函数值域、范围问题常见错解剖析

一、忽视定义域致错例1求函数y=x-(1-2x)~(1/2)的值域.错解由y=x-(1-2x)~(1/2)得X~2 (1-y)x y~2-1=0.因为关于x的二次方程恒有实根,所以有△=[2(1-y)]-4 (y~2-1)≥0,解得y≤1.故函数的值域为(-∞,1).剖析△=[2(1-y)]~2-4(y~2-1)≥0只能保证方程x~2 2(1-y)x y~2-1=0在整个R上有实根,而不能保证在(-∞,1/2](函数的定义域)上也有实根.     

巧寻因式(x~2±x 1)

我们知道ｘ3- 1=(ｘ- 1) (ｘ2 ｘ 1) ,且对于一元多项式Ｆ(ｘ) =ａ1ｘｎ ａ2 ｘｎ-1 … ａｎｘ ａｎ 1,若Ｆ(1) =0 ,则Ｆ(ｘ)中一定含因式 (ｘ - 1) ,若Ｆ (ｘ)中不含因式 (ｘ - 1) ,又如何寻求 ｆ(ｘ)是否含因式 (ｘ2 ｘ 1) ?事实上 ,若Ｆ(ｘ)含因式(ｘ2 ｘ 1) ,而不含因式 (ｘ - 1)时 ,令ｘ- 1≠ 0 ,则有Ｆ(ｘ) (ｘ - 1) =(ｘ3- 1) ｇ(ｘ) .显然 ,当ｘ3=1时 ,Ｆ(ｘ) (ｘ- 1) =0 ,故有Ｆ(ｘ) =0 ,而ｘ3=1可转化为ｘ3- 1=0即(ｘ - 1) (ｘ2 ｘ 1) .若ｘ≠ 1,则必有ｘ2 ｘ 1=0 .所以 ,把ｘ3=1代入Ｆ (ｘ)中 ,一定有Ｆ (ｘ) =ｋ(ｘ2 …     

m是偶数时 Walecki竞赛图的计数(英文)

本文引入了强拉丁方和强拉丁矩的概念 ,证明了当 m≥ 2且为偶数时 ,强拉丁矩的数目是 (2 m) !·2 m ( m -1 ) / 2 ,如果我们不考虑同构 ,有 (2 m ) !· 2 m ( m -1 ) / 2 -(m-1)· 2 m -1 ) ( m -2 ) / 2 个竞赛图 ,且完全图 k2 m +1 有 2 m ( m -1 ) / 2个相互不同构的竞赛图     

一道三角题的错解与多解

题目　已知方程 2ｓｉｎ2 ｘ-( 2ａ +3 )ｓｉｎｘ+( 4ａ -2 ) =0 ( )有实根 ,求实数ａ的取值范围 .错解 1　∵方程 ( )有实根 ,∴Δ=( 2ａ +3 ) 2 -8( 4ａ -2 )=( 2ａ-5) 2 ≥ 0 ,∴ａ为一切实数 .错解 2　令ｓｉｎｘ =ｔ,则 -1 ≤ｔ≤ 1 ,方程 ( )可化为2ｔ2 -( 2ａ+3 )ｔ+( 4ａ -2 ) =0 .设该方程的两根分别为ｔ1 和ｔ2 ,于是有Δ =( 2ａ+3 ) 2 -8( 4ａ-2 )≥ 0 ,-2 ≤ｔ1 +ｔ2 =2ａ+32 ≤ 2 ,-1 ≤ｔ1 ｔ2 =4ａ-22 ≤ 1 ,即ａ∈Ｒ ,-72 ≤ａ≤ 12 ,0 ≤ａ≤ 1 ,解得 0 ≤ａ≤ 12 .错解 3　令ｓｉｎｘ =ｔ,则 -1≤ｔ≤ 1 ,方程 ( )可…     

隐含条件不可忽视

例.设m~2 2m-1=0,n~4-2n~2-1=0.求(mn~2 n~2 1/m)~(1994)的值。解由m~2 2m-1=0得m≠0。两边除以m~2得(1/m)~2-2(1/m)-1=0 (1)n~4-2n~2-1=0得(n~2)~2-2n~2-1=0。 (2)由(1)、(2)知,(1/m)与n~2是方程x~2-2x-1=0的两个实数根,有(1/m) n~2=2,(1/m)·n~2=-1,故原式=(n~2 n~2/m 1/m)~(1994)=(2-1)~(1994)=1。这一解答有两处错误:第一,n~2不能看作方程x~2-2x-1=0的根。因为△=8>0,方程应有两个不同的实数根,但n~2只有一根1 2~(1/2),另一根1-2~(1/2)没有意义。因此,本题应把n~4-2n~2-1=0当作一个一元四次方程来解。     

