一个三角形不等式

命题　设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、R、r.则有b2 c22bc ≤ R2r.①证明 :　记△ABC的面积为S .由abc =4RS及S =12 r(a b c)知式①等价于b2 c22bc ≤abc(a b c)1 6S2 .②由海伦公式知1 6S2 =(a b c) (b c -a)·(c a -b) (a b -c) .③则式②等价于1 6S2 (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) (a b c) (b c-a) (c a -b)·(a b-c) (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) 2ab2 c2 - (b c -a) (c a -b)·(a b -c) (b2 c2 ) ≥0 b2 [ac2 - (b c-a) (c a -b)·(a b -c) ] c2 [ab2 - (b c-a)·(c a -b) (a …     

三角形中的一个不等式

本文把线段比转化成面积比，从而得出三角形中的一个重要不等式。     

一个三角形线性不等式

设 P是△ ABC内部任意一点 ,P至边BC,CA,AB的距离分别为 r1 ,r2 ,r3 ,令 PA= R1 ,PB=R2 ,PC=R3 ,涉及三角形内部任意一点的不等式是一类十分有趣的几何不等式 ,最著名的是 Erdos- Mordell不等式R1 +R2 +R3 ≥ 2 (r1 +r2 +r3 ) . (1)本文将证明关于 (R1 ,R2 ,R3 )及 (r1 ,r2 ,r3 )与△ ABC半周长 s的一个线性不等式 .首先给出一个优美简洁的引理 .引理　设 P是△ ABC内部任意一点 ,则(R1 +R2 +R3 ) 2≥s2 +(r1 +r2 +r3 ) 2 . (2 )当且仅当△ ABC为正三角形且 P为中心时(2 )式取等号 .证明　令 BC=a,CA=b,AB=c,ha 为BC边…     

三角形中的一个不等式

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 ,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形 .本文将给出与周界三角形有关的一个有趣的不等式 .图 1命题　如图 1 ,设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ ,ＡＢ =ｃ,ｓ =12(ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＤＥ的面积分别记为△ Ａ、△ Ｂ、△Ｃ.则(ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ)△ Ａ+(ｓ-ｃ) (ｓ-ａ)△ Ｂ+(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ)△ Ｃ≥ 43 .证明 :由三角形周界中点的定义 ,知ｓ=ＡＢ +ＡＥ =ｃ+ＡＥ ,…     

一个三角形中的不等式

在《数学教学》2 0 0 1年第 6期数学问题栏的第 548题为 :问题 1　设△ ABC的三边长为 a,b,c,求证 :b+ c- aa + c+ a- bb +a+ b- cc >2 2 . ( 1 )《中学数学月刊》在 2 0 0 2年第 1 1期第2 9页上用换元法给出了此题又一简捷证法 ,笔者想到的是 ( 1 )的一个类似不等式 .问题 2　在△ABC中 ,三边长为 a,b,c,求证 :c+ a- ca + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3.( 2 )证明　采用化分式为整式、化无理为有理进行逐步转化 .c+ a- ba + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3 bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab( b+ c- a)≤ 3abc [bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab(…     

三角形中的一个不等式

在三角形中,关于它的三条角平分线存在着如下一个对称和谐不等式:在△ABC中,ωa,ωb,ωc分别是a,b,c三边对应的角平分线,p=1/2(a b c).     

一个锐角三角形不等式

本文建立一个含有指数变量的三角不等式     

一个三角形不等式的推广

《首届全国IMO命题比赛精选》一书中,有宿晓阳证明的不等式:     

一个三角形不等式的逆向

刘健先生在文《100个待解决的三角形不等式问题》[1]中提出了一个关于三角形中线的猜想不等式:(问题shc15(g)) 在锐角△ABC中,有 32bcmmabcbc冲+, (1) 其中a、b、c;am、bm、cm分别是△ABC的三内角A、B、C所对边长和所对边上的中线长,为循环和. 杨学枝先生在文[2]中证明了较不等式(1)更强的不等式: 在锐角△ABC中,有 114bcmmabca邋. (2) 本文考虑不等式(1)的逆向,得到 命题 在锐角△ABC中,有 44bcmmRrbcr+澹, (3) 其中R、r是△ABC的外接圆半径、内切圆半径. 证明△ABC的外心为O,点O到△ABC…     

一个三角形不等式的改进

熟知,如果△ABC的三边,面积及半周长分别为a、b、c、⊿、p,那么 abc≥(2/(3~(1/2)))⊿P (1)其中等号当且仅当a=b=c时成立。本文从一极普通的代数恒等式(2)出发,经过改述得到一个三元循环不等式(3)。然后,引进一种代换(T),使代数不等式     

一个三角形不等式的加强

《数学通报》1995年1月号的问题931:“在锐角△ABC中,求证:tgA·tgB·tgC>1。”这个三角形不等式可加强为:     

从一个三角形不等式谈起

在△ABC中,有常见的不等式sinA＋sinB＋sinC≤3√3/2．（1）     

一个三角形不等式的加强

文[1]给出如下一个三角形不等式: 在△ABC中,有等号当且仅当△ABC为正三角形时成立. 本文给出(1)式的加强.     

从一个三角形不等式谈起

在△ABC中,有常见的不等式sinA＋sinB＋sinC≤3√3/2,（1）． 约定：△ABC的三边长为a,b,c,半周长为s,面积为△,外接圆和内接圆的半径分别为R和r．     

一个新的三角形不等式族

陈计老师在文[1]中介绍了苏化明先生在文[2]中所述14个对称函数与常函数之间的联系,给出了内容更为丰富的三角形不等式族。受该文启发,笔者在研究中,发现了如下关于8个对称函数之间联系的新的不等式族。     

一个三角形角的不等式

以A、B、C,a、b、c,s,R分别表示△ABC的内角,边长,半周长,外接圆的半径,∑,∏分别表示循环和与循环积.我们有命题在△ABC中,有11∑sin A≥∑cos(A/2).(1)当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.证明由∑sin1A=∑s∏ins iBn sAinC.12sin2cos2sinA∑A=∑A2sin2sin sinsinA B C=∑∏A     

三角形中的一个有趣不等式

设a,b,c表示△ABC的三边,当a~n,b~n,c~n(n∈Z且n≠0)组成等差数列时,我们探求角B的取值范围。     

关于三角形的一个不等式

一、命题·证明命题:设△A_1A_2A_3的边分别为a_1,a_2,a_3,其外接圆半径为R,则 (1)(a_1a_2a_3)~(1/3)≤3~(1/2)R。等号当且仅当△A_1A_2A_3为正三角形时成立。为证上述命题,首先给出如下引理1 G为A_1A_2A_3的重心的充分必要条件是(2)GA_1 GA_2 GA_3=0。证明是非常简单的,留给读者。下面给出命题证明的一般方法。 命