正比例函数与反比例函数交点坐标规律与应用

先看人教八年级下课本第61面第9题: 在同一直角坐标系中,正比例函数y=K1x与反比例函数y=K2/x没有交点,请确定两个常数的乘积k1k2的取值范围. 分析:解答本题,既可从k1、k2的符号入手,然后观察正比例函数和反比例函数图象的交点情况;也可联立正比例函数和反比例函数的解析式,然后找出方程组无解的条件. 思路一:观察图象 1.k1k2 ＞0 (1)当k1＞0,k2＞0时,正比例函数y=k1x与反比例函数y=k2/x的图象如图1所示,它们有两个交点; (2)当k1＜0,k2＜0时,正比例函数y=k1x与反比例函数y=K2/x的图象如图2所示,它们也有两个交点;     

利用反比例函数的图像和性质灵活解题

<正>反比例函数具有下列特征:1.反比例函数定义:一般地,形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数叫做反比例函数.其中x是自变量,y是x的函数,k是比例系数.等价形式:xy=k,y=k·x-1,y=k·1/x.2.反比例函数的图像是双曲线,它有两个个分支,可用画出反比例函数的图像.3.反比例函数的图像的性质:     

一道三角问题的若干种解法

问题:求函数y=sin x cos x sin x cos x(x∈R)的最大值.解法1:y=sin x cos x sin x cosx2sin()1sin2=x π4 2x.当x π4=2kπ π2,即x=2kπ π4(k∈Z)时,2sin(x π/4)取得最大值2;当2x=2kπ π2,即x=kπ π4(k∈Z)时,sin2x/2取得最大值1/2;故当x=2kπ π/4(k∈Z)时,2sin(x π/4)     

妙用过坐标原点的两条直线统一方程解题例说

二元二次齐方程Ax2 Bxy Cy2=0,当B2-4AC＞0时所表示的曲线是过坐标原点的两条直线.此统一方程在求解直线与圆锥曲线的有关问题时有着巧妙的用途,其思想方法如下:若把圆锥曲线的弦所在直线方程ax by=1代入圆锥曲线方程,将其转化为关于x、y的二次齐次方程Ax2 Bxy Cy2=0,再化成C(y/x)2 B(y/x) A=0的形式,则弦的两个端点A(x1,y1)、B(x2,y2)与原点的两条连线的斜率k1=y1/x1,k2=y2/x2为其两根,从而利用韦达定理可使相关问题获解.下面举例加以说明.     

韦达定理的两个推论

如果一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1 x2=-ba;x1x2=ca.这就是著名的韦达定理.根据韦达定理,可得出以下两个推论.推论1设x1,x2是一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两根,则x1-x2=Δ姨a,其中Δ=b2-4ac.利用韦达定理很容易证明推论1.推论2如果一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两根之比为k,则kb2=(1 k)2ac.证明:设x1,x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个实数根,则x1x2=k,x1 x2=-ba,x1x2=ca .消去方程组中的x1和x2,得kb2=(1 k)2ac. 下面谈谈以上两个推论的应用.例1已知开口向下的抛物线y=ax2 bx c与x轴交于M、N两点(…     

谈一道习题的解法

在一些资料中常见到如下一类习题,现例举一个题及解法于后。题目:已知x+y/z=y+z/x=z+x/y=k (1) 求k之值 (解1) 由(1)可得(2)+(3)+(4)得2(x+y+z)=k(x+y+z) 两边同除以(x+y+z)可得k=2. 另一种解法是:上法中(2)—(3)得y—x=k(x—y) ∴ k=—1 以上两种解法的解,确系原题的解。显然各种解又是不完善的,解法也是不妥当的。这样的错误     

抛物线中的两个定理及其应用

一、两个定理及其推论 定理1:过点(k,0)作一条直线和抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则x1x2=k2,y1y2=-2pk.     