圆锥曲线的中点弦方程及应用

性质 1　圆 (ｘ -ｈ) 2 (ｙ-ｋ) 2 =ｒ2 中 ,以Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) (ｘ0 ≠ｈ或ｙ0 ≠ｋ)为中点弦的所在的直线方程为(ｘ0 -ｈ) (ｘ-ｘ0 ) (ｙ0 -ｋ) (ｙ- ｙ0 ) =0 .当ｈ =ｋ=0时方程变为ｘ0 (ｘ -ｘ0 ) ｙ0 (ｙ - ｙ0 ) =0 .证明　设弦所在直线与圆交于Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,所以有(ｘ1-ｈ) 2 (ｙ1-ｋ) 2 =ｒ2 ,(1)(ｘ2 -ｈ) 2 (ｙ2 -ｋ) 2 =ｒ2 . (2 )(2 ) - (1)得　　 (ｘ2 -ｘ1) (ｘ1 ｘ2 - 2ｈ)　　 =- (ｙ2 - ｙ1) (ｙ1 ｙ2 - 2ｋ) .当ｘ2 ≠ｘ1时 ,可变为ｘ1 ｘ2 - 2ｈｙ1 ｙ2 - 2ｋ =- ｙ2 - ｙ1ｘ2 -ｘ1.又Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0…     

变形中的条件不可丢

题目:方程|x~2-23~(1/2)x 1|=1/3~(1/2)x b有四个不同的实数根。求b的取值范围。 错解:脱去绝对值符号并整理,得 3~(1/2)x~2-7x 3~(1/2) 3~(1/2)b=0,①或 3~(1/2)x~2-5x 3~(1/2) 3~(1/2)b=0。② 据题意,方程①、②都须有两个不等实根。 令①的判别式△_1=(-7)~2-43~(1/2)(3~(1/2)-3~(1/2)b)=37 12b>0,     

一类问题解的一种通法

先看一例 :已知二次函数 f(x)满足条件 :| f(0 ) |≤1,| f (1) |≤ 1,| f (- 1) |≤ 1.试证 :对于 x∈[- 1,1]时必有 | f(x) |≤ 54.证　设 f(x) =ax2 bx c(a≠ 0 ) ,则由f(0 ) =c,f(1) =a b c,f (- 1) =a- b c,可得 a =f (1) f (- 1) - 2 f (0 )2 ,b =f (1) - f (- 1)2 ,c=f(0 ) .又∵ | f(0 ) |≤ 1,| f (1) |≤ 1,| f (- 1) |≤ 1及 x∈ [- 1,1],∴| f (x ) | =| f(1) f(- 1) - 2 f(0 )2 x2 f (1) - f(- 1)2 x f (0 ) | =| f(1)2 (x2 x) f (- 1)2 (x2 - x) f(0 ) (1- x2 ) |≤ 12 | x2 x| 12 | x2 - x| | 1- x2 | …     

数学科

第(4)题复数(2 2i)~4/(1-3i~(1/2))~5 等于 (A) 1 3i~(1/2) (B) -1 3i~(1/2) (C) 1-3~(1/2) (D)-1-3i~(1/2) 简析在(1)—(7)这些基本题中,本题是得分率最低的,有三分之一的考生选择了错误的答案。作为复数运算,除去用基本运算法则之外,我们应当熟悉一些特殊复数的运算。     

巧用“1”求值

1.巧乘“1”求值 例1 (2 1)(2~2 1)(2~4 1)…(2~k 1)(k为自然数)的值是( ). (A)4~2-1 (B)2~(2~(2k))-1 (C)2~(2~k)-1 (D)2~k-1 分析:此题若直接计算是很繁难的.如果能想到第一个括号前有一个“1”,而1=2-1,利用平方差公式,问题立即可解。     

