从P(k)过渡到P(k+1)的几种策略

用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题P(n)时,当用上假条件P(k)后,所得式子往往与目标式P(k 1)不一致.本文给出由P(k)过渡到P(k 1)的几种变形策略.     

由P(k)过渡到P(k 1)的若干策略

用数学归纳法证题的第(2)步中,用上假设条件P(k)后,所得式子常与目标式P(k 1)不同,特别是不等式一类的问题·本文就由P(k)过渡到P(k 1)的若干变形策略,介绍如下·一、充分利用已知关系式例1设数列{an}的前n项和Sn=2n-an,先计算a1,a2,a3,a4,再猜想an的表达式,并加以证明·解:由a     

用上假设条件P(k)的若干方法

用数学归纳法证明与正整数n有关的命题P(n),证明的第二步中,在证明P(k+1)也成立时,必须用上假设条件P(k).但由于题目的多样和复杂性,有时难以直接用上假设条件P(k).本文针对这种情况,给出用上假设条件的若干处理方法.     

实现目标式P(k+1)的若干策略

用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题P(n)时,当用上假设条件P(k)后,所得式子往往与目标式P(k+1)不一致,特别是不     

实现目标P(k+1)的若干策略

在用数学归纳法证题时,当用上假设条件P(k)后,所得式子的形式往往与目标式P(k 1)相差甚远,特别对于不等式一类的问题.本文给出由P(k)过渡到P(k 1)形式的若干变形策略.     

用上假设条件P(k)的若干方法

用数学归纳法证明与正整数n有关的命题P(n)时,证明的第二步中必须用上假设条件P(k).由于题目的复杂多样性,常常难以直接用上假设条件.本文给出设法用上假设条件的若干方法.     

怎样用上假设条件P(k)

在数学归纳法证明的第二步中,证明P(k 1)时,必须用上假设条件P(k).而有些题目难以直接用上假设条件.本文对这种情况给出几种变形处理的策略.     

关于用上P（k），实现P（k＋1）的若干策略

用数学归纳法证明与正整数n有关的命题P(n)，主要是证明的第二步，其关键有两处，一是必须用上假设条件P(k)，二是由P(k)如何过渡到P(k 1)．本文就此给出若干处理策略．     

巧用“强化命题法”实现P(K)■P(K+1)

有些与自然数n有关的数学命题P(n),在用数学归纳法证明时,由P(k)1P(k+1)不易,或困难较大,这时我们可适当地加强原命题P(n)为P′(n),而P′(n)易于由p′(k)■P′(k+1),这就通过P′(n)证得P(n)。这种思想方法我们称为“强化命题法”,它是数学归纳法中实现归纳推理的一个很有用的技巧。下边我们通过举例说明这种思想方法。     

从k到(k+1)思路受阻分析及转化策略

用数学归纳法证明不等式,特别是数列不等式,是一个行之有效的方法,也是中等数学中的一个基本方法,近些年高考试题中多次出现这类考题.运用这种方法证明不等式时,往往很多同学在证k到(k+1)的过程中卡了壳,断了思路,这是一种普遍现象.下面分析一下思路受阻的几种原因及转化策略.一、从k到(k+1)添项不足在从k到(k+1)的证明过程中,如果分析不透命题结构,就会造成添项不足,证明夭折.【例1】已知Sn=1+21+13+…+1n(n∈N*),用数学归纳法证明S2n>1+2n(n≥2,n∈N*).思路受阻过程:(1)当n=2时,S22=1+21+31+41=1+1123>1+22,命题成立.(2)设n=k(k≥3)时不等式成立,即S2k=1+21+31+…+21k>1+2k,则当n=k+1时S2k+1=1+12+31+…+21k+2k1+1>1+2k+2k1+1,要证明S2k+1>1+k2+1,只须证1+2k+21k+1>1+k2+1,即证2k1+1>21.显然,当k≥2时这是不可能的,解题思路受到阻碍.受阻原因分析:∵Sn=1+21+31+…+1n,∴S2k+1=1+21+13+…+21k+2k1+1+2k1+2+…+...     

用公式C_n~k C_n~(k 1)=C_(n 1)~(k 1)巧求sum from k=1 to n(k~2)和sum from k=1 to n(k~3)

由公式C_n~k C_n~(k 1)=C_(n 1)~(k 1),可得:C_2~2 C_3~2 … C_n~2=C_(n 1)~3,sum from k=2 to nC_k~2=C_(n 1)~3,     

如何从p(k)走到p(k+1)

用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 p(n)时,其证明的关键是如何从归纳假设p(k)过渡到 p(k 1)．本文结合实例介绍几种常用的技巧和策略, 供参考．     

方程ψ(kn)=ψ((k+1)n),(k=1,2,…)的正整数解

ψ(m)是Euler函数.本文根据Euler函数的性质,给出了方程ψ(h)=ψ((k+1)n),(k=1,2,…)解的存在性,并推广到更为一般的结果:方程ψ(k1n)=ψ(k2n)(k1,k2均为自然数)解的存在性.     

λK_(n,n)的P_(2k+1)-因子分解

给出了当d=gcd(λ,4k)≠1时,平衡完全二部多重图λKn,n存在P2k+1-因子分解的充分必要条件为n=0(mod 4k(2k+1)/d)。     

由P（k）过渡到P（k＋1）的若干策略

用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题P（n）时,当用上假设条件P（k）后,所得式子往往与目标式P（k＋1）不一致,特别是不等式一类的问题．本文给出克服难关,由P（k）过渡到P（k＋1）的若干策略．     

关于等幂和(k/∑/i=1/in)

证明了每一个等幂和(k/∑/i=1/in)(n为自然数)都可以表成k的n+1次多项式fn(k),并给出了fn(k)关于n的一个递推公式.     

二项式系数和b_n(r,i)=sum (n k)~i(n k-1)~(r-i) from k=1 to n的同余性质

利用同余理论及初等方法探讨二项式系数和bn(r,i)=sum (k n)~i(n k-1)~(r-i) from k=1 to n在模p下的同余性质.     

关于丢番图方程sum form k=0 to n(b-21k)=sum form k=1 to n(b+21k)

本文得到下面结论:设n,b,r为正整数,丢番图方程sum from k=0 to∞(1/n)(b-21k)~r=sum from k=1 to∞(1/n)(b+21k)~r仅有正整数解r=1,b=21n(n+1)和r=2,b=42n(n+1)     

求sum from k=1 to n(a_mk~m a_(m-1)k~(m-1) … a_1k a_0)的简便方法

求自然数的方幂和S_m(n)=sum from k=1 (k~m),一般利用递推公式,先算出s_1(n),s_2(n),…,s_m-1(n),然后才能求出s_m(n)。本文给出的方法,可以直接求出sum from k=1(a_mk~m a_(m-1)k~(m-1) … a_1k a_0),其特殊情形就是sum from k=1(K~m)。     

λKn,n的P2k+1——因子分解

给出了当d=gcd(λ,4k)≠1时，平衡完全二部多重图λKn,n存在P2k 1-因子分解的充分必要条件为n≡0(mod4k(2k 1)／d)。