构造图形求sin15°的值

正在解直角三角形中,根据锐角三角函数定义及勾股定理便可求出30°,45°,60°的四个锐角三角函数值。受此启发,我们可用多种方法来构造直角三角形,从而推导出sin15°的值。方法一:如图1,作Rt△ABC,使∠A=30°,作角平分线AD,过点D作DE⊥AB于点E,则DE=DC。     

三角形中重要线段的巧用

解答有关三角形问题时，往往涉及到三角形的三种重要线段──角平分线、中线和高．解题时巧用它们的性质，可以妙解许多问题．下面举例说明．一、角平分线的应用1．作垂线，找等量例1已知：如图1，在△ABC中，AB＝2AC，AD平分BAC，AD＝BD求证：．分析要证，根据角平分线的性质，可先找到一个直角．故作于E点，因ABD为等腰三角形，由“三线合一”性质，得从而证明，推出结论．证明清同学们自己完成．2．绕角平分线翻折上树还可以利用角平分线的轴对称性，将凸ADB绕AD翻折，点B必落在AC的延长线上，用产点表示（如图2）．因凸ADB…     

从线段垂直平分线入手解题

学习了线段垂直平分线的性质定理后,对于某些几何题,我们可以从线段垂直争分线入手,这样进行,常能找到解题的捷径．例1如图1,△ABC中,AB＝AC,／C＝75o,MN是AB的垂直平分线,分别交AB、AC于M、N．求／CBN．解由M＝AC,／C＝75“,得／ABC＝75o,土A＝3ry．MN是AB的垂直平分线,NA＝NB．11二IA＝3ry．tCBN＝IANC／l＝45“‘例2如图2,△ANC中,DE是AC的垂直平分线,AE＝4,△ABD的周长是15．求△ABC的周长．解注意至nE是AC的中点,那么AC＝ZAE＝8．DE是AC的垂直平分钱,DA＝DC．AB＋BD＋DA＝15,AB…     

(十七)相似形测试卷(A卷)

一、填空题（每空4分，共48分）：1．若线段a＝6，b＝24，则a与b的比例中项c＝；2．若线段a＝3，b＝12，c干5，则a、b、c的第四比例项d一＿；｝若c：b：c72：3：4，则Q＋O。C—；4．如图l，在凸ABC中，DE／／BC，AD—5，DB—10，AE—4，BC—18，则EC一＿，DE一5．如图2，在西AB（”中，AB—12，BC—10，AC—8，AD是角乎分线，BD一，DC一；6．若两个相似三中C对应进的比是2。3，则它们的周长比是，面积比是；7．在Rt凸ABC中，AC—scm，形C—6cm，CD是斜边AB上的高，则AD一，DB，CD一H、单项选择题（每小题5分，共ZO分…     

(九)解三角形测试卷(A)卷

一、境空题（每空4分，共48分）：1.若角α的终边经过点（－5，12），则sinα＝，cosα＝；2．若0°＜α＜β＜90°,则sinα与sinβ产的大小关系是，cosα与cosβ的大小关系是3在△ABC中，若sinA＝cos45°，则A；4．在△ABC中，若C＝90°，AB＝13，AC＝12，sinA＝，cosA＝，tgA＝；5．在△ABC中，若cosA＝sin30°，则A；6．在△ABC中，若c’一a‘＋b’一ah，则iC二；7．在凸ABC中，若a—10，b一10／了，／A—3O”坝u／B一；8．（ig45”－Zoos150o）（ctgl35”＋Zsinl20o）一．二、单项选择题（每小题5分，共20分）：1．在凸AB…     

巧用一结论 妙证两定理

本文给出了关于三角形角平分线的一个结论,这个结论可以非常巧妙地证明两个著名的定理． 一、结论 如图1,在△ABC中,AD是角平分线,求证AB·AC—BD·CD=AD^2．     

关于角平分线的证明

从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分钱．几何学习中，关于角平分线的证明问题屡见不鲜．解答它们，既可以根据定义，也可以运用角平分线的判定定理．下面介绍几种常用方法．一、考虑要证的角平分线把角分成两个相异的角，利用定义证明例1如图1，已知：E、F分别为ABC的ZAB及边CA的延长线上的点，AE—AF，AD”EF．求证：AD平分＊BAC．证明”．“AE—AF，zAEF一二F．AD／／EF，．．．三1一zAEF，＜2一LF．if一二2．故AD平分工BAC．例2如图2，已知：thABC中，AB—AC，LI—zZ…     