利用根与系数的关系解竞赛题

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,设x1,x2是它的两个根,则它的根与系数满足:x1+x2=-ba,x1·x2=ca.这两个表达式看起来简单,巧妙地利用它们,可以解答不少的数学竞赛题.一、求值例1设2x2-2x+k=0,2y2-2y+k=0,且x-y=2,那么k=.(2000年河南省初三数学竞赛题)解:由题意知x,y是方程2t2-2t+k=0的根.由根与系数的关系和已知得x+y=1,xy=k2,x-y=2 ∴k=-32.例2若关于x的方程(x+a)(x+b)=M的两根是α、β,则关于x的方程(x+α)(x+β)=-M的两根的平方和为.(2002年河南省初三数学竞赛试题)解:方程(x+a)(x+b)=M可化为x2+(a+b)x+ab-M=0.由根与系数的关…     

函数f(x)=x+k/x(k>0)的性质及其变形和应用

本文就函数f(x)=x+k/x(k>0)的图像,性质及其变形和应用进行归纳总结并展开讨论.结论1函数f(x)=x+k/x(k>0)的图象及性质:(1)图象如右图所示:(2)性质:①是奇函数;②在区间(k,+∞)和(?∞,?k)上单调递增,在区间(?k,0),和(0,k)上单调递减;③在x>0时,有最小值2k,在x<0时,有最大值?2k;④存在两条渐近线为直线y=x和x=0.应用1试讨论y=b/a+a/b(ab≠0)的取值情况.解当ab>0时,y≥2;当ab<0时,y≤?2,评述构造函数y=x+1/x,充分利用性质③进行解题.应用2求函数y=x+4/(x?3)(x>3)的最小值.解y=x?3+4/(x?3)+3≥7,当且仅当x=5时等号成立.所以y的最小值为7.评述令…     

用韦达定理求一元二次方程参数需检验

我们经常看到这样的情况:很多同学在用韦达定理求一元二次方程中参数的值或取值范围时,经常因忘记检验而失分.尽管老师一再强调,还是有同学没有检验.为什么会出现这样的现象呢?主要原因是没有理解为什么要检验,本文对此作简单的分析说明.先看一例:例设x1、x2是关于x的方程x2-(k+2)x+2k+1=0的两个实数根,且x21+x22=11,求k的值.解由题意得,x1+x2=k+2,x1x2=2k+1.∵x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=11,∴k2+2=11①解得:k=±3.检验:当k=3时,原方程的判别式Δ=k2-4k=-3<0,不合题意,舍去;k=-3时,原方程中有Δ=k2-4k=21>0.∴k=-3.可见,这类题目需要检验.那么…     

第二部分 热点题型习题精练

探索型1.解 :( 1)依题意可得 :x1+ x2 =2 ,x1· x2 =k由 y=( x1+ x2 ) ( x12 + x2 2 -x1x2 ) =( x1+ x2 ) [( x1+ x2 ) 2-3 x1x2 ] =2 ( 4 -3 k) =8-6k　即 y=8-6k.( 2 )∵方程有两实数根∴ Δ=b2 -4ac=4-4k≥ 0 .∴ k≤ 1.由此得 -6k≥ -6.　∴y=8-6k≥ 8-6=2 .即当 k=1时 ,y有最小值 2 ,没有最大值 .2 .( 1)解 :∵∠ BAC=∠ BCO,∠ BOC=∠ COA=90°,∴△ BCO∽△ CAO,∴ AOCO=COOB.∴ CO2 =AO· OB.由已知可得 :AO=| x1| =-x1,OB=| x2 | =x2 .∵ x1x2 =-m<0 ,∴ m>0 .∴ CO=m,AO· OB=m.∴ m2 =m,∴ m=1,m=0 (舍去 ) .∴…     

利用DISLab测定声波在铝中的传播速度

1实验原理两列振幅相同的相干波沿相反方向传播时叠加而成的波称为驻波。设两列波的表达式分别为y1=Acos2π(vt-λx),y2=Acos2π(vt+λx)。两波叠加后,介质中各处质元振动的合位移为:y=y1+y2=2Acos2λπxcos2πvt。在驻波中,各质元的振幅|2Acos2πx/λ|与它们所在位置x有关,而与时间t无关。振幅的最大值(等于2A)发生在|2Acos2πx/λ|=1的点,这些点称为波腹点,其坐标为:x=k2λ,k=0,±1,±2,…相邻两波腹间的距离为半波长.振幅的最小值(等于零)发生在|2Acos2πx/λ|=0的点,这些点称为波节点,其坐标为:x=(k+21)2λ,k=0,±1,±2,…相邻两波节…     

平方法与代入法的巧用(初二、初三)

例1 已知a,b,k均为实数,且a,b是方程x2-2kx 1/2k2-2=0的两个根,又a,b,k满足a2-2ak 2ab-5=0,求k的值. 解 a,b是方程x2-2kx 1/2k2-2=0的两个根,由韦达定理得 ab=1/2k2-2.     

