(每小题5分,共60分)1.直线(3m 2)x-(2m-1)y 5m 1=0(m∈R)必过定点().A.(-1,-1)B.(1,1)C.(1,-1)D.(-1,1)2.如果AC<0且BC<0,那么直线Ax By C=0不通过().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知直线L1:Ax By C=0,L2:x y=0,L1∩L2=P,L3过点P,当L3到L2的角等于L2     

形异质同的几道高考题——谈有心圆锥曲线的一个性质

2011年全国高考四川文科数学卷第21(2):如图1,过点C(0,1)的椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为e=√3/2.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,0),过点C的直线l交椭圆于另一个点D,并于x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q. (1)略; (2)当点P异于点B时,求证:OP· OQ为定值. 2011年全国高考四川理科数学卷第21(2):如图2,椭圆有两个顶点A(1,0)、B(-1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点,并于x轴交于点P,直线AD与直线BC交于点Q.     

评析一道高考题的三种解法

高三教学要重视多题一解和一题多解,研究知识与方法的内在联系,并从中获得解题的思路与技能.2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标Ⅱ卷)文科第21题:已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(Ⅰ)求a;(Ⅱ)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.这是一道高考压轴题,问题(Ⅰ)解法简单,在此不赘述.问题(Ⅱ),对于文科学生还是有一定难度的.现提供三种解法,并分析各自优劣,让同学们从中去品味不同解法间的差异与联系.     

一道高考选择题的多种解法

题目(2006年重庆理科卷第10题):若a,b,c且a(a b c) bc=4-23,则2a b c的最小值为()(A)3-1.(B)3 1.(C)23 2.(D)23-2.这是一道最值问题,主要考查基本不等式的应用和代数式的变形.对复杂式子的辨别能力要求较高,学生难以下手,让现在高三的学生练习也如此,现经过探讨和共同研究得到多种解法,供大家参考.解法1:a(a b c) bc=4-23,即(a b)(a c)=(3-1)2,因为a,b,c>0,所以(a b)>0(a c)>0,故2a b c=(a b) (a c)≥2(a b)(a c)=2(3-1),当且仅当a b=a c时,即b=c时等号成立.所以2a b c的最小值为23-2,选(D).解法2:若a,b,c>0且a(a b c) bc=4-23,则a2 ab ac…     

2018年高考数学阅卷有感——兼谈文科生的现状及教学启示

<正>笔者有幸参加了2018年安徽省高考数学网上阅卷工作,面对学生的数学试卷及其出现的问题,感触颇多,下面笔者根据2018年全国卷(I)文科数学第19题的阅卷情况,谈谈文科生的现状及教学启示.1试题再现(2018年全国卷I文科数学第20题)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M、N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;     

一道课本习题引发的讨论

人教版数学必修④第二章复习参考题B组第5题:已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1 OP2 OP3=0,｜OP1｜=｜OP2｜=｜OP3｜=1.求证:△P1P2P3是等边三角形.(证明略)当我讲完此题正想继续下一题时,发现学生1举起手,站起来问:“老师,点O在什么地方?与△P1P2P3的形状有关吗?”学生1的疑问引起了我和其他学生的兴趣,借着学生们的热情劲,我让他们分组讨论,探究结果.5分钟后,陆续有学生举手示意.学生2:老师,点O位于△P1P2P3内部且是△P1P2P3的重心.(到黑板上板书如下:)以OP1、OP2为邻边作平行四边形OP1PP2,连接OP交P1P2于点M,则OP1 O…     

求三角形面积的一个公式

定理已知点P(a,0)、Q关于直线l:Ax+By+C=0对称,点R(x_0,y_0)是直线PQ外一点,则证明:设Q坐标为(X,Y)。∵直线PQ和直线l互相垂直, ∴ Y-b/X-a=B/A,即 BX-AY=Ba-Ab. (1)又∵ P、Q关于直线l对称,且在l的两侧, ∴ AX+BY+C=-(Aa+Bb+C),即 AX+BY=-(Aa+Bb+2C). (2) 将(1)、(2)联立,可得如下关于X、Y的线性方程组: BX-AY=Ba-Ab, AX+BY=-(Aa+Bb+2C),解之得X=Au+a, u=-2(Aa+Bb+C)/A~2+B~2 Y=Bu+b, ∴点Q坐标为(Au+a,Bu+b).     

2004年普高春招（北京卷）数学试题

一、选择题 (本大题共 10小题 ,每题 5分 ,四个选项中只有一个符合题目要求 )1.在函数 y =sin2x ,y =sinx ,y =cosx ,y =tan x2 中 ,最小正周期为π的函数是 (　　 )A .y=sin2x　　B .y=sinxC .y=cosx D .y =tan x22 .(理 )当 23 相似文献   

对一道2014年高考浙江解析几何题的探究

<正>2014年高考浙江卷理科第21题,如下:如图,设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(其中a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a、b、k表示点P的坐标;(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离最大值为a-b.     

一组不等式的推广及应用

高级中学数学第二册 (上 )第六章一组不等式 :1 如果a ,b ∈R ,那么a2 b2 ≥2ab(当且仅当a =b时取“=”号 ) (P9性质定理 ) .2 .已知a ,b是正数 ,且a≠b .求证a3 b3>a2 b ab2 (P12 例 3) .3.如果a ,b是正数 ,且a≠b是正数求证a6 b6 >a4 b2 a2 b4 (P16 习题 2 ) .从结构上看 ,三式之间有惊人的相似 ,反映了相关数学的本质属性 .由此类比拓展 ,可以得到更一般性的结论 ,形成新的解题序列 ,发挥教材的效应 .引申 1　如果a ,b是正数 ,那么an bn≥an- 1b abn- 1(n∈N ,n >1 ) (当且仅当a=b时取“=”号 ) .证明　an bn - (an- 1b abn- 1)…     

2014浙江高考理数第21题的分析与巧解

2014浙江高考理数第21题:如图,设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标.(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.标准答案:(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由