一个关于三角形三边长及面积的含参不等式

命题 在△ABC中,BC=0,CA=b,AB=C,记△ABC的面积为S,λ〉1为实数．证明：     

对一道IMO试题的探究

命题1 在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交点R,与BC的垂直平分线交点P,与AC的垂直平分线交点Q．设K、L分别是BC、AC的中点,证明：△RPK和△RQL的面积相等．（图1）     

一组与三角形有关的向量性质及其几何意义

文（1）给出了如下命题1． 命题1 已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边,G是△ABC的重心,a·GA＋b·GB＋c·GC=0,则△ABC为正三角形．     

一道课本练习题的探讨

已知△ABC中，∠ACB＝９０°，四边形ACDE和CBFG是在△ABC外的正方形，△ABC的高CH所在的直线交DG于M．求证：（１）DG＝AB；（２）CM＝１２DG．（人教版《几何》第二册１９７页B组第４题）当我们做完此题后，不妨以此图形为引子，并弱化条件，使△ABC为斜三角形，作以下探究：命题１在已知锐角三角形ABC的外面，作正方形ACDE和正方形BCGF，求证：AG＝BD．（人教版《几何》第二册１９６页A组第１３题）分析：只要证△ACG≌△DCB（可通过两边夹角）即可．本题还可以得到AG⊥BD．命题２在命题１的条件下，若O１、O…     

三角形两倍角命题的应用

在三角形中有一个重要的命题：在△ABC中，如果a、b、c分别是△ABC的三边的长，∠CAB=2∠ABC，那么a^2-b^2=bc(简称：三角形两倍角命题)．因此在三角形中对满足一个角是另一角两倍类型的题目，利用a^2-b^2=bc来解题常可迎刃而解．本向同学们介绍这类问题的具体应用．     

一些新的三角不等式

作为文[1]的姊妹篇，本文旨在介绍一些新的三角不等式． 命题△ABC中，求证：sinAcosB/2＋sinBcosC/2＋sinCcosA/2≤百9．     

四面体内心的两个性质

文[1]对三角形内心的性质做了探讨,得出了如下两个命题： 性质1 设△ABC的三个顶点A、B、C所对边长分别为a、b、c．已知I为△ABC的内心,过I作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,     

勾股定理在几何证题中的应用

勾股定理是初中几何中的一个极为重要的定理，它在数学解题中有着广泛的应用．本文举例说明勾股定理在几何证题中的应用．例1如图1，在△ABC中，AB=AC，BDAC于D．求证：分析在Rt△BDC和Rt△ADB中，由勾股定理，得于是，要证结论成立，只要证即可．这只要经过适当的恒等变形即得．事实上，故结论可证．证明略．例2如图2，在锐角三角形ABC中，CD是高．求证：分析要证结论成立，只要证：（1）（2）要证．这由勾股定理即得．要证，只要证因为AD＋DB=AB，所以此结论成立．故命题结论可证．证明略．例3如图3，在△ABC中，是BC边的…     

拿破仑三角形

在任意△ABC的外侧．分别作等边△ABD、△BCE、△ACF，则AE、BF、CD三线共点．并且AE=BF=CD，如图1．这个命题称为拿破仑定理．     

一个有趣的三角不等式

经过探讨,笔者现已得到： 命题 在△ABC中,求证：cosA cos^2B/2cos^3C/3≤27/64．     

欧拉不等式的一种隔离

命题 设从△ABC的外接圆中截去△ABC所剩三弓形的高分别为h_1,h_2,h_3,△ABC的内切圆半径为r,外接圆半径为R。则     

共边比例定理及其应用

共边比例定理：若△ABC和△DBC有公共边BC，AD交BC于E（或交BC的延长线于E），则＝S△ABC/S△DBC=AE/DE．符合命题条件的两共边三角形，其位置关系有如下四种情形．证如图甲，过A、D分别作BC的垂线，垂足其他三种情形可以类似地证明（略）．如果我们熟悉这个定理的四种情形，并能灵活地应用它，则能方便地、简捷地解答许多数学竞赛题.一、有关线段问题例1如图，在△ABC中，若BD：DC＝CE:EA＝2：1，AD和BE相交于F，则AF：FD＝___．（92－93学年度广州等五市初中数学竞赛题）解　　连结FC，设S△DCF＝S,贝S△BDF＝2…     

一个费尔马点问题的探讨

文[1]得到了如下命题． 命题 设P是△ABC内一点,AP、BP、CP分别交△BPC、△APC、△APB的外接圆于A’、B’、C’．记p=PA’＋PB’＋PC’,q=2（PA＋PB＋PC）．     

锐意创新，誓将金针度与人

原题再现：（南京卷第27题）如图1（1）,P为△ABC内一点,连结PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点．     

一道几何例题的启示

初级中学课本《几何》第二册第85页上有这样一道例题: 命题1 如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径。求证:AB·AC=AE·AD。本题的证明是极为简单的,只须连结BE,由△ABE∽△ADC即得结论。将命题1的条件稍加改变,则有: 命题2 △ABC中,∠A的平分线交BC于D,交外接圆于E(图2)。则AB·AC=AD·AE。以上两个命题告诉我们:三角形中凡关于高。外接圆直径,内角平分线与两边发生联系的某些命题,均可用它们来解决。例1 如图3,△ABC内接于直径为d的圆。设BC=a,AC=b,那么△ABC的高CD等于多少?     

一道课本习题的探究与应用

题目:如图1,直线l1∥l2,△ABC与△DBC的面积相等吗?你还可以画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?(人教版八年级下册第十九章《四边形》习题19·1第8题)认真研究本题可以得到以下两个命题:命题:如图1,若直线l1∥l2,则S△ABC=S△DBC,逆命题:如图2,若S△ABC=S△DBC,则有直线l1∥l2.不难证明两个命题的正确性·     

2011年中考：数学试题的亮点赏析——滴水藏海 细中见伟

试题再现：（南京卷第27题）如图1（1），P为／△ABC内一点，连结PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．     

圆内接闭折线的一个美妙性质

众所周知,关于三角形有如下命题: 定理1 设△ABC三条边BC、CA、AB 的中点分别为D、E、F,则△ABC的外心是△DEF的垂心．本文拟应用向量方法,将这个定理推广到一般圆内接闭折线中．为了叙述简便起见,本文约定:符号A(n)表示任意一条平面闭折线     

对一道高考创新题的探究

2005年湖南省高考(理科)第10题:设P是△ABC内任意一点,S△ABC表示△ABC的面积,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3),若G是△ABC的重心, f(Q)=(1/2,1/3,1/6),则 (A)点Q在△GAB内; (B)点Q在△GBC内; (C)点Q在△GCA内; (D)点Q与G重合． 1.命题思路探究     

关于费马点与重心的距离公式

命题 在△ABC中，F、G分别为费马点和重心，令BC=a，CA=b，AB=c，S为△ABC的面积．则GF=√1/2（a^2＋b^2＋c^2-4√3S）/3.