习题引出的思考

题目:阅读问题与解答,然后回答问题: 关于x的方程k2x2+2(k-1)x+1=0有实数根。(1)求k的取值范围; (2)如果这个方程的两个实数根的倒数和的平方等于8,求k的值。解:(1)△=[2(k-1)]2-4k2=-8k+4>0,所以k<1/2     

反比例函数的一个性质及其应用

<正>反比例函数y=k/x的本质特征是:两个变量y与x的乘积是一个常数k.由此不难得出反比例函数的一个重要性质:性质如图1,点P(x,y)是反比例函数y=-k/x上任意一点,过点P作PA⊥x轴于点A,作PB⊥y轴于点B,则S_(长方形AOBP)=|k|,S_(△PAO)=1/2|k|.下面举例说明上述结论的应用.一、正向应用例1如图2,点A在双曲线y=1/x上,点B在双曲线y=3/x上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD的形状为矩形,则它的面积为____.     

一组有限三角数列和公式的应用

将x=a kβ、y=β/2代入公式2cosxsiny=sin(x y)-sin(x-y)与2sinxsiny=cos(x-y)-cos(x y),将k取0,1,2,…,n所得的n 1个等式分别相加,即得如下两个有限三角数列和公式:     

关于实根分布问题的一个定理及应用

定理设一元二次方程x2 px q=0有两个不等的实根x1、x2,且x10, 从而(x1-k)(x2-k)<0. 即k2 pk q<0. 此定理的逆定理也成立(证明略). 由定理的逆定理可知,对于一个常数k,如果满足k2 pk q<0,则不仅说明了一元二次方程x2     

关于分式方程“解”的讨论

众所周知 ,解分式方程最常用的方法是去分母法 ,这样 ,未知数的允许值范围可能扩大 ,解出的未知数的值必须检验 ,以防增根出现 .因此在探讨分式方程的解时 ,应十分注意增根 .下面举例说明 :一、分式方程“有解”情形例 1　 k为何值时 ,分式方程 kx2 + 5x + 4-2x + 4+ 1x + 1=0有负根 .解 :去分母得 :k - 2 ( x + 1) + ( x + 4) =0解得 x =k + 2 .由题意知 :x =k + 2 <0且 x =k + 2≠ - 1且 x =k + 2≠ - 4,故当 k <- 2且 k≠- 3且 k≠ - 6时 ,原方程有负根 .例 2　 k为何值时 ,分式方程 k( k + 2 )2 x - k( k - 1)2 ( x - 1)= 1有两实根 .解…     

两个三元三次不定方程的整数解

<正>文[1]编入两道关于不定方程的习题:(1)证明x³-y3-y³=xy+1993无正整数解;(2)求x3=xy+1993无正整数解;(2)求x³-y3-y³=xy+61的正整数解.本文将探讨两个一般形式的三元三次不定方程x3=xy+61的正整数解.本文将探讨两个一般形式的三元三次不定方程x³+y3+y³+z3+z³-3xyz=k(x3-3xyz=k(x²+y2+y²+z2+z²)+d(1)x2)+d(1)x³+y3+y³+z3+z³-3xyz=k x(y+xz+yz)+d(2)其中k、d∈Z,因对称性,约定方程⑴和方程⑵中x、y、z的值任意轮换时所得诸解为同一组解.     

初三数学单元练习

一、单项选择题(每小题2分,共30分)1.下列方程是一元二次方程的是( ).A.x3 x2-1=0 B.(x-2)(x 2)=(x 1)2C.3x2=0 D.x2-(1/x) 1=02.方程x2 2x k=1的两根互为倒数,则k为( ).A.0 B.1 C.2 D.以上都不对