关于复合二次函数的极值问题

复合二次函数y=aφ~2(x) bφ(x) c(a≠0)的极值问题,在初等数学中占有非常重要的地位。先看一个例子: 已知x_1,x_2是方程x~2-(k-2)x (k~2 3k 5)=0(k是实数)的两个实根,x_1~2 x_2~2的最大值是(A)19,(B)18,(C)5 5/9(D)不存在。有人这样解:据韦达定理x_1 x_2=k-2,x_1x_2=k~2 3k 5,因此有 f(k)=x_1x~2 x_2~2=(x_1 x_2)~2-2x_1x_2=-(k-2)~2-2(k~2 3k 5)即 f(k)=-k~2-10k-6它二次项系数为负,因此有最大值 4ac-b~2/4a=4(-1)(-6)-(-10)~2/4(-1)=19     

莫斯科大学1997年入学考试数学试题选(续)

11.求表达式的(-3((1-cos2x)/2)~(1/2) ((2-3~(1/2))~(1/2)cosx-1)·((1-cos2y)/2 (11-3~(1/2)cosy 1))最大值与最小值。(土壤学系,第6题) 解 记表达式的第一个因式为f(x),第二个因式为a(y)有: f(x)=-3|sinx| ((2-3~(1/2))~(1/2)cosx-1. ∴f(x)≤((2-3~(1/2))~(1/2)cosx-1,且f(0)=((2-3~(1/2))~(1/2)-1. 又f(x)=-3sinx ((2-3~(1/2))~(1/2)cosx-1 当sinx≥0时,2sinx ((2-3~(1/2))~(1/2)cosx-1 当sinx<0时.     

巧用赋值法解函数题

在解决函数有关问题中 ,经常会碰到含有“某区间上一切变量都有某条件成立”的问题 .解决这类问题的关键在于巧妙合理地对变量赋予一系列特殊的值 ,然后通过代数推理 ,即可快速求解 .1　求值例 1　如果函数 ｆ(ｘ) =(ｘ+ａ) 3 对任意ｘ∈Ｒ都有 ｆ(1+ｘ) =- ｆ(1-ｘ) ,试求 ｆ(2 ) + ｆ(- 2 )的值 .解　由 ｆ(1+ｘ) =- ｆ(1-ｘ)对任意ｘ∈Ｒ成立 ,可设ｘ =0 ,得 ｆ(1) =- ｆ(1) ,∴ｆ(1) =0 .又 ｆ(1) =(1+ａ) 3 ,∴ａ =- 1.故 ｆ(2 ) + ｆ(- 2 ) =(2 - 1) 3 + (- 2 - 1) 3=- 2 6 .例 2　函数 ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数 ,且对任意的ｘ∈Ｒ…     

巧用定比分点公式

1．巧求值域例1求函数y=(1 cosx)/(3-2cosx)的值域．分析观察上式可联想到定比分点公式x=(x_1 x_2λ) /(1 λ)得y=(1/3 (-(1/2))(-(2/3)cosx))/(1 (-(2/3)cosx)),即P(y,0)分起点为P_1(1/3,0),终点为P_2(-(1/2),0)的有向线段(?)的比为     

怎样证“至少”型命题

证“至少”型命题有以下几种方法 .一、利用反证法例 1　已知函数 :ｙ=ｘ2 + 2ｘｔａｎθ-(1-3 )ｔａｎθ+ 3 ,ｙ2 =ｘ2 + 2ｘ + 3ｔａｎ2 θ(θ≠ｋπ+ π2 ,ｋ∈Ｚ) ,求证 :不论θ取何值 ,这两个函数的图象至少有一个位于ｘ轴的上方 .证明　已知两函数可写成ｙ1 =(ｘ +ｔａｎθ) 2 -ｔａｎ2 θ+ (3 -1)ｔａｎθ+ 3 ,ｙ2 =(ｘ+ 1) 2 + 3ｔａｎ2 θ -1.假若两函数的图象都与ｘ轴相交或相切 ,就必须有-ｔａｎ2 θ + (3 -1)ｔａｎθ+ 3≤ 0 ,3ｔａｎ2 θ-1≤ 0 .将以上两个不等式相加 ,就必有2ｔａｎ2 θ + (3 -1)ｔａｎθ + (3 -1)≤ 0 .①①…     

一个错误的例题

本刊89年第二期第16页《分子有理化在解题中的应用》中的例1是错误的。题中的已知条件是(x~3 6)~(1/2)-(x~3)~(1/2)-4=5,解的结果是(x~3 6)~(1/2) (x~3-4)~(1/2)=2,显然应有:(x~3 6)~(1/2) (x~3-4)~(1/2)>((x~3 6)~(1/2)-(x~3)~(1/2)-4。所以题目是错的。     