用“折叠法”解决角平分线问题

当几何问题中出现“角平分线”时,我们常常构造全等对称图形来解,而全等对称图形实际上可以看作沿角平分线“折叠”.因此,直接用“折叠法”解决角平分线问题,有时更有效、更简捷.例1如图2,AD为ABC中∠A的平分线,AB>AC,P为AD上一点,求分证析:AB-AC>PB-PC.题中含有AD为ABC中∠A的平分线,因此可沿角平分线AD折叠ABP,得到全等对称图形AB′P.于是可在此三角形中讨论线段大小.证明延长AC到B′,使AB′=AB,连接PB′.在BAP和B′AP中,AB=AB′,∠BAP=∠B′AP,AP=AP,∴BAP≌B′AP,∴PB=PB′.在PB′C中,B′C>PB′-PC.…     

应用“三线合一”定理证题

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线。底边上的高互相重合．等腰三角形的这一性质称“三线合一”定理．这个定理可分解为三个定理：（1）在△ABC中,AB=AC．若AD是角平分线,则AD⊥BC且BD＝DC;（2）在△ABC中,AB＝AC．若AD是中线,则AD⊥BC且／DAB＝／DAC;（3）在△ABC中,AB＝AC．若AD是高,则BD＝DC且／DAB＝／DAC．由此可知,‘“三线合一”定理有三个基本功能：回．证明线段相等;2．证明两角相等;3．证明两条线段（或直线）互相垂直．下面举例说明“三线合一”定理在证题中的应用．侈IJI女日图1,在thA…     

巧用角平分线性质证明

角平分线是指把一个角分成两个相等的角的射线.关于角平分线具有如下重要的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.对于一些含角平分线条件的证明问题,巧用这个性质,能简化解题过程,达到事半功倍的效果例1如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足为E、F,求证:EB=FC.证明:∵AD平分∠BAC,又DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF.在△BDE和△CDF中,∵∠DEB=90°,∠DFC=90°,DE=DF,BD=CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC例2如图,△ABC中,O为∠A、∠B平分线的交点,OD⊥BC于D,OE⊥…     

线段垂直平分线性质的应用

垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线．它具有非常重要的性质：线段会在平分线上的点与这条线段两个端产、的R巨离相等．在解某些几何问题时，灵活应用这一性质，可简化解题过程，使其迅速获解．例1如图1，线段CD垂直平分AB，AB平分工CAD求证：AD／／BC．例2如图2，已知AD平分ZBAC，EF垂直平分AD交BC延长线于F，连接AF求证：证明EF垂直平分AD，例3如图3，已知：求证。AC＝AD，证明连CD交直线AB于五BE是CD的垂直平分线．例4如图4，在△ABC中，求证：证明延长BC到D，使DC—BC，连AH．LACB—90”，AC是B…     

二倍角正切公式的几何证明

三角公式通常都是利用三角函数方法证明的，文[1]介绍了一种独特的几何证法，令人耳目一新．本文再介绍几种几何证法，供大家参考．证法一如图（1）作直角三角形ACD，使∠ACD为90°，延长CD至B，使AD＝DB.令则易知证法二如图（2）作直角三角形ABC，使∠ABC＝90°，设AB＝1，作∠BAC的平分线交BC于D，连AD，则证法三如图（3）以O为圆心，AB为直径作半圆ACB，联CO，设∠COB＝20，过C作CD⊥AB于D，则易知二倍角正切公式的几何证明@姜卫东$牡丹江农业学校@华云$牡丹江农业学校     

利用全等三角形的性质解题

学习了三角形全等的判定以后，可以利用全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，对应角相等）解决许多类型的几何问题，如下面几例．一、证明线段相等例1在△凸ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分钱交AC于E，交BC边上的高于D，过D作直线平行于BC交AC于F．求证：AE＝CF．证明如图1，作DM⊥AB交AB于M，作FN⊥EC交BC于N．∵BE是∠B的平分线．二、证明角相等例2如图2，已知AC＝AB，DE＝DB，∠CAD＝∠EDA＝60°．求证：∠AFB＝∠BGC证明∵AC＝AB，DE＝DB，又∠CAD＝∠EDA＝60°，．．bABC和凸BDE都是等边三角…     