两个三项高次方程的公根问题

定理　两个ｎ(ｎ≥ 2 )次方程ａｉｘｎ ｂｉｘ ｃｉ=0○i(ｉ=1 ,2 )有公共根的充要条件是(ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2 ) ｎ =(ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1) ｎ - 1(ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1) .③证明 :设①、②有公根ｘ0 ,记 ｙ =ｘ0 ｎ,ｚ =ｘ0 ,则关于 ｙ、ｚ的方程组ａ1ｙ ｂ1ｚ ｃ1=0 ,ａ2 ｙ ｂ2 ｚ ｃ2 =0 ④有解 ( ｙ ,ｚ) .当ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1≠ 0时 ,④的解是ｙ =ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1,ｚ =ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1.⑤因 ｙ=ｘ0 ｎ=ｚｎ,由⑤可验证③成立 .当ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1=0时 ,因④有解 ,只有ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2 =ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1=0 ,即③成…     

错在哪里

题　设方程ｔａｎ(ｘ +π4) -ｔａｎ(ｘ -π4) =-2的解集为Ｍ ,方程1 +ｔａｎｘ1 -ｔａｎｘ-ｔａｎｘ -11 +ｔａｎｘ=-2的解集为Ｎ ,则有 :(Ａ)Ｍ =Ｎ　　　　 (Ｂ)Ｍ Ｎ(Ｃ)Ｍ Ｎ (Ｄ)Ｍ =Φ解法一　因方程ｔａｎ(ｘ +π4) -ｔａｎ(ｘ -π4) =-2可化为 1 +ｔａｎｘ1 -ｔａｎｘ-ｔａｎｘ -11 +ｔａｎｘ=-2 ,故Ｍ =Ｎ ,选 (Ａ)。解法二　由1 +ｔａｎｘ1 -ｔａｎｘ-ｔａｎｘ -11 +ｔａｎｘ=-2 ,去分母得 :(1 +ｔａｎｘ) 2 +(1 -ｔａｎｘ) 2 =-2 (1 -ｔａｎ2 ｘ) ,即2 +2ｔａｎ2 ｘ =-2 +2ｔａｎ2 ｘ ,∴　 2 =-2 ,矛盾 ,故Ｎ =Φ。又因为第…     

巧证一类绝对值不等式

不等式的证明,技巧性强,难度大,又是高考的重点.很多学生望而生畏,无从下笔,本文通过几例来说明一类绝对值不等式的证明.思想方法:归一法———消去几个参变量,只留下其中一个变量.【例1】已知二次函数f(x)=ax2 bx c,｜f(0)｜≤2,｜f(1)｜≤1,｜f(-1)｜≤1.求证:当x∈[-1,1]时,恒有｜f(x)｜≤178.证明:由已知,f(1)=a b c,f(-1)=a-b c,f(0)=c∴a=f(-1) f(1)-2f(0)2b=f(1)-f(-1)2,c=f(0)∴｜f(x)｜=｜f(-1) f(1)-2f(0)2x2 f(1)-f(-1)2x f(0)｜=｜f(-1)(12x2-12x) f(1)(12x2 12x) f(0)(-x2 1)｜≤｜12x2-12x｜ ｜12x2 12x｜ 2｜-x2 1｜=-2x2-x …     

例说二次函数三点式的解题功能

二次函数是中学数学中最重要的函数之一 ,有一般式、顶点式、零点式等多种表达式 ,这些表达式在解题中都起着非常重要的作用 .本文介绍二次函数一个新的表达式三点式 ,并举例说明它在解题中的广泛应用 .1　二次函数三点式定理　二次函数 ｆ(ｘ)经过三点Ａ(ｘ1,ｆ(ｘ1) )、Ｂ(ｘ2 ,ｆ(ｘ2 ) )、Ｃ(ｘ3,ｆ(ｘ3) ) ,则ｆ(ｘ) =(ｘ -ｘ2 ) (ｘ -ｘ3)(ｘ1-ｘ2 ) (ｘ1-ｘ3) ｆ(ｘ1) (ｘ -ｘ3) (ｘ -ｘ1)(ｘ2 -ｘ3) (ｘ2 -ｘ1) ｆ(ｘ2 ) (ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 )(ｘ3-ｘ1) (ｘ3-ｘ2 ) ｆ(ｘ3) .证明　设二次函数 ｆ(ｘ) =ａ(ｘ -ｘ2 ) (ｘ-ｘ3) ｂ(…