构造等腰三角形证题例析

在几何证题中,经常遇到添加辅助线构造等腰三角形问题．那么,如何构造等腰三角形呢？下面给同学们介绍两种常用的方法．一、构选角平分线及平行经得等腰三角形它有两种基本图形．图1是作边的平行线,图2是作角平分线的平行线,掌握了这个规律就能迅速找到解题思路．例1已知：如图3,在凸ABC中,／ABC的平分线和zACB的平分线交于点D,过D作BC的平行线,交AB于E,交AC于F．求证：EF＝EB＋FC．分析此题是证明线段和差问题,一般采用“截长法”或“补短法”,但由已知出现了角平分线加平行线,必可得到等腰三角形．观察图形,有两个…     

如何证明带系数的比例线段

同学们在练习册中常能看到这样的题:已知在 Rt△ABC 中,∠C=Rt∠,AD 是∠A 的平分线,DE⊥AB,CE 交AD 于 F,如图1.     

初二(上)几何期末复习自测题

一、填空：1．有两根长3cm和4cm的木棒，现要选一根长xcm的木棒，使它们首尾依次连接能组成三角形，那么第三根木棒X的取值范围是（安徽1994年）2．等腰三角形一边为6，另一边为13，则周长为．（杨州1993年）3．三角形ABC中，若ZC—2（zA＋zB），则iC一．（河南1994年）4．若三角形的一个外均与相邻内角的比是3：2，一个不相邻的内角是so”26’，则另一个不相邻的内均是5．如图1，在凸ABC中，若All—AC，CH入AB，／HCB—20o，则／A一（长igl”3年）6．如图2，在西ABC中，AB—AC，／A·一40”，／ABC的平分线交AC于点H，则ZB…     

利用三角函数解(证)几何题

一、应用特殊角的三角函数例 1　在△ABC中 ,∠A=1 2 0°,AB=3,AC=2 ,求 BC和 sin B。解 :过 C作 CD⊥ BA,交 BA的延长线于点 D,如图 1。∵∠ BAC=1 2 0°,∠ D=90°,∴∠ DAC=60°,∠ ACD=30°。在 Rt△ ACD中 ,AD=12 AC=1 ,CD=AC· sin∠DAC=2×sin60°=3。在 Rt△ BCD中 ,BD=BA AD=4,BC=BD2 CD2 =42 (3 ) 2 =1 9,∴ sin B=CDBC=31 9=571 9。例 2　已知 :△ ABC的边 AC=2 ,∠ A=45°,cos A、cos B是方程 4x2 - 2 (1 2 ) x m=0的二根 ,求 :(1 )∠ B的度数 ;(2 )边 AB的长。解 :(1 )∵∠ A=45°,∴ cos …     

构造等腰三角形证几何题

等腰三角形是一种特殊的三角形．它除具有三角形的性质外，还有一些特殊性质．有些几何证明题，根据题设条件构造等腰三角形，运用等腰三角形的特殊性质，证题十分巧妙简捷．请看下面几例．例1已知：如图1，在ABC中，求证：△ABC是直角三角形．分析一根据题没条件，要证△ABC是Rt凸，可以构造一个直角三角形与合C的三角形全等．由，作B的手分线BD，便构造出一个等腰三角形DAB，再作DE上AB，易得凸BDE丝凸BDC，就能征得ZC是直角了．证法一作ZB的平分线BD交AC于D，过D作DE上AB，垂足为E，则．．．凸DAB是等腰三角形，DE是…     

借助几何模型构建等腰三角形

<正>涉及角平分线、中垂线和倍角等条件的几何问题,往往可通过添加适当的辅助线构造等腰三角形得以解决.本文介绍如何借助六类不同的几何模型构建等腰三角形来解决相关问题.一、"角平分线+平行线"模型如图1,若D是∠ABC的角平分线上一点,AD//BC,则△ABD是等腰三角形.例1 如图2,BD是△ABC的角平分线,点E在AB上,点F在AC上,EF//BC,FD=CD,BE=8,EF=2,求BC长.分析由BD平分∠ABC,     

一道角平分线问题的解法分析

<正>题目如图1,已知△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,AD为角平分线,求AD的长度．分析1一方面,看到角平分线,自然就想到“角平分线上的点到两边的距离相等”这个性质定理,从而去作AB,AC的垂线,而从垂线又很容易联想到三角形的高,所以能表示出△ABD与△ACD的面积;另一方面,由已知条件可求△ABC的面积,从而利用S_△ABD+S_△ACD=S_△ABC列出方程后